映射与函数习题.doc

1、广 州 至 慧 教 育学生姓名 就读年级 授课日期 教研院审核 【知识点回顾】1.函数的概念一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个（任意性）元素 x，在集合 B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 y 和它对应，这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的一个函数（三性缺一不可）函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A 中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地，设 A、B 是两个集合

2、，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f:为从集合A 到集合 B 的一个映射（mapping） 。思考：映射与函数区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性”：“有序性”：映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；“存在性”：对于集合 A 中的任何一个元素，集合 B 中都存在元素和它对应；“唯一性”：对于

3、集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果 A、B 都是非空数集，那末 A 到 B 的映射 f:A B 就叫做 A B 的函数。记作：y=f (x).（2）定义域：原象集合 A 叫做函数 y=f (x)的定义域。（3）值域：象的集合 C 叫做函数 y=f (x)的值域。定义：给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 aA ， bB 。如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象。 给定映射 f：AB。则集合 A 中任何一个元素在集合 B 中都有唯一的象，而集合 B 中的元

4、素在集合 A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题 1：下图中的（1） （2）所示的映射有什么特点？ （ 1）mnpqBabcdA f（ ）（ 2） 3579B1234A f（ ）答：发现规律：（1）对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。（2）集合 B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义：一般地，设 A、B 是两个集合。f：A B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映)(01249A 014964B射下，对于集合 A 的不同元素，在集合 B 中有不同的象，且 B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 A 到 B

5、上的一 一映射。 注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A 到 B 是映射，B 到 A 也是映射。2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件3）一 一映射： A 和 B 中元素个数相等。例 2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,对应法则 f：a b = (a-1) 2 答：是映射，不是一一映射。 （如右图所示可以很容易可能出。 ）2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,对应法则 f：求平方根 ？ 答：不是映射。3）A=Z，B=N* ，对应法则 f：求绝对值？ 答：不是映射。4）A=1

6、1,16,20,21,B=6,2,4,0,对应法则 f：求被 7 除的余数答：是映射，且是一一映射。例 3：已知集合，(x,y)|x,y ，f 是从到的映射 f:x(x+1,x 2) .（）求 在 B 中的对应元素2（）(2,1)在中的对应元素解:（1）将 x= 代入对应关系，可得其在中的对应元素为（ +1，2）（2）由题意得： x+1=2 x2=1 x=1 即（2,1）在 A 中的对应元素为 1例 4：设集合 A=a、b,B=c、d、e（1）可建立从 A 到 B 的映射个数 .（2）可建立从 B 到 A 的映射个数 .答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合 A 中有 m 个元素，集合

7、B 中有 n 个元素，那么从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个。aAbBa的 象b的 原 象 f【映射例题精解】例 1 在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设 A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，对应关系是 f(x)=2x+1,x 属于 A 设 A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是A 中的元素开平方 设 A=R，B=R,对应关系是 f(x)=x 的 3 次方，x 属于 A 设 A=R,B=R,对应关系是 f(x)=2x 的 2 次方+1，x 属于 A 单射 满射一 一 映射解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、

8、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为 B 中不是所有值在 A 中都有对应。例 2 设 A=a,b,c,B=0,1,请写出两个从 A 到 B 的映射 从 A 到 B 的映射共有23=8个：（a，b，c）（0 ，0，0） ；（a，b，c）（0 ，0，1） ；（a，b，c）（0 ，1，0） ；（a，b，c）（1 ，0，0） ；（a，b，c）（0 ，1，1） ；（a，b，c）（1 ，0，1） ；（a，b，c）（1 ，1，0） ；（a，b，c）（1 ，1，1） 。例 3 假设集合 m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2 映射 f:MN 满足条件“对任意的 x 属于 M ,x+f(x)

