1、1排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种方法，在第二类办法中有 m2 种方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事情共有 Nm 1+ m2+mn 种不同的方法2分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1种方法,做第二步有 m2 种方法，做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 Nm 1 m2mn 种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数区别：分类加法计数原理与分
2、类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成4. 分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。分步是局部到位， （1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。 排列与组合1排列（1）排列定义：从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（2）排列数公式：A =n(n1)(n2) (nm 1)或写mn ACm成 A .特殊: A n n=n!=n(n-
3、1)!mnn！(n m)！（3）特征：有序且不重复2.组合（1）组合定义：从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（2）组合数公式：C = 或写成mn An(n 1)(n 2)(n m 1)m！2C .mnn！m！ (n m)！(3)组合数的性质C C ；mn n mnC C C .mn 1 mn m 1n（4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）1.抽取问
4、题：（1）关键：特殊优先；（2）题型： 把 n 个相同的小球，一次性的放入到 m 个不同的盒子中（nm） ，每个盒子至少 1 个，有多少种不同的方法？C mn把 n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的盒子中（nm） ，每个盒子至少 1 个，有多少种不同的方法？A mn把 n 个相同的小球，放入到 m 个不同的盒子中（nm） ，每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？m n 把 n 个不同的小球，放入到 m 个不同的盒子中（nm） ，每个盒子至少 1 个，有多少种不同的方法？A mn把 n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的盒子中（nm） ，每个盒子至多 1 个，有多少种不同的
5、方法？C n-1m-1 隔板法2.排序问题：特殊优先（1）排队问题： 对 n 个元素做不重复排序 Ann; 对 n 个元素进行（其中有 m 个元素的位置固定）排列 ;mnA如果对 n 个元素进行（其中有 m 个元素的位置固定,k 个元素的位置3固定）排列 ;KmnA 相邻问题捆绑法(注意松绑);不相邻问题:(a)一方不相邻先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的;(2)数字问题;各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数;各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数;组成 n 为偶数(奇数)的数-特殊优先法;能被 n 整除的数-特殊优先法;比某数大的数,比某数小的数或某数的
6、位置-从大于(小于)开始排,再排等于;(3)着色问题:区域优先-颜色就是分类点;颜色优先-区域就是分类点.(4)几何问题:点、 线、 面的关系一般均为组合问题；图中有多少个矩形 C 62 C42;从 A 到 B的最短距离 C 83(5)分组、分配问题：非均分不编号;n 个不同元素分成 m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽- .321211mnn非均分编号;n 个不同元素分成 m 组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽AB4mmnn AC.321211均分不编号;n 个不同元素分成 m 组，其中有 k 组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，
7、不考虑是否分尽kmnn AC.321211均分编号;n 个不同元素分成 m 组，其中有 k 组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽 kmnn AC).321211(二、二项式定理1.定理：(ab)n C anb0C an1 b C an2 b2C an rbrC a0bn(r0,1,20n 1n 2n rn n，n)2.二项展开式的通项Tr1 C anr br，r0,1,2，n，其中 C 叫做二项式系数rn rn3.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C C ，C C ，C C ，.0n n 1n n 1n kn n kn最大值：当 n 为偶数
8、时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数， 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aC C C C C 2 n；0n 1n 2n kn nbC C C C C C 2n2 n1 .0n 2n 2rn 1n 3n 2r 1n12二项式定理的应用：1.求通项; rnrbaT12.含 xr 的项： 项的系数；二项式系数。3.常数项（含 xr 的项中 r=0）整数项（含 xr 的项中 rN）有理项（含 xr 的项中 rZ）无理项（含 xr 的项中 r Z）4.项的系数和：（1）已知多项式 f(x)=(a+bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:1
9、2n 25a 0 =f（0）a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a+b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(1)= (a+b)n;a 0 +a2+a4+= ;)1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1） 。（2）已知多项式 f(x)=(a-bx)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:a 0 =f（0）a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |= f(-1)= (a+b)n;a 0 +a2+a4+= ;)
10、1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1） 。(3) 已知多项式 f(x)=(ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=（-1） n(b-ax)na 0 =f（0）a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(-1)a 0 +a2+a4+= ;)1(f6a 1 +a3+a5+= ;2)1(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1） 。(4) 已知多项式 f(x)=(
11、-ax-b)n(a,b0)=a0 +a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=（-1） n(ax+b)na 0 =f（0）a 0 +a1+a2+an = f(1)= (a-b)n; |a 0 |+|a1 |+|a2 |+|an |=|(-1)n|g(1)a 0 +a2+a4+= ;)1(fa 1 +a3+a5+= ;2)(f(a 0 +a2+a4+)2-( a1 +a3+a5+)2=f(1)f（-1） 。5.最值问题： 二项式系数最大：（a）当 n 为偶数时，二项式系数中， Cn2最大；（b）当 n 为奇数时，二项式系数中， 最大21n21n和项的是系数最大： 表示第 r+1 项的系数1rTC(a) 个项都为正数时 最大;112rrr TTC(b) 一项为正一项为负时 最大1113rrr TT6
