1、1第 三 章 静 电 场重 点 和 难 点介 绍 电 位 满 足 的 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 ， 对 于 方 程 的定 解 条 件 ， 以 及 解 的 存 在 、 稳 定 和 惟 一 性 问 题 应 予 说 明 ， 至于 求 解 方 法 及 惟 一 性 证 明 可 以 从 简 。镜 像 法 应 重 点 讲 解 。 强 调 镜 像 法 的 依 据 是 惟 一 性 定 理 ，镜 像 法 的 理 念 是 以 镜 像 电 荷 代 替 边 界 的 影 响 ， 从 而 把 一 个 非均 匀 空 间 变 为 均 匀 空 间 。 此 外 ， 还 应 说 明 仅 在 待 求 的 场 区 等效
2、 。三 种 坐 标 系 中 求 解 拉 普 拉 斯 方 程 的 方 法 ， 可 以 根 据 学 时多 少 ， 适 当 取 舍 。 若 学 时 允 许 ， 建 议 介 绍 圆 柱 坐 标 系 或 球 坐标 系 中 的 分 离 变 量 法 。 因 为 第 九 章 中 求 解 矩 形 波 导 中 电 磁 波时 还 要 使 用 直 角 坐 标 系 中 分 离 变 量 法 。重 要 公 式电 位 方 程 ：有 源 区 中 电 位 满 足 泊 松 方 程 ： 2无 源 区 中 电 位 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 ： 0泊 松 方 程 的 积 分 解 ： SGGVSV d) ,()() ,( d )(
3、00 rrrr自 由 空 间 格 林 函 数 ： | |41 ,0泊 松 方 程 的 自 由 空 间 解 ： VGV d ),(1)( 0rr2题 解3-1 已 知 在 直 角 坐 标 系 中 四 个 点 电 荷 分 布 如 习 题 图 3-1所 示 ， 试 求 电 位 为 零 的 平 面 。解 已 知 点 电 荷 q 的 电 位 为， 令 ，r 4)0,1(1，)0,3(2q,3q， ， 那 么 ， 图,4中 4 个 点 电 荷 共 同 产 生 的 电 位 应 为 41 irq令 ， 得0 0 4 4 321rqr由 4 个 点 电 荷 的 分 布 位 置 可 见 ， 对 于 x=1.5cm
4、 的 平面 上 任 一 点 ， ， 因 此 合 成 电 位 为 零 。 同 理 ， 对4321 ,rr于 x=0.5cm 的 平 面 上 任 一 点 ， ， 因 此 合 成 电3241 ,r位 也 为 零 。 所 以 ， x=1.5cm 及 x=0.5cm 两 个 平 面 的 电 位 为零 。3-2 试 证 当 点 电 荷 q 位 于 无 限 大 的 导 体 平 面 附 近 时 ， 导体 表 面 上 总 感 应 电 荷 等 于。)(q证 明 建 立 圆 柱 坐 标 ， 令 导体 表 面 位 于 xy 平 面 ， 点 电荷 距 离 导 体 表 面 的 高 度 为， 如 图 3-2 所 示 。 那
5、 么 ，h根 据 镜 像 法 ， 上 半 空 间 的 电场 强 度 为 320310 4 rqrE-q3cmYX+q+q-q1cm习 题 图 3-1xqP(r, z)hh21r-qz习 题 图 3-23电 通 密 度 为 )(43210rqED式 中 ；23231)(hzr23)(hz那 么 ， zzzhzrhzrzrzrqhrhr eeeeDr232322 232322 232322 )()( )()(4 )()(已 知 导 体 表 面 上 电 荷 的 面 密 度 ， 所 以 导 体 表 面 的 感nsD应 电 荷 为 2323230 )(4 hrqhrrqDzs 则 总 的 感 应 电 荷
