量子力学试卷(2套).doc

1、2002 级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共 25 分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。 （4 分）4、证明 )(2xxpi是厄密算符 （5 分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标 x和动量 xp之间的测不准关二、 （15 分）已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符 、 的矩阵表示；2、在 B 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。三、 （15

2、 分）设氢原子在 0t时处于状态 ),()21),(21),(21)0,( 110310 YrRYrRYrRr，求1、 t时氢原子的 E、 L和 z的取值几率和平均值；2、 时体系的波函数，并给出此时体系的 E、 2L和 z的取值几率和平均值。四、 （15 分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出 CH02031这里， )0(， C是一个常数， 1，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。 五、 （10 分）令 yxiS， yxiS，分别求 和 S作用于 z的本征态012和 102的结果，并根据所得的结果说明 和 的重要性是什么？答案一、1、描写自

3、由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(EtrpiAe2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：)()(211212qqA 。4、 )(2xxpi= xxxx pipii , ，因为 x是厄密算符，所以是厄密算符。5、设 F和 G的对易关系 kiFG， 是一个算符或普通的数。以 F、和 k依次表示 、 和 在态 中的平均值，令 ，则有 422k)(，这个关系式称为测不准关系。坐标 x和动量 xp之间的测不准关系为： 2xp二、解 1、由于 12A，所以算符

4、 A的本征值是 1，因为在 A 表象中，算符A的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符 的矩阵是： 10)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21)(b，利用 AB得：021b；由于 12，所以 0212110221b，21；由于 B是厄密算符， B， 12b*12*12令 ieb，其中 为任意实常数，得 在 A 表象中的矩阵表示式为：0)(iiAB2、类似地，可求出在 B 表象中算符 A的矩阵表示为： 0)(iieBA在 B 表象中算符 A的本征方程为： 0iie，即 i0iie和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0iie12对 1有： iAe，对 1有： 12iAe所以，

5、在 B 表象中算符 的本征值是 ，本征函数为i和 12ie3、类似地，在 A 表象中算符 B的本征值是 1，本征函数为i和i从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 B在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 12iieS三、解： 已知氢原子的本征解为：)3,21(120naeEsn),(),(lmnlnlmYrRr，将 ),(r向氢原子的本征态展开，1、 0=lnc，不为零的展开系数只有三个，即2)(20c， 21)(310， 21)0(c，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为： 54，于是归一化的展开系数为：5142)0(21c， 521)0(3c， 5241)0

6、(21c（1）能量的取值几率3,2EW， ,(3EW，平均值为： 325（2） 2L取值几率只有： 1)0,(2，平均值 2L（3） z的取值几率为： 53),(W， 52)0,(W，平均值5z2、 0t时体系的波函数为： ),(tr=nlmnnl tEirc)exp(),()0)exp(),()0)exp(),()0),()0 331212121 tEirctEircrc exp,5,5,5 31022 tirti 由于 E、 2L和 z皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与 0t时的结果是一样的。四、解：（1） H的本征值是方程 0)det(IH的根 )342(03 22

7、CCC结果： 2， 21，这是 的精确解。（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为： )2()1()0(nnEE由题设可知：能量的一级修正为： 01H， 2， H3对于二级修正，有： )(2)(3)(1)(2)0(1)2( CCE2)(3)0()(23)0(1)(2)( CEH)()(3)()(3)( 所以， 1， 2E， C3将 2C展开： )2(2C1， 221， )1(2（3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。五、解：02(iiSSyx，1)2(1212 iiyx 2(iiSSyx 01)2121iiyx所以 S和 分别作用于 zS的本征态 0和 的结

8、果是021， 21， 21，0S结果表明：称 为自旋升算符是合理的，因为它将 z方向的自旋从 2增加到2。同样，称 S为自旋降算符，因为它将 z方向的自旋从 2降到 。S和 容许我们从 z的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。B 卷一、 （共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。 （4 分）4、在一维情况下，求宇称算符 P和坐标 x的共同本征函数。 （6 分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t和能量

9、E的测不准关系。 （5分）二、 （15 分）已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符 、 的矩阵表示；2、在 A 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。三、 （15 分）线性谐振子在 0t时处于状态 )21exp(31)0,(x，其中 ，求1、在 t时体系能量的取值几率和平均值。2、 0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、 （15 分）当 为一小量时，利用微扰论求矩阵 23020的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项。五、 （10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的

10、单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?答案一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()(211212qqS 4、宇称算符 P和坐标 x的对易关系是： Px,，将其代入测不准关系知，只有当 0x时的状态才可能使 P和 x同时具有确定值，由 )(x知，波函数 )(满足上述要求，所以 )(是算符 和 的

11、共同本征函数。5、设 F和 G的对易关系 kiFG， 是一个算符或普通的数。以 F、和 k依次表示 、 和 在态 中的平均值，令 ，则有 422k)(，这个关系式称为测不准关系。时间 t和能量 E之间的测不准关系为： 2Et二、1、由于 12A，所以算符 A的本征值是 1，因为在 A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符 的矩阵是： 10)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21)(b，利用 AB得：021b；由于 12，所以 0212110221b，21；由于 B是厄密算符， B， 12b*12*12令 ieb， （ 为任意实常数）得 在 A 表象中的矩阵表示式为：0)(i

12、iAB2、在 A 表象中算符 B的本征方程为： 0iie即 ieiie和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0ii 12对 1有： 12iBe，对 1有： 12iBe所以，在 A 表象中算符 的本征值是 ，本征函数为i和 12ie3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 12iieS三、解：1、 0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：)2(nE)2,1(， )(exp(!2)(2xHnxnn 当 1,0时有：ep0x，ep)21于是 t时的波函数可写成：)(32)()0,(10xx，容易验证它是归一化的波函数，于是 0t时

13、的能量取值几率为：31),2(0EW， ),2(1EW，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为： 6702、 0t时体系波函数)23exp()32)exp()3),( 10 tititx 显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故 0时体系能量的取值几率和平均值与 t的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成： H0 23021能量的零级近似为： 1)0(E， )(2， )0(3E能量的一级修正为： ， ， 21能量的二级修正为：2)0(3)(1)0(2)(1)2( 4， 2)0(3)(2)0(1)(2)( 594EHE，2)0()(32)0(1)(32)2( 9EHE所以体系近似到二级的能量为： 214， 25E，239先求出 0H属于本征值 1、2 和 3 的本征函数分别为： 01)(， )0(2，1)(3，利用波函数的一级修正公式)0()0()1( iikikEH，可求出波函数的一级修正为： 012)1(， 32)(2， 01)1(近似到一级的波函数为： 1， 32， 103五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 iq表示第 i)3,21(个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1） )(312) qs；（2） )()(3212)( qs（3） ) 31311)3( qC； （4） 4s )()()()( 2223122