1、相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B作射线 BB AC动点 D从点 A1出发沿射线 AC方向以每秒 5个单位的速度运动，同时动点 E从点 C沿射线 AC方向以每秒 3个单位的速度运动过点 D作 DHAB 于 H，过点 E作 EFAC 交射线 BB1于 F，G 是 EF中点，连接 DG设点 D运动的时间为 t秒（1）当 t为何值时，AD=AB，并求出此时 DE的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t的值2.如图，在ABC 中， ABC90，AB=6m，BC=8m，动点 P以 2m/s的速度从 A点出发，沿AC向点 C
2、移动同时，动点 Q以 1m/s的速度从 C点出发，沿 CB向点 B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t秒（1）当 t=2.5s时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，求出 t的值3.如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8，点 D在边 AB上运动，DE 平分CDB交边 BC于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如图所示，在ABC 中，BABC2
3、0cm，AC30cm，点 P从 A点出发，沿着 AB以每秒 4cm的速度向 B点运动；同时点 Q从 C点出发，沿 CA以每秒 3cm的速度向 A点运动，当 P点到达B点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x（1）当 x为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB边从 A开始向点 B以 2cm/s的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1cm/s的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t6） 。（1）当 t为何值时，QAP 为等腰直角三角形
4、？（2）当 t为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？6.在直角坐标系中，点 A的坐标是（0，2） ，点 B是 轴上的一个动点，始终保持ABC 是等x边三角形（点 A、B、C 按逆时针排列） ，当点 B运动到原点 O处时，则点 C的坐标是_.随着点 B在 轴上移动，点 C也随之移动，则点 C移动所得图象的解析式是x_.7.如图，抛物线 的对称轴与 x轴点 C， 直线 y=-x+3与 x轴交于点 A，与 y轴1)2(xy交于点 B点 D是射线 BA上一动点，连结 CD，以 CD为直角边作等腰直角三角形 CDE.当点 D从 B点出发开始运动到点 E刚好落在抛物线上，则点 E经过的
5、路径长为 .8.如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 2 的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=x 于点 N若点 P是线段 ON上的一个动点，APB=30，BAPA，则点 P在线段 ON上运动时，A点不变，B 点随之运动求当点 P从点 O运动到点 N时，点 B运动的路径长是 二、构造相似辅助线双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx的图象与线段 OA的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC 中，AB= ，AC=4，BC=2，以 AB为边在 C点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直52角三角形，求线段 CD的长8.在ABC 中，AC
6、=BC，ACB=90，点 M是 AC上的一点，点 N是 BC上的一点，沿着直线 MN折叠，使得点 C恰好落在边 AB上的 P点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OA在 x轴上，边 OC在 y轴上，点 B的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC翻折 B点落在 D点的位置，且 AD交 y轴于点 E那么 D点的坐标为（ ）A.（ ， ） B.（ ， ） C.（ ， ） D.（ ， ） 54252132153531210.已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D
7、 两点的坐标。三、构造相似辅助线A、X 字型11.如图：ABC 中，D 是 AB上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE交 CD于 F。求证：AB:AC=CF:DF12.四边形 ABCD中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且 AC平分DAB。求证：BE:DE=BC :CD213.在梯形 ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E 为 AD边上的任意一点，EFAB，且 EF交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2)当 时，EF= ；1AED22AD3ba(3)当 时，EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 、 和 表示343kEabkEF的一般
8、结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC的中点，E、F 是 BC上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ：QM15.证明：重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是32三角形三条中线的交点） 四、相似类定值问题16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证： 17.已知：如图，梯形 ABCD中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O作 EF/AB分别交AD、BC 于 E、F。求证： OCDAB118.如图，在ABC 中，已知 CD为边
9、 AB上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC 上。求证： EFCDAB119.已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 求证： aaBCA1五、相似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1，点 P在平行四边形 ABCD的对角线 BD上，一直线过点 P分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 AD,CD于点 R,T求证：PQPR=PS=PT（2）如图 2，图 3，当点 P在平行四边形 ABCD的对角线 BD或 DB的延长线上时，PQPR=PS=PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2为例进行证明或说明） ；21.已知：如图，ABC 中，
10、ABAC，AD 是中线，P 是 AD上一点，过 C作 CFAB，延长 BP交 AC于 E，交 CF于 F求证：BP PEPF 222.如图，已知ABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D作 AB的垂线交 AB于 E，交BF于 G，交 AC延长线于 H。求证： DE =EGEH 223.已知如图，P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：PE:PF=PH:PG24.已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在 AD上有一点 P，且BPC 为直角求证：PD ADDH 。2六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB上的高，E 为 BC的中点，ED 的延长线交 CA于 F。求证：ACCF=BCDF26.如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB上的高，点 M在 CD上，DHBM 且与 AC的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC的中点，ED 的延长线与CB的延长线交于点 F.
