1、1直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 3010 22答案 C解析 方法一 由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且 BCCA CC 1.建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为 2，则可得 A(0,0,0)，B(2,2,0)，M (1,1,2)，N(0,1,2)， (1,1,2)(2,2,0) ( 1，1,2)， (0,1,2)BM AN cos ， BM AN BM AN |BM |AN | . 1 4 12 12 22 02 12 22
2、 36 5 30102.如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是( )A ，1 B ，133 63C ， D ，163 223 223答案 B解析 根据题意可知平面 A1BD平面 A1ACC1 且两平面的交线是 A1O，所以过点 P 作交线 A1O 的垂线 PE，则 PE平面 A1BD，所以A 1OP 或其补角就是直线 OP 与平面 A1BD 所成的角 .设正方体的边长为 2，则根据图形可知直线 OP 与平面 A1BD 可以垂直3如图，在正方体 ABCDA 1B
3、1C1D1 中，点 P 在直线 BC1 上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD 1PC 的体积不变； 直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变；二面角 PAD 1C 的大小不变其中真命题的序号是_答案 解析 中，BC 1平面 AD1C，BC 1 上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，所以体积不变，正确；中，点 P 在直线 BC1 上运动时，直线 AB 与平面 ACD1 所成角和直线 AC1 与平面 ACD1 所成角不相等，所以不正确；中，点 P 在直线 BC1 上运动时，点 P 在平面 AD1C1B 中，既二面角 PAD1C 的大小不受影响，所以正确4已知正方体 ABCDA 1B1C1D
4、1 的棱长为 1，点 E、F 分别为 BB1、CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E的距离为_答案 3510解析 以点 A 为坐标原点，AB，AD，AA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，点 F 到平面 A1D1E 的距离为d .|A1F n|n|12 2|5 35105.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1AB AC 1，点 E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA 1B1，点 D 为棱 A1B1 上的点(1)证明：DF AE；(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位
5、1414置，若不存在，说明理由(1)证明 AEA 1B1，A 1B1 AB，AEAB，来源:又AA 1AB，AA 1面 A1ACC1，AE 面 A1ACC1，AA 1AEA，AB面 A1ACC1.又AC面 A1ACC1，AB AC，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则有 A(0,0,0)，E ，F ，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，(0，1，12) (12，12，0)由(1)可知平面 ABC 的法向量 n(0,0,1)设平面 DEF 的法向量为 m( x，y，z) ，则Error! ( ， )， ，FE 1212 12 DF (12 ，12， 1)Error!
6、即Error!令 z2(1 )，则 n(3,1 2 ，2(1 )平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ，1414|cosm，n| ，|mn|m|n| 1414即 ，|21 |9 1 22 41 2 1414解得 或 (舍)，12 74当点 D 为 A1B1 中点时满足要求6如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD ，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEFEFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG ，
7、可得 A(1,4,0)，3B(3,4,0) ，E (3,0,0)，D(0,0， )3由已知，ABEF ，所以 AB 平面 EFDC，又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60，从而可得 C(2,0， )3所以 (1,0， )， (0,4,0)， ( 3，4， )， (4,0,0)EC 3 EB AC 3 AB 设 n(x，y，z )是平面 BCE 的法向量，则Error!即Error! 所以可取 n(3,0， )3设 m 是平面 ABCD 的法向量，则Error!同理可取 m(0， ，
8、4)，3则 cosn，m .nm|n|m| 21919故二面角 EBCA 的余弦 值为 .21919易错起源 1、利用向量证明平行与垂直例 1、如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点运用向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.证明 方法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1，0,0) ，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F(1,0,1)，M ，O .(12，0，
9、0) (12，12，12)(1) ， (1,0,0)，OM (0， 12， 12) BA 0, .OM BA OM BA 棱柱 ADEBCF 是直三棱柱，AB平面 BCF， 是平面 BCF 的一个法向量，BA 且 OM平面 BCF，OM 平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为n 1n20，平面 MDF平面 EFCD.方法二 (1) OM OF FB BM 12DF BF 12BA ( ) 12DB BF BF 12BA 12BD 12BF 12BA ( ) 12BC BA 12BF 12BA .12BC 12BF 向量 与向量 ， 共面，OM BF BC 又
10、OM平面 BCF，OM 平面 BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直， ， ，CD BA FC BC BF 0，OM CD ( 12BC 12BF ) BA ( )OM FC ( 12BC 12BF ) BC BF 2 20.12BC 12BF OM CD，OMFC，又 CDFCC，OM 平面 EFCD.又 OM平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，点 E，F 分别是 PC，PD的中点，PAAB 1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明 (1)以点 A 为原点
11、，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，即 EFAB，又 AB平面 PAB，EF 平面 PAB，EF平面 PAB.(2)由(1)可知 (1,0 ，1)， (0,2 ，1)， (0,0,1)， (0,2,0) ， (1,0,0) ，PB PD AP AD DC (0,0,1)(1,0,0) 0，AP DC (0,2,0) (1,0,0)0，AD DC ， ，即 APDC，AD DC.AP DC AD DC 又 APAD A，DC平面 PAD.DC平面 PDC，平面 PAD平面 PDC.【名师点睛】用向量知识证明立体几何问题，仍
12、然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 ab，只需证明向量 a b( R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)，平面 ， 的法向量分别为 ( a2，b 2，c 2)，v( a3，b 3，c 3)则有：(1)线面平行l a a 0a 1a2b 1b2c 1c20.(2)线面垂直l a ak a1 ka2，b 1kb 2，c 1kc 2.(3)面面平行 v va2 a3，b 2 b3，c 2
13、 c3.(4)面面垂直 v v0a 2a3b 2b3c 2c30.易错起源 2、利用空间向量求空间角例 2、如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABCBAD ，PAAD2，ABBC1.2(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长解 以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，AB AD AP 则各点的坐标为 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0) ，P(0,0,2)(1)因为 AD平面 PAB，所以
14、 是平面 PAB 的一个法向量， (0,2,0)AD AD 因为 (1,1，2)， (0,2，2)PC PD 设平面 PCD 的法向量为 m (x，y ，z )，则 m 0，m 0，PC PD 即Error! 令 y1，解得 z1，x 1.所以 m(1,1,1)是平面 PCD 的一个法向量从而 cos ，m ，AD AD m|AD |m| 33从而 cos ， .CQ DP CQ DP |CQ |DP | 1 2102 2设 12 t，t1,3 ，则 cos2 ， .来源:学.科.网CQ DP 2t25t2 10t 929(1t 59)2 209 910当且仅当 t ，即 时， |cos ， |的最大值为 .95 25 CQ DP 31010
