1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组,2019/7/2,1,1 矩阵的初等变换,2019/7/2,2,引例 求解线性方程组,2019/7/2,3,用消元法,2019/7/2,4,2019/7/2,6,令,代入方程组，得解,2019/7/2,7,消元法的三类变换：,（1）对调二个方程的次序；,（2）以非零的数 k 乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍,由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的,2019/7/2,8,定义1：,下面三类变换称为矩阵的初等行变换:,同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”),初等行变换和初等列变换统称初等变换。,2019/7/2,
2、9,三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。,2019/7/2,10,若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与B 等价，记作 A B .,矩阵的等价关系满足：,反身性 A A ； 对称性 若A B ，则B A ； 传递性 若A B ， B C ，则A C 。,2019/7/2,11,(1)的增广矩阵,线性方程组,2019/7/2,12,2019/7/2,13,行阶梯形,2019/7/2,14,行最简形,令,2019/7/2,15,等价标准形,2019/7/2,16,任一 mn 矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵,称为A的等价标准形。,2 初等矩阵,2019/7/2,1
3、7,定义2：,由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。,三类初等变换与三类初等方阵相对应,2019/7/2,18,其中,2019/7/2,19,2019/7/2,20,2019/7/2,21,三类初等矩阵：,其中,2019/7/2,22,三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。,2019/7/2,23,性质1：,设 A 为mn 矩阵，则,2019/7/2,24,A,B,P,小结1：矩阵A可通过若干个初等矩阵变成矩阵B小结2：初等行变换左乘；初等列变换右乘,小结1：矩阵A可通过若干个初等矩阵变成矩阵B小结2：初等行变换左乘；初等列变换右乘,P可逆,Q可逆,推论
4、1：若B=E，即 (A可逆),存在可逆矩阵P，使得PA=E推论2：,2019/7/2,27,方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。,定理2：,证明：,充分性.,必要性.,2019/7/2,28,方阵 A可逆的充要条件是 A E,推论1：,推论2：,mn阵 A与 B等价的充要条件是存在 m阶可逆阵 P和 n阶可逆阵 Q，使得 PAQ = B,注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。,2019/7/2,29,例.,2019/7/2,30,即,2019/7/2,31,解：,例：,2019/7/2,32,2019/7/2,33,2019/7/2,34,例：,解：,初等行变换,2019
5、/7/2,35,2019/7/2,36,设矩阵A可逆, 则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵X=A-1B, 为此, 根据A-1(A,B)=(E,A-1B); 可采用类似于用初等行变换求矩阵的逆的方法, 构造矩阵(A,B), 对其施行初等行变换将矩阵A化为E, 则上述的初等行变换同时也将其中的矩阵B化为A-1B, 即,同理, 求解矩阵方程XA=B, 等价于求矩阵X=BA-1, 便可利用初等列变换求解矩阵BA-1, 即,注：初等行变换只能行变换！初等列变换只能列变换！,3 矩阵的秩,2019/7/2,39,定义3：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k
6、阶行列式， 称为 A的一个 k 阶子式。,A的一个2阶子式：,2019/7/2,40,定义4：矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩，记作 R(A) 。,例4. 求矩阵A 和B 的秩, 其中,2019/7/2,41,2 阶子式,3 阶子式 | A|=0,3 阶子式,4 阶子式都 = 0, R(A) = 2, R(B) = 3,（1） R(A)=R(AT );（2） R(A) m, R(A) n, 0R(A) minm, n;（3） 设A为一n阶方阵, 且|A|0. 则R(A)=n; 反之, 如果R(A)=n, 则|A|0.,因此有：n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.,若A=A
7、nn且R(A)=n, 则称方阵是满秩的.,注1: 利用定义计算矩阵的秩, 需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式, 当矩阵的行数与列数较高时, 按定义求秩是非常麻烦的.,注2: 由于任意矩阵都可以经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵, 所以考虑利用初等变换来帮助求矩阵的秩这种方法称之为初等变换法.,矩阵的秩具有下列性质,2019/7/2,43,定理 3 若A B, 则 R(A) = R(B) .,事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。,2019/7/2,44,性质 1. 若A的所有 r 阶子式(如果有)全等于零， 则阶数大于r 的所有子式全
8、等于零。,若A的所有 k 阶子式全等于零, 则 R(A) k,2. 若A有一个 k 阶子式非零, 则 R(A) k,3. 若A为mn矩阵, 则 0 R(A) minm, n,4.,2019/7/2,45,5. R(PAQ) R(A), 其中P, Q为可逆矩阵。,6.,7.,8.,2019/7/2,46,故,证明（8）,2019/7/2,47,注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。 将 C1看成一个 n 阶矩阵划去了n-r1行, n-r2列，于是有,当k 1,k -4/5时, R(A) = 3. 当k = -4/5时, R(A)=2; 当k = 1时, R(A) = 2.,可见,
9、 阶梯形矩阵B的非零行有3行. 因此R(A) = 3, A的一个非零最高阶子式为,3 线性方程组的解,2019/7/2,51,2019/7/2,52,例10：求解线性方程组,解：,2019/7/2,53,可知方程组无解。,2019/7/2,54,例11：求解线性方程组,解：,2019/7/2,55,2019/7/2,56,得,令,故,2019/7/2,57,2019/7/2,58,化为行最简形矩阵,不妨假定,2019/7/2,59,( # ),2019/7/2,60,(1) 若 ，则 (#)无解。,2019/7/2,61,例9：求解齐次线性方程组,解：,2019/7/2,62,2019/7/2,63,2019/7/2,64,非齐次性线性方程组解的条件,2019/7/2,65,齐次性线性方程组解的条件,定理6：齐次线性方程组 有非零解的,充要条件是,2019/7/2,66,矩阵方程有解的条件,定理6：矩阵方程,有解的充要条件是,2019/7/2,67,定理9：矩阵方程,有非零解,充要条件是,有非零解的,有非零解,
