1、关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如 f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成 f(x) = 的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数 y = 的值域方法 判别式法 化简为一次分式法解题过程 y = ( x 2 1 ) y = x2 2x - 3 ( y1 ) x 2 + 2x + 3 y = 0 -* 当 y 1 时，= b 2 4 a c = 22 4 ( y 1 ) ( 3 y ) y = =
2、 当 x 1 时，y = ， 即：y 1 当 x = 1 时，= 4 y 2 16 y + 16= 4 ( y 2 ) 20 (= 0 时，y = 2 ) y R , 且 y 1当 y = 1 时 ，代入*式得： 2 x + 3 1 = 0 x = 1 函数的定义域为： x R | x 1 且 x 1 y 1由得函数的值域为：y = = = 2 函数的定义域为： xR | x 1 且 x 1 y 2由 得函数的值域为：结果 y R | y 1 yR | y 1 且 y 2 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值 y = 2。这就是说，用判别式
3、法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个 x 值，在值域内都有唯一一个 y 值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个 x 值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将 y 看作是 x 的系数），只是将 x 和 y 的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于 x 的方程。如果二次项系数不为 0，此方程为关于 x 的一元二次方程。其中，当0 时（是含字母 y 的式子），将这个范围内的 y 值代入方程，
4、都能够得到一个或两个与之对应的 x 值；而当0 时，方程无解，这说明在此范围内的 y 值没有 x 值与之对应，因此此范围内的值 y 不属于值域。 如果二次项系数为 0，此方程为关于 x 的一次方程，将此时 y 的取值代入解析式可得到一个与之对应的 x 值，如果所得 x 值在定义域内，则该 y 值属于值域；如果所得 x 值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该 y 值不属于值域。但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x 的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：y = ，(其中 a、
5、b、c、d 为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式 ，当 x = c 或 x = d 即分母为 0 时，方程左边等于 0，而(x-a)(x-b)0，即当 x 的取值使分母为 0 时，方程左右不相等，即没有 y 值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。但当分子分母中有公共因式存在时，情况就不同了。如文章开始时我们解的那道求值域的题目：y = ，整理后得：(x 2 1) y = x2 2x 3，我们发现，当 x = 1 时，即有 x2 1= 0，同时也有 x2 2x 3 = 0。即当 x 的取值使分母为 0 时，存在某一 y 值与之对应，
6、所以此时用判别式法求值域时就会产生增根。现在产生增根的原因已经搞清楚了，我们继续观察就会发现：增根产生的位置往往是在一元二次方程= 0 的时候，这又是什么原因呢？让我们继续深入研究。我们发现，上例中将0 的范围内取得的 y 值代入到一元二次方程中，所解得的 x 值中总有 x = 1 这个值。也就是说，在此范围内的任何一个 y 值总有 x = 1 与之对应。由此不难找出原因：使0 的 y 值（y2）均对应两个 x 值，其中 x = 1 使得分母为 0，为增根。另一个 x 值则在定义域内，所以 y值可看成是由此 x 值对应的函数值。而当= 0 即 y = 2 时，方程有两个相同根：x = 1，此时的 y 值（ y = 2 ）是由 x = 1 对应的。而 x = 1 可使分母为 0 ，不在定义域内，故其所对应的 y 值 2 亦不在值域内。这就是增根总是出现在= 0 处的原因。弄清楚了出现增根的原因及出处，我们今后在做此类题目的时候，就一定要注意先检查一下所求二次分式函数的分子、分母是否能够约分，然后再去考虑是否采用判别式法来求其值域；或用判别式法求出其值域后，再将= 0 时的 y 值代入分母进行检验，看是否会使分母为 0，以确保不产生增根。
