1、 第 1 页 共 10 页 2015 年深圳市高中数学竞赛试题及答案 一、选择题 （ 本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置） 1 集合 0,4, Aa ， 41, Ba ，若 0,1, 2, 4,1 6AB ，则 a 的值为 A 0 B 1 C 2 D 4 2 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图 不可能 是 长方形； 正方形； 圆； 菱形 . 其中正确的是 A B C D 3设 0 . 50 . 3 20 . 5 , l o g 0 . 4 , c o s 3a b c ，则 A c b a
2、 B c a b C abc D b c a 4. 平面上三条直线 2 1 0 , 1 0 , 0x y x x k y ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的值为 A. 1 B. 2 C. 0 或 2 D. 0 ， 1或 2 5函数 ( ) s in ( )f x A x（其中 0,| | 2A ） 的图 象 如图 所 示，为了得到 ( ) cos2g x x 的图 像 ，则 只 要将 ()fx的 图像 A向右平移 6 个 单 位长 度 B向右平移 12 个 单 位长 度 C向左平移 6 个单 位长 度 D向左平移 12 个单 位长 度 6. 在棱长为 1 的正四面体 1 2 3
3、 4AAAA 中，记12 ( , 1 , 2 , 3 , 4 , )i j i ja A A A A i j i j ，则 ija 不同取值的个数为 A 6 B 5 C 3 D 2 二、填空题 （本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分请把答 案填在答题卡相应题的横线上） 7已知 )1,( ma ， )2,1( b ，若 )()( baba ，则 m = . 8如图，执行右图的程 序框图，输出的 T= . 9. 已知奇函数 ()fx在 ( ,0) 上单调递减 ，且 (2) 0f ， 则不等式 0)()1( xfx 的解集为 10.求值： 250s in3 170c o s1 11 对任 意
4、实 数 yx, ，函数 )(xf 都 满 足 等 式 )(2)()( 22 yfxfyxf ，且 0)1( f ，则（第 5 题图） （第 8 题图） 3 侧视图 正视图 2 2 （第 2 题图） 2 第 2 页 共 10 页 )2011(f . 12.在坐标平面内，对任意非零实数 m ，不在抛物线 2 2 1 3 2y m x m x m 上但在直线 1yx 上的点的坐标为 . 答 题 卡 一、选择题 （ 本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 （本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分） 7 8 9 10 11 12 三、解答题
5、 （ 本大题共 6 小题，共 78 分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .） 13.（本小 题满分 12 分） 为预防 11HN病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性 (若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过 )，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表： A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 x y 疫苗无效 77 90 z 已知在全体样本中随机抽取 1 个， 抽到 B 组的概率是 0.375. （ 1）求 x 的值； （ 2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个，问应在 C 组中抽取多少个？ （ 3）已知
6、 465y , 25z ,求该疫苗不能通过测试的概率 . 第 3 页 共 10 页 14（本题满分 12 分） 已知函数 xxxf 2s in)12(c o s2)( 2 （ 1）求 )(xf 的最小正周期及单调增区间； （ 2）若 ),0(,1)( f ，求 的值 15（本题满分 13 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中， 21 AABCAC ， 90ACB ， GFE , 分别是ABAAAC , 1 的中点 （ 1）求证： /11CB 平面 EFG ； （ 2）求证： 1ACFG ； （ 3）求三棱锥 EFGB 1 的体积 . A C B B1 A1 C1 F G E 第 4