6、 为 qhrqrSqss 0023)(ddd 3-3 根 据 镜 像 法 ， 说 明 为 什 么 只 有 当 劈 形 导 体 的 夹 角 为的 整 数 分 之 一 时 ， 镜 像 法 才 是 有 效 的 ？ 当 点 电 荷 位 于 两 块无 限 大 平 行 导 体 板 之 间 时 ， 是 否 也 可 采 用 镜 像 法 求 解 。答 根 据 镜 像 法 ， 如 果 劈 形 导 体 的 夹 角 不 为 的 整 数 分 之一 时 ， 则 镜 像 电 荷 不 能 最 终 和 原 电 荷 重 合 ， 这 样 将 会 产 生 无限 多 个 镜 像 电 荷 ， 每 个 镜 像 电 荷 都 会 产 生 一
7、定 的 电 位 ， 导 致合 成 电 位 无 限 大 ， 因 而 无 解 。当 点 电 荷 位 于 两 块 无 限 大 导 体 板 之 间 时 ， 可 采 用 镜 像 法求 解 。 此 时 虽 然 也 会 产 生 无 限 多 个 镜 像 电 荷 ， 但 是 远 处 的 镜像 电 荷 对 于 两 板 之 间 的 场 点 贡 献 越 来 越 小 ， 因4此 可 以 获 得 一 个 有 限 的 解 。3-4 一 根 无 限 长 的 线 电 荷 平 行 放 置 在 一 块 无 限 大 的 导 体平 面 附 近 ， 如 习 题 图 3-4 所 示 。 已 知 线 电 荷 密 度， 离 开 平 面 的 高
8、 度 m， 空 间 媒 质 的 相 对 介)C/m(10l5h电 常 数 。 试 求 ： 空4r间 任 一 点 场 强 及 能 量 密 度 ； 导 体 表 面 的 电 荷 密 度 ； 当 线 电 荷 的 高 度 增 加 一 倍时 ， 外 力 对 单 位 长 度 内 的 线电 荷 应 作 的 功 。解 建 立 圆 柱 坐 标 ， 令 导 体 表 面 位 于 xz 平 面 ， 导 体 上方 场 强 应 与 变 量 z 无 关 。 根 据 镜 像 法 ， 上 半 空 间 中 任 一 点的 场 强 为),(yxP yxyxyxeeerrE222 222 222221 )()( )()(hxhyxx h
9、hrl rlll电 场 能 量 密 度 为 222442 )()( )1 hyxhyxEwrlr 已 知 导 体 表 面 的 电 荷 面 密 度 ， 那 么0ysnD)m/C(2200hxlyrys Dn单 位 长 度 内 线 电 荷 受 到 的 电 场 力 可 等 效 为 其 镜 像 线 电 荷对 它 的 作 用 力 ， 即rlh导 体习 题 图 3-4xy5yeF2)(hrl可 见 ， 线 电 荷 受 到 的 是 吸 引 力 。 所 以 ， 当 线 电 荷 的 高 度增 加 一 倍 时 ， 外 力 必 须 做 的 功 为h（ J） 。12222 08.16d)(d)( hyWrlhrlh
10、lF3-5 在 无 限 大 的 导 体 平 面 上 空 平 行 放 置 一 根 半 径 为 a 的圆 柱 导 线 。 已 知 圆 柱 导 线 的 轴 线 离 开 平 面 的 距 离 为 h，试 求 单 位 长 度 圆 柱 导 线 与 导 体 平 面 之 间 的 电 容 。解 根 据 镜 像 法 可 知 ， 无 限 大 的 导 体 平 面 与 无 限 长 圆 柱 导 线之 间 的 场 分 布 与 两 根 无 限 长 平 行 圆 柱 导 线 之 间 的 一 半 空 间 的场 分 布 完 全 相 同 。 因 此 ， 圆 柱 导 线 与 导 体 平 面 之 间 的 单 位 长度 内 的 电 容 是 两
