1、初二数学讲义1全等三角形复习一知识点：1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等.2符号：“”3对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点4全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .5全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：_的两个三角形全等( S)_的两个三角形全等( A)_的两个三角形全等( )_的两个三角形全等( AAS)2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_的两个直角三角形全等( HL)例题：1.如图已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和 全等的图形是( )A.甲和乙 B乙和丙 C.只有乙 D.只有丙2.如图，在 A
2、C和 DEF中， 、 、 C、 F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明 B， ， DEA， B3.如图， O， ， 90O.猜想线段 AC、 D的关系，并说明理由.6角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.（证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）几何符号语言： 21 OAP BE PED例题：如图， O平分 B， D于 ， O于 ， F为 OP上一点，连接 DF、 E.求证： P F=7.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）几何符号语言： OA BPE PED点
3、 在 的平分线上.注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.例题：如图，在四边形 C中， 90， C平分 BD交 A于 E， 且BEA，求证： D平分8.全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换初二数学讲义2D CBAEDFCBAEDCBAPQ
4、CBA中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_.例 2
5、、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.应用：1、 （09崇文二模）以 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ，ABCAE连接DE ， M、 N分别是BC 、 DE的中点探究：AM 与DE的位置关系及数量关系90,BADE（1）如图 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC
6、 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相ED CBA初二数学讲义4NMEFACBAFEDCBA交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判
7、断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点RtABC E,F。（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以ABC
8、BC012BDD 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 的周长为 06 A；作业：1. 如图, ，BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G, ,ABCDE 105EDCB,求 、 的度数.25,10BDGEDGFCBA(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图B CDNMA初二数学讲义52 如图，AB=AC,BE 和 CD 相交于 P，PB=PC,求证：PD=PE.3如图，在 中,M 在 BC 上，D 在 AM 上，AB=AC , DB=DC 。ABC求证：MB=MC4.如图,AD 与 BC 相交于 O,OC=OD,
9、OA=OB,求证： DBAC5.如图，梯形 ABCD 中，AB/CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于 F求证： ABFC6.如图，在 中，AB=AC，D、E 分别在 BC、AC 边上。且 ,AD=DEABC BADE求证： .7如图，在 中， ， 平分 ， 90ACB，那么 点到直线 的距离是 cm8cm5cBCD，8如图，已知 和射线 ，用尺规作图法作AOB（要求保留作图痕迹） 9已知，如图，点 B、F、C 、E 在同一直线上，AC、DF 相交于点G，ABBE，垂足为 B，DEBE，垂足为 E，且 ABDE，BFCE。求证：（1）ABCDEF；（2）GF GC。10、
10、已知四边形 中， ， ， ，DABCDABCBDCAO B BO初二数学讲义6， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长120ABC 60MBN B ADC，线）于 当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 EF， AECFEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明，11、 （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两2侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当AP
11、B 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.12、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动60MDN120BC时，BM、NC 、 MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系AABC图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx（图 1）ABDEFN（图 2）BEFM（图 3）ABCEFM