9、是奇数” ，这样的映射 有_个当 x=-1 时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的 x 属于M，都有 x+f(x)是奇数”f(-1)=-2,0,2当 x=0 时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的 x 属于 M，都有 x+f(x)是奇数”可知 f(0)只能等于-1 和 1当 x=1 时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数 f(1)=-2,0,2综上可知，只有第种情况有限制，所以这样的映射共有 323=18 个 例 4 设集合 A=-1，0，1 B=2，3，4，5，6 从 A 到 B 的映射 f 满足条件 ：对每个XA 有 f（X）+

10、X 为偶数 那么这样的映射 f 的个数是多少？映射可以多对一，要让 f（X）+X偶数，当 X1 和 1 时，只能从 B 中取奇数，有 3，5两种可能，当 X0 从 B 中取偶数有 2 4 6 三种，则一共有 22312 个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m 种不同的方法,在第二类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有 m 种不同的方法,做第二步有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法例 5 已知：集合 ， ，映射 满足 ，,Mabc1

11、,0N:fMN()()0fabfc那么映射 的个数是多少？:f思路提示：满足 ，则只可能 ，即 、()()0afbc01()0()fa、 中可以全部为 ，或 各取一个()fbfc,1解： ，且(),()()NffN()()fabfc有 00当 时，只有一个映射；()()fabfc当 中恰有一个为 ，而另两个分别为 ， 时，有 个映、 、 01 326射因此所求的映射的个数为 167 例 6 给出下列四个对应： 其构成映射的是 （ ）只有 只有 只有 只有A B C D答案： 提示：根据映射的概念，集合 到集合 的映射是指对于集合 中的每一个元素，在集合ABA中都有唯一确定的值与之相对应，故选择

12、 B例 7若函数 满足 ，则下列各式不恒成立的（ ）()fx()(),fyfxyR0A(31)ff1()(2Cff 0Dx答案： D提示：令 有 ， ， 正确0y()(0)fxf()fA令 ，有 ， 正确1x32113(1)ffB令 ，有 ， ， 正确2y()()()2fff2C令 ，则 x0x由于 ， ，()f()(ff于是当 时， ，故 不恒成立，故选 0xy()0fxf()0fxfD例 8已知集合 ， ，下列不表示从 到 的映射是（ 4P2QyPQ）1:2Afxy 1:3Bfxy3C D答案： 提示： 选项中 ，则对于 集合中的元素 4，对应的元素 ，不在集合 中，2:fxyP83Q不符

13、合映射的概念例 9集合 ， ，那么可建立从 到 的映射个数是_，从3,4A5,67BAB到 的映射个数是_B答案： ,8提示：从 到 可分两步进行：第一步 中的元素 可有 3 种对应方法（可对应 5 或 6 或AA7） ，第二步 中的元素 也有这 3 种对应方法则不同的映射种数 反之从4 139N到 ，道理相同，有 种不同映射B28N例 10如 果 函 数 对 任 意 都 有 ， 试 求3()fxaxR(1)()fxf的 值 (2)f解：对任意 ，总有 ，R(1)()ff当 时应有 ，0x0即 (1)ff(1)f又 ， 3xa3()a故有 （，则 3(1)013(1)fx 3322()26f【

14、课堂练习】1设 f:AB 是集合 A 到集合 B 的映射，则正确的是 （ ）AA 中每一元素在 B 中必有象 BB 中每一元素在 A 中必有原象CB 中每一元素在 A 中的原象是唯一的DA 中的不同元素的象必不同2集合 A=3,4,B=5,6,7,那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_，从 B 到 A 的映射个数是_.3设集合 A 和 B 都是自然数集 N，映射 f:AB 把集合 A 中的元素 n 影射到集合 B 中的元素 ，则在映射 f 下，象 20 的原象是 （ ）A.2 B.3 nC.4 D.54如果(x,y)在映射 f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （

15、）A.（3，1） B.（ ） C. （ ） D.（-1，3）21,32,15.已知点(x，y)在映射 f 下的象是(2xy，2xy)， 求(1)点（，）在映射 f 下的像；（）点(4，6)在映射 f 下的原象. 6.设集合 A1,2,3,k,B4,7,a 4,a23a,其中 a,kN,映射 f:AB，使 B 中元素 y3x1与 A 中元素 x 对应，求 a 及 k 的值. 【综合练习】一、选择题：1下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是 （ ）AA=R，B =x|x0 且 xR，xA，f ：x|x|BA=N ，B =N ，x A，f：x| x1|CA=x|x0 且 xR，B=R，xA，f