11、 根 平 行 圆 柱 导 线 的 单 位 长 度 内 的 电 容 一 倍 。由 教 材 3-3 节 获 知 两 根 平 行 圆 柱 导 线 的 单 位 长 度 内 的 电 容为 aDaDC2hrcos12ln1 式 中 D 为 两 根 圆 柱 导 线 轴 线 之 间 的 距 离 ， a 为 圆 柱 导 线的 半 径 。 因 此 ， 对 于 本 题 的 圆 柱 导 线 与 导 体 平 面 之 间 的 单 位长 度 内 的 电 容 为 ahahCrcos21ln21 若 高 度 ha， 上 式 还 可 进 一 步 简 化 为C2ln163-6 一 根 无 限 长 线 电 荷 平 行 放 置在 夹
12、角 60的 导 电 劈 的 中 央 部 位 ，离 开 两 壁 的 距 离 为 h， 如 习 题 图 3-6(a)所 示 。 若 线 电 荷 的 线 密 度 为 ， 试l求 其 电 位 分 布 函 数 。解 根 据 镜 像 法 ， 正 如 原 书 3-3 节 所 述 ， 需 要 引 入 5 个 镜像 电 荷 ， ， ， ， 和 ，l1l2ll4l它 们 离 场 点 P 的 距 离 分 别 为 r1， r2， r3， r4， 和 r5， 其 位置 如 习 题 图 3-6(b)所 示 。已 知 ， 无 限 长 的 线 电 荷 产 生 的 电 场 强 度 为rEl2可 见 ， 空 间 某 点 r 对
13、于 任 一 参 考 点 r0 的 电 位 为rlrlr 0n2d12d)(00 对 于 本 题 ， 若 取 坐 标 原 点 作 为 电 位 参 考 点 ， 因 为 原 线 电荷 离 坐 标 原 点 的 距 离 为 2h， 离 场 点 P 的 距 离 为 r0， 那l么 该 线 电 荷 在 P 点 产 生 的 电 位 为60 hlh习 题 图 3-6(a)l60l-ll-l-lPr0 r1r2r3r4r5习 题 图 3-6(b)rxyo702lnrhp因 为 全 部 镜 像 电 荷 离 坐 标 原 点 的 距 离 均 为 2h， 那 么 ， 劈间 任 一 点 P 以 坐 标 原 点 作 为 电
14、位 参 考 点 的 电 位 为 )lnlln2lln2(l 54310 rrhrh即 420531l3-7 已 知 点 电 荷 q 位 于 两 块无 限 大 的 接 地 的 平 行 导 体 板 之间 ， 如 习 题 图 3-7 所 示 。 两 板间 距 为 d， 点 电 荷 位 于 处 ，d试 求 两 板 间 的 电 位 分 布 。解 选 用 圆 柱 坐 标 系 ， 令 下 底 板 位 于 z=0 平 面 ， 点 电 荷q 位 于 轴 ， 则 导 体 板 之 间 任 一 点 电 位 与 角 度 无 关 。z根 据 镜 像 法 ， 必 须 在 轴 上 引 入 无 限 多 个 镜 像 电 荷 ，z
15、它 们 的 位 置 分 别 为 ：正 轴 上 ：z， ，)35,0(dq)7,(， 310dq负 轴 上 ：z， ，)3,0(dq)5,(， 370dqd d/3q习 题 图 3-7z zrP,q-q-qqqrx8则 两 板 之 间 任 一 点 的 电 位 为 ：zrP, 1 2121220 )3()3(4n dnzrdzrq 1 2121220 3)(3)(4n dnzrdnzrq3-8 试 证 位 于 无 限 大 导 体 平 面 上 半 球 形 导 体 上 空 的 点 电 荷 q受 到 的 力 的 大 小 为 245320)(1616adqF式 中 a 为 球 半 径 ， d 为 电 荷
