1、二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,既容易计算又是较好的近似值,问题: 一般函数 y = f (x)是否也有 y = f (x+x) f (x) = Ax + o(x)? A是什么?如何求?,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,由定义知:,更通俗地说, 是 的线性近似.,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,
2、即,可微与可导的关系,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,通常把自变量的增量,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,三
3、、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 计算,例6. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,四、 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误
4、差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,作业,P120 3 (4) , (7) , (8) , (9) ; 4 ; 9(1),(2) ;,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,2.,