7、 页 共 10 页 16 （本题满分 13分） 已知函 数 ttxxxf 32)( 22 .当 x ), t 时，记 )(xf 的最小值为 )(tq . (1)求 )(tq 的表达式； (2)是否存在 0t ，使得 )1()( tqtq ？若存在，求出 t ；若不存在，请说明 理由 . 第 5 页 共 10 页 17 （本题满分 14分） 已知圆 22: 2 2 8 8 1 0M x y x y 和直线 : 9 0l x y ，点 C 在圆 M 上 ， 过直线 l 上一点 A 作MAC . （ 1）当 点 A 的横坐标为 4 且 45MAC 时，求直线 AC 的方程 ； （ 2）求 存在 点
8、C 使得 45MAC 成立的 点 A 的横坐标的取值范围 . 18 （本题满分 14分） 在区间 D 上，若函数 )(xgy 为增函数，而函数 )(1 xgxy 为减函数，则称函数 )(xgy 为区间 D上的“弱增”函数已知函数 1( ) 11fx x （ 1）判断函数 ()fx在区间 (0,1 上是否为 “ 弱增 ” 函数 ，并说明理由 ； （ 2）设 1 2 1 2, 0, ,x x x x ，证明2 1 2 11( ) ( ) 2f x f x x x ； （ 3）当 0,1x 时，不等式xax 111恒成立，求实数 a 的取值范围 2014 年深圳市高中数学竞赛决赛 参考答案 一、 选
9、择题： C B A D D C 二、填空题： 7. 2 8 29 9. ),2()1,0()2,( 10. 433 11 22011 12. 31( , ), (1, 0 ), ( 3, 4 )22 三、解答题： 13. （本题满分 12 分） 解： （ 1）因为在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B组的概率 0.375， 第 6 页 共 10 页 所以 375.0200090 x ， 2 分 即 660x . 3 分 （ 2） C 组样本个数为 y z 2000（ 673 77 660 90） 500， 4 分 现用分层抽样的方法在全 部测试结果中抽取 360 个，则应在 C 组中抽取个数为
10、 360 500 902000 个 . 7 分 （ 3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件 M. 由（ 2）知 500yz ，且 ,yz N ,所以 C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （ 465， 35）、（ 466， 34）、（ 467， 33）、（ 475， 25）共 11 个 . 9 分 由于疫苗有效的概率小于 90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有 9.02000660673 y ， 10 分 即 1800660673 y ， 解得 467y ， 所以事件 M 包含的基本事件有：（ 465， 35）、（ 466， 34）共 2 个 . 11 分 所以 1
11、12)( MP ， 故该疫苗不能通过测试的概率为 211 . 12 分 14. （本小题满分 12 分） 解： xxxf 2s in)62c o s (1)( 1 分 xxx 2s in6s in2s in6c o s2c o s1 xx 2s in212c o s231 2 分 1)32sin( x . 4 分 （ 1） )(xf 的最小正周期为 22T ； 5 分 又由 22,2232 kkx ， 6 分 得 )(12,125 Zkkkx ， 7 分 从而 )(xf 的单调增区间为 )(12,125 Zkkk 8 分 （ 2）由 11)32s in ()( f 得 0)32sin( ， 9
12、 分 所以 k 32 ， 62 k )( Zk 10 分 第 7 页 共 10 页 又因为 ),0( ，所以 3 或 65 12 分 15. （本题满分 13分） 解：（ 1）因为 EG、 分别是 ACAB、 的中点，所以 BCGE/ ； 1 分 又 BCCB /11 ，所以 GECB /11 ； 2 分 又 GE 平面 EFG ， 11CB 平面 EFG ， 所以 /11CB 平面 EFG 3 分 （ 2） 直三棱柱 111 CBAABC 中 ，因为 90ACB ， 所以 BC 平面 CCAA11 ； 4 分 又 BCGE/ ，所以 GE 平面 CCAA11 ，即 1ACGE ； 5 分 又
13、因为 21 AAAC ，所以四边形 11AACC 是正方形，即 11 ACCA ； 6 分 又 FE, 分别是 1,AAAC 的中点，所以 CAEF 1/ ，从而有 1ACEF ， 7 分 由 EGEEF ，所以 1AC 平面 EFG ，即 1ACFG 8 分 （ 3）因为 /11CB 平面 EFG ，所以111 EFCGEFGCEFGB VVV 10 分 由于 GE 平面 CCAA11 ，所以 GESVE F CE F CG 11 31，且 121 BCGE 11 分 又由于 2321114111111 E C CFCAAEFAA C CEFC SSSSS 正方形， 12 分 所以 2112