16、与 球 心 的 间 距 ， 为 真 空 介0电 常 数 ， 如 习 题 图 3-8(a)所 示 。证 明 应 用 镜 像 法 ， 将 半 球 变 为 一 个 整 球 。 那 么 ， 为 了 保 证无 限 大 导 体 平 面 和 球 面 形 成 的 边 界 电 位 为 零 ， 必 须 引 入 三 个镜 像 电 荷 ： q， q， q， 其 中 q 和 q， 以 及 q和 q保 证无 限 大 平 面 边 界 的 电 位 为 零 ， q 和 q， 以 及 q 和 q保 证球 面 边 界 的 电 位 为 零 。 那 么 ， 根 据 镜 像 法 ， 求 得 镜 像 电 荷 q和 q分 别 为q 0ad习
17、 题 图 3-8(a)qqq0dd-qdd0习 题 图 3-8(b)9，qda其 位 置 分 别 位 于 及 处 。 因 此 ， 点 电 荷 所22 q受 到 的 力 应 为 三 个 镜 像 电 荷 产 生 的 电 场 力 的 矢 量 和 。 由 于 三种 电 场 力 的 方 向 均 位 于 一 条 垂 线 上 ， 矢 量 和 变 为 标 量 和 ， 即202020 )(4)(4)(4 daqdaqdqFqq 将 上 式 整 理 后 ， 即 得 )(1616245320qF3-9 当 孤 立 的 不 带 电 的 导 体 球 位 于 均 匀 电 场 中 ， 使0E用 镜 像 法 求 出 导 体
18、球 表 面 的 电 荷 分 布 。 （ 提 示 ： 利 用 点 电荷 与 导 体 球 之 间 的 镜 像 关 系 。 ）解 当 导 体 球 和 点 电 荷 之 间 的 距 离 远 远 大 于 其 半 径 时 ， 可以 认 为 该 导 体 球 附 近 的 电 场 是 均 匀 的 ，设 由 点 电 荷 产 生 ， 到 球 心 的 距 离 为 ， 球 半 径0Eqf为 a。 根 据 镜 像 法 ， 必 须 在 球 内 距 球 心 处 引 入 的 镜fad2像 电 荷 。 由 于 球 未 接 地 ， 为 了 保 持 总 电 荷 量 为 零 ，qf还 必 须 引 入 另 一 个 镜 像 电 荷 q， 且
19、 应 位 于 球 心 ， 以 保 持球 面 为 等 电 位 。 那 么 球 外 任 一 点 的 电 位 为rrq0201044式 中 ， ， 分 别 为 该 点 到 球 心 ， 电 荷 以 及 电 荷 的r12 qq距 离 ， 即10 frardrfarfrq cos2cos214220式 中 为 线 段 r 和 f 之 间 的 夹 角 。 已 知 导 体 表 面 的 电 荷 密 度， 将 电 位 函 数 代 入 得arararEDns 00 fafafafqs 1)cos2()cos2(4 2342232 因 为 ， 即 ， 代 入 上 式 ， 考 虑 到20fE20fEq， 即 当 时 ，
20、 取 上 式 极 限 ， 求 得aff cos30Es3-10 试 证 位 于 半 径 为 a 的 导 体 球 外 的 点 电 荷 q 受 到 的 电场 力 大 小 为 2302)(4afqF式 中 f 为 点 电 荷 至 球 心 的 距 离 。 若 将 该 球 接 地 后 ， 再 计 算 点电 荷 q 的 受 力 。证 明 根 据 镜 像 法 ， 必 须 在 球 内 距 球 心 处 引 入 的 镜fad2像 电 荷 。 由 于 球 未 接 地 ， 为 了 保 持 总 电 荷 量 为 零 ，qfa还 必 须 引 入 另 一 个 镜 像 电 荷 q， 且 应 位 于 球 心 ， 以 保 持球 面 为 等 电 位 。 那 么 ， 点 电 荷 受 到 的 力 可 等 效 两 个 镜 像电 荷 对 它 的 作 用 力 ， 即 ，（ N）rr eeF20201 )(4)(4afqdfq
