1、第 1 页 共 4 页命题的“否定”与“否命题”的辨析（邮编 331800）江西省东乡县实验中学数学组 黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修 1-1、2-1 的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教
2、学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。一、命题的“否命题”关于“否命题” ，教材中讲得很明确，仅针对命题“若 P 则 q”提出来的。写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。即“若 p 则 q”的否命题为“若非 p 则非 q”。命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。如“若两个三角形全等则面积相等” （真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等” （假命题） 。又如“若 x2，则 x24” （假命题）的否命题为“若 x=2，则 x2=4”（真命题） 。写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正
3、方形” ，结论是“这个四边形是菱形” ，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形” 。二、命题的“否定”“非 p”叫做命题 p 的非命题，即命题 p 的否定。一个命题 p 经过使用逻辑联结词“非” ，就构成一个复合命题“非 p”（记作“p” ）称为命题的否定。 “非 p”形式的复合命题的真值与原命题 p 的真值正好相反，构成一对矛盾命题。但值得注意的是“非 p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。以下分别举例说明：（一）简单命题的否定。简单命题是不含逻辑联结词的命题。常见的有：1形如“A 是 B”的命题，这类命题的否定为：“A 不是 B”。如命题“e 是
4、无理数。 ”的否定为“e 不是无理数。 ”第 2 页 共 4 页例 1写出下列命题的否定：(1)若 x2+y2=0， 则 x、y 全为 0；(2)三角形两边之和一定大于第三边；(3)正方形的四条边都相等；(4) 实数的绝对值一定都是非负数。解：(1)的否定：若 x2+y2=0，则 x、y 不全为 0；(2)的否定：三角形两边之和一定不大于第三边；(3)正方形的四条边不都相等（而不是正方形的四条边不相等） ；(4)实数的绝对值一定不都是非负数。一般地， “都”表示全部， “不都”表示不是全部，它包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有。对“全” 、 “都”的否定，只需在前面加一个“不”
5、 。而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定区别。在对“一定” 、 “一定都”等否定时，可分两步，先将“一定”两字拿下，对剩下的命题进行否定，再将“一定”两字放在“不”的前面。如对命题(2)的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边” ，后得命题(2)的否定；对命题(4)的否定可先得否定命题“实数的绝对值不都是非负数” ，再放上“一定”得命题(4)的否定。2全称命题和存在命题（也叫特称命题）的否定。含有“一切” 、 “任意” 、“所有” 、 “全部” 、 “都” 、 “任何” 、 “每一”等全称量词的命题称为全称命题，命题形式为： xA，p(x)成立。全称命题的否定为： xA，p(x)
6、不成立；含有“存在” 、 “某个” 、 “一些” 、 “有的” 、 “至少有一个”等特称量词的命题称为存在命题（也叫特称命题） ，命题形式为： xA，p(x)成立。特称命题的否定为：xA，p(x)不成立。例 2写出下列命题的否定：(1)所有分数的平方是正数；(2)有些质数是奇数；(3)等圆的面积相等，周长相等；(4) xR，使得 x2+x+10。解：(1)的否定：有些分数的平方不是正数；(2)的否定：所有的质数都不是奇数。(3)的否定：存在一对等圆其面积不相等或周长不相等；(4)的否定： xR，使得 x2+x+10。(二)复合命题的否定。由简单命题用逻辑联结词“且” 、 “非” 、 “或”等联
7、结而成的命题称为复合命题。其否定形式如下：(1)命题“非 p”是对命题“p”的否定，命题“非 p”与命题“p”的真假正好第 3 页 共 4 页相反，故“非 p”的否定是 p。如命题“3 不是 9 的约数”的否定是“3 是 9 的约数”；(2)用联结词“且”联结构成“p 且 q”型的复合命题称为联言命题。其否定是：非 p 或非 q。如命题“96 是 48 与 16 的倍数。 ”的否定为“96 不是 48 的倍数或不是16 的倍数。 ”(3)用联结词“或”联结构成“p 或 q”型的复合命题称为选言命题，其否定是：非 p 且非 q。如命题“1 是合数或质数”的否定为“1 既不是合数也不是质数” ；(
8、三)“若 p 则 q”的命题。用联结词“若则”联结的“若 p 则 q”型的命题称为 p、q 的假言命题。其否定是：若 p 则非 q。如命题“若一个数是质数，则这个数是奇数。 ”的否定是“若一个数是质数，则这个数不一定是奇数。 ”三、否命题与命题的否定的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念。区别在于：一、两者研究对象的范围不同，任何命题，无论是真命题还是假命题均有否定；而否命题仅针对命题“若 p 则 q”提出来的，并非所有命题都有否命题；二、命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是“一真一假”或“一假一真” ；而否命题与原命题可能是“同真同假” ，也可能是“真假相反” ；三、命
9、题的否定是对命题的结论加以否定，即命题的“非 P”形式，而否命题是对一个命题的条件和结论都加以否定。即原命题是“若 p 则 q”，那么这个命题的否定是“若 p 则非 q”，而这个命题的否命题是“若非 p 则非 q”。以下举例说明：例 3.写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性： (1)若 x、y 都是奇数，则 x+y 是偶数；(2)若 xy=0，则 x=0 或 y=0；(3)对顶角相等；(4)若 a、b 是奇数，则 ab 必是奇数。 解：(1)的否定：若 x、y 都是奇数，则 x+y 不是偶数；(假命题)；(1)的否命题：若 x、y 不都是奇数，则 x+y 不是偶数；(假命题)；(2)的否
10、定：若 xy=0，则 x0 且 y0；(假命题) (2)的否命题：若 xy0，则 x0 且 y0；(真命题) (3)的否定：对顶角不都相等（或“存在一对对顶角不相等”或“有些对顶角不相等” ） ；(假命题)；(3)的否命题：不是对顶角不相等；(假命题)；(4)的否定：若 a、b 是奇数，则 ab 必不是奇数；(假命题)；(4)的否命题：若 a、b 不都是奇数，则 ab 必不是奇数；(真命题)； 第 4 页 共 4 页例 4.写出下列命题的否定和否命题：（1）无理数的平方是正数；（2）方程都是不等式；（3）相似三角形是全等三角形。解：（1）原命题的否定：无理数的平方不都是正数。原命题的否命题为：
11、若一个数不是无理数，则它的平方不是正数；（2）原命题的否定：存在方程不是不等式。原命题的否命题：不是方程的式子不都是不等式；（3）原命题的否定：相似三角形不都是全等三角形。原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形。评析：“都是”的否定是“不都是” ， “不都是”包含“都不是” ；“至少有一个”的否定是“一个都没有” ；“所有的”的否定是“某些” ；“任意的”的否定是“某个” ；“至多有一个”的否定是“至少有两个” ；“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个” ；“任意两个”的否定是“某两个” 。像这类否定我们不妨探究一下。在教学中，务必理清各类型命题形式结构，性质关系。才能真正完整准确地表达出命题的否定和否命题，才能避免犯逻辑性错误，更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。以上是本人教学经验的肤浅认识，不足之处尚请同仁批评指正。