14、3313111 GESV EFCEFCG，即 211 EFGBV 13 分 16. （本题满分 13分） 解：（ 1） ttxxxf 32)( 22 13)1( 22 ttx 1 分 当 1t 时， )(xf 在 x ), t 时为增函数，所以 )(xf 在 x ), t 时的最小值为 ttftq )()( ； 3 分 当 1t 时， 13)1()( 2 ttftq ； 5 分 综上所述，2( 1 )() 3 1 ( 1 )ttqt t t t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6 分 A C B B1 A1 C1 F G E )(xf x 1 O 第 8 页 共 10 页 （ 2）由（
15、 1）知，当 0t 时， 13)( 2 tttq ， 所以当 0t 时， 131)1(2 tttq 7 分 由 )1()( tqtq 得： 1311322 tttt， 8 分 即 0133 34 ttt ， 9 分 整理得 0)13)(1( 22 ttt ， 11 分 解得： 1t 或 2 53t . 12 分 又因为 0t ，所以 1t .即存在 1t ，使得 )1()( tqtq 成立 . 13 分 17. （本题满分 14分） 解： （ 1） 圆 M 的方程可化为： 22 17( 2 ) ( 2 ) 2xy ，所以圆心 M （ 2， 2），半径 r = 342 . 1 分 由于点 A 的
16、横坐标为 4 ，所以 点 A 的坐标为 （ 4， 5），即 13AM . 2 分 若直线 AC 的斜率不存在，很显然直线 AM 与 AC 夹角不是 45 ，不合题意，故直线 AC 的斜率一 定 存 在 ， 可 设 AC 直 线 的 斜 率 为 k ，则 AC 的 直 线 方 程 为 5 ( 4)y k x ，即5 4 0kx y k . 3 分 由于 45MAC 所以 M 到直线 AC 的距离为 226|22 AMd ，此时 rd ，即这样的点 C 存在 . 4 分 由22 2 5 4 2621kkk ，得232 2621kk ，解得 15 5kk 或 . 5 分 所以所求直线 AC 的方程为
17、 0255 yx 或 0215 yx . 6分 (2)当 rAM 2| 时，过点 A 的圆 M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点 C （切点）使得45MAC . 7 分 设 点 A 的坐标为 ),( yx ，则有 09172342)2()2( 22yxyx ， 8 分 第 9 页 共 10 页 解得 63yx或 36yx. 9分 记点 )6,3( 为 P ，点 )3,6( 为 Q ，显然当点 A 在 线段 PQ 上时，过 A 的圆的两条切线成钝角，从 而必存在圆上的一点 C 使得 45MAC ； 11 分 当点 A 在线段 PQ 的延长线或反向延长线上时，过 A 的圆的两条切线成锐角，从而必
18、不存在圆上的 点 C 使得 45MAC ， 13 分 所以满足条件的点 A 为线段 PQ 上的点 ，即 满足条件的点 A 的横坐标取值范围是 3,6 . 14 分 18 （本题满分 14分） 解： （ 1） 由 1( ) 11fx x 可以看出， 在区间 (0,1 上， ()fx为增函数 . 1 分 又 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 )1 1 1 ( 1 1 ) 1 1xxfxx x x xx x x x x x ， 3 分 显然 )(1 xfx 在 区间 (0,1 上 为减函数 ， ()fx在区间 (0,1 为 “ 弱增 ” 函数 . 4分 （ 2） 12 2121 2 1
19、2 1 2 1 2 11111( ) ( )1 1 1 1 1 1 ( 1 1 )xx xxf x f xx x x x x x x x . 6 分 1 2 1 2, 0 , ,x x x x , 11 1 x ， 11 2 x ， 211 21 xx ，即 2 1 2 11 1 ( 1 1 ) 2x x x x ， 8 分 21( ) ( )f x f x 2112 xx. 9 分 （ 3）当 0x 时 ,不等式xax 111显然成立 . 1 0 分 “ 当 0,1x 时 ， 不等式xax 111恒成立 ” 等价于 “ 当 0,1x 时 ， 不等式)111(1 xxa 即 )(1 xfxa 恒成立 ” . 1 1 分 y O M A x l 第 10 页 共 10 页 也就 等价于 :“ 当 0,1x 时 ， min)(1 xfxa 成立 ” . 1 2 分 由 (1)知 1 ()fxx在 区间 (0,1 上 为减函数 , 所以有221)1()(1 m i n fxfx. 13 分 221a ，即 221a 时， 不等式xax 111对 0,1x 恒成立 . 1 4 分
