1、1在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x6) 2y 225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB| ，求 l 的斜率10解 (1)由 x cos ，y sin 可得圆 C 的极坐标方程 212 cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R)2已知圆 C的极坐标方程为 22 sin 4 0，求圆 C 的半径2 ( 4)解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.
2、圆 C 的极坐标方程为 22 40，2 (22sin 22cos)化简，得 22 sin 2 cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y 22x2y40，即(x1) 2(y 1)26，所以圆 C 的半径为 .63在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为 cos 4 的直线与曲线Error!( t 为参数) 相交于 A，B 两点，求 AB 的长解 极坐标方程 cos 4 的普通方程为 x4，代入Error!得 t2，当 t2 时，y8；当 t2 时，y 8.两个交点坐标分别为(4,8)，(4 ，8)，从而 AB16.来源:Zxxk.Co
3、m4在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 Error! ( 为参数)，若以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程解 由参数方程消去 得圆 C 的方程为 x2( y2) 24，将 x cos ，y sin ，代入得( cos )2( sin 2) 24，整理得 4sin .5已知曲线 C：Error!( 为参数)，直线 l： (cos sin )12.3(1)将直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 的距离的最小值易错起源 1、极坐标与直角坐标的互化例 1、在极坐标系中，
4、曲线 C1： ( cos sin )1 与曲线 C2： a( a0)的一个交点在极轴上，2求 a 的值解 ( cos sin )1，2即 cos sin 1 对应的普通方程为2x y10，2 a(a0)对应的普通方程为x2y 2a 2.在 x y10 中，令 y0，得 x .222将 代入 x2y 2a 2 得 a .(22，0) 22【变式探究】在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos( )34和 sin2 8cos ，直线 l 与曲线 C 交于点 A、B ，求线段 AB 的长2解 cos( ) cos cos sin sin4 4 4 cos sin
5、3 ，22 22 2直线 l 对应的直角坐标方程为 xy6.又 sin2 8cos ， 2sin2 8 cos .曲线 C 对应的直角坐标方程是 y28x.【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性【锦囊妙计，战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x，y)和( ， )，则Error!，Error!.易错起源 2、参数方程与普
6、通方程的互化例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!(t 为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l的方程为 sin2m(mR)( 4)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值【变式探究】已知直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数) ，P 是椭圆 y 21 上的任意一点，求点 P 到x24直线 l 的距离的最大值解 由于直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数) ，来源:Zxxk.Com故直线 l
7、 的普通方程为 x2y0.因为 P 为椭圆 y 21 上的任意一点，x24故可设 P(2cos ，sin )，其中 R.因此点 P 到直线 l 的距离是d .|2cos 2sin|12 22 22|sin( 4)|5所以当 k ，kZ 时，d 取得最大值 .4 2105【名师点睛】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 x、y 有范围限制，要标出 x、y 的取值范围【锦囊妙计，战胜自我】来源:Zxxk.Com1直线的参数方程过定点
8、M(x0，y 0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)2圆的参数方程圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数，0 2) 3圆锥曲线的参数方程(1)椭圆 1 的参数方程为Error!( 为参数) x2a2 y2b2(2)抛物线 y22px( p0)的参数方程为Error!(t 为参数)易错起源 3、极坐标、参数方程的综合应用例 3、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!(t 为参 数，t0)，其中 0 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ，曲线 C3： 2 cos .来源:ZXX
9、K3( 1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y 22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y 22 x0.3联立Error!解得Error! 或Error!所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 .(32，32)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ( R ， 0)，其中 0 .因此 A 的极坐标为(2sin ， )，B 的极坐标为(2 cos ， )3所以|AB|2sin 2 cos |4 .3 |sin( 3)|当 时， |AB|取得最大值，最
10、大值为 4. 56【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 sin .3(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标【名师点睛】(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为 直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【锦囊妙计，战胜自我】解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综
11、合问题 时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等1已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为(4， )，求 CP 的长3解 由 4cos 得 24cos ，即 x2y 24x，即(x2) 2y 2 4，圆心 C(2,0)，又由点 P 的极坐标为(4， )可得点 P 的直角坐标为(2,2 )，3 3CP 2 .2 22 23 02 32在极坐标系中，求圆 8sin 上的点到直线 ( R)距离的最大值3解 圆 8sin 化为直 角坐标方程为 x2y 28y0，即 x2( y4) 216，直线 (R) 化为直角3坐
12、3在极坐标系中，已知三点 M(2， )、N (2,0)、P(2 ， )3 3 6(1 )将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M、N、P 三点是 否在一条直线上解 (1)由公式Error!得 M 的直角坐标为(1 ， )；3N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3， )来源:学&科&网 Z&X&X&K3(2)k MN ，k NP .32 1 3 3 03 2 3k MNk NP，M、N、P 三点在一条直线上4已知直线 l 的参数方程为 Error! (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos24 ，求直线 l
13、 与曲线 C 的交点的极坐标( 0，34 54)解 直线 l 的直角坐标方程为 yx2，由 2cos24 得 2(cos2sin 2)4，直角坐标方程为x2y 24，把 yx2 代入双曲线方程解得 x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2 ，)5以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 Error!(t 为参数) ，圆 C 的极坐标方程是 4cos，求直线 l 被圆 C 截得的弦长解 直线 l 的参数方程Error!( t 为参数) 化为直角坐标方程是 yx4，圆 C 的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是
14、x2y 24 x0.圆 C 的圆心(2,0)到直线 xy40 的距离为 d .又圆 C 的半径22 2r2，因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2 .r2 d2 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)设直 线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长7已知直线 l：Error!( t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为 (5， )，直线
15、 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| MB|的值3解 (1)2cos 等价于 22 cos.将 2x 2y 2，cosx 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22x0.(2)将Error!代入式，得 t25 t180.3设这个方程的两个实根分别为 t1，t 2，则由参数 t 的 几何意义即知， |MA|MB| t1t2|18.8已知直线 l 的参数方程是 Error!(t 为参数) ，圆 C 的极坐标方程为 4 cos .2 ( 4)(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 ，求实数 a 的值2解 (1)由 4 cos ，2 ( 4)得 4cos 4sin .即 24cos 4sin.由 Error!得 x2 y24x4y 0，