16、 ：xx 2DA=Q，B=Q，f：x 12已知映射 f:AB，其中集合 A 3，2，1，1，2，3，4，集合 B 中的元素都是A 中的元素在映射 f 下的象，且对任意的 aA ，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （ ）A4 B5 C6 D73设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f：AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2nn，则在映射 f 下，象 20 的原象是 （ ）A2 B3 C4 D54在 x 克 a%的盐水中，加入 y 克 b%的盐水，浓度变成 c%(a,b0,ab) ，则 x 与 y 的函数关系式是 （ ）Ay= x By =

17、 xbcacbaCy= x Dy= x5函数 y= 的值域是 （ 32）A(，1 )( 1，) B(，1)(1 ，) C(，0 )(0，) D( ， 0)(1，) 6下列各组中，函数 f(x)和 g(x)的图象相同的是 （ ）Af(x)=x，g( x)=( )2 Bf (x)=1，g( x)=x0Cf(x)=|x|，g(x )= Df(x)=|x| ，g( x)=)0,(,7函数 y= 的定义域为 （ 112）A x| 1x1 Bx| x1 或 x1Cx|0x1 D 1，18已知函数 f(x)的定义域为0，1 ，则 f(x2)的定义域为 （ ）A(1，0) B1，1C(0，1) D 0，19设

18、函数 f(x)对任意 x、y 满足 f(xy)=f(x)f(y)，且 f(2)=4，则 f(1)的值为 （ ）A2 B C1 D22110函数 y=2 的值域是 （ x42）A2，2 B 1，2 C0，2 D ， 211若 函 数 y=x2x4 的 定 义 域 为 0， m， 值 域 为 ， -4， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ 25）A B ，4 C ，3 D ，4,023232312已知函数 f( 1)=x 1，则函数 f(x)的解析式为 （ ）Af(x)=x 2 Bf(x)=x 21( x1)Df(x)=x 22x 2(x1) Cf(x)=x 22x(x1)二、填空题：13己知集合

19、 A =1，2，3，k ，B = 4，7，a 4，a 23a，且 aN*，xA ，y B，使B 中元素 y=3x1 和 A 中的元素 x 对应，则 a=_ _， k =_ . 14若集合 M=1，0，1 ，N=2，1，0，1，2，从 M 到 N 的映射满足：对每个xM，恒使 xf(x) 是偶数， 则映射 f 有_ _个. 15设 f(x1)=3 x1，则 f(x)=_ _.16已知函数 f(x)=x22x2，那么 f(1)，f(1)，f( )之间的大小关系为 .3三、解答题：17 （1）若函数 y= f(2x1)的定义域为 1，2 ，求 f (x)的定义域 .（2）已知函数 f(x)的定义域为

20、 ， ，求函数 g(x)=f(3x)f ( )的定义域.123318 （1）已 f ( )= ，求 f(x)的解析式.x1（2）已知 y=f(x)是一次函数，且有 f f(x)=9x8，求此一次函数的解析式.19求下列函数的值域： （1）y=x 2 x，x1，3 （2）y = （3） 12yx20已知函数 (x)=f(x)g( x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数， g(x)是 x 的反比例函数，且 ( )=16， (1)=831（1）求 (x)的解析式，并指出定义域；（2）求 (x)的值域.21如图，动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始，顺次经 B、C、D 绕边界一周，当 x表示点 P 的行程，y 表示 PA 之长时，求 y 关于 x 的解析式，并求 f( )的值.2522季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为 10 元，并且每周(7 天)涨价 2 元，5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售； 10 周后当季节即将过去时，平均每周削价 2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式.（2）若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q0.125( t8) 212，t 0 ，16，tN *，试问该服装第几周每件销售利润 L 最大?