1、计算机数学基础(上)第4编 代数系统,第七章 群,本章主要内容：,代数系统群、子群交换群、循环群、置换群同态与同构重点：代数运算、群、循环群、置换群难点：群的判别、循环群、置换的乘法,7.1 代数结构概述,一、代数运算及其性质1。代数运算的定义 设f 是非空集合AA到A的一个映射，则称f 是A上的一个二元运算。 设f 是非空集合A到A的一个映射，则称f 是A上的一个一元运算。 因此，代数运算可以理解为值域包含在定义域中的函数，这种情况通常称为对运算封闭。 代数运算通常用*和表示，有时也读作乘。 例如， ，定义z=x+y-2，显然， ，可记作 或 。,因此，整数集、实数集上的加、减、乘法是二元运
2、算，非零实数集上的除法是二元运算，矩阵集合上的矩阵加法、矩阵加法是二元运算，幂集上的交、并对称差是二元运算，命题集合上的析取、合取、蕴含等价、不可兼析取是二元运算。 整数集、实数集上的、求相反数是一元运算，非零实数集上的求倒数是一元运算，矩阵集合上的矩阵的转置是一元运算，幂集上的求补是一元运算，命题集合上的否定是一元运算。,2000年1月填空题10 设A=1,2,3，定义在A上的二元运算 为： ，则 的运算表为 。解：运算表如下：,2。运算的性质 设 是A上的代数运算， 如果 ，则称运算 在A上可交换， 如果 ，则称 在A上可结合， 如果 ，则记作 ，余此类推。注意：在代数运算中的 表示 而不
3、是 。例如， 则 如果 ，则称运算 在A上满足幂等律，满足 的元素x称为运算 的幂等元。 如果 则称运算 满足分配律。,2000年1月选择题4 定义在实数集R上的二元运算*为 ，则二元运算同时满足交换律和结合律。其中+，是普通加法，减法和乘法。 A) a+bab B) a+2b C) b D) |a+b|解：B)、C)显然不满足交换律，A)满足结合律，D)不满足结合律。,A,2000年7月选择题5 在自然数集N上定义二元运算*，满足结合律的是 。 A) a*b=ab B) a*b=a+2b C) a*b=maxa,b D) a*b=|ab|解：,C,如果 ，则称运算 满足吸收律， 如果 ，则称
4、为运算 的左单位元， 如果 ，则称为运算 的右单位元， 如果 ，则称 是运算 的单位元。 例如，在数的加法运算中0是单位元，在数的乘法运算中1是单位元。在集合的并中 是单位元，集合的交中E是单位元。在矩阵加法中O是单位元，在矩阵乘法中In是单位元。在 中2是单位元。,如果 是非空集合A上的二元运算， 是 的单位元，对于A中的某一元素x，如果存在 ，满足 ，则称 是x的逆元，称x是可逆的。 例如，在数的加法运算中-a是a的逆元，在数的乘法运算中1/a是a的逆元。在矩阵的加法中-A是A的逆元在矩阵的乘法中A-1是A的逆元。在 中，4-a是a的逆元， 。 并不是在任何运算中都存在逆元的，例如在集合的
5、并或集合的交中就没有逆元。 在给定的集合和运算中，不同元素的逆元是不同的。单位元和某元素的逆元如果存在，则是唯一的。,二、代数系统 由非空集合A和定义在A上的一系列运算组成的系统称为代数系统，记作 。 如果运算 对A的子集B封闭，则称 为 的子系统。 检验一个系统是否构成代数系统，最重要的一点就是看运算对集合是否封闭，即运算的结果是否还在集合A中。 例如A=1,2,3,4,5，f (a,b)=lcm(a,b)(最小公倍数)就不构成代数系统。因为，f (3,5)=15不在集合A中，f 对A不封闭。,2001年1月填空题10 设(R*, )是代数系统，其中R*=R0，二元运算 定义为： ，那么，
6、a 的逆元是 。解： 1 是单位元，,7.2 群的概念,一、半群与群 1。设(G,*)是一个代数系统，如果二元运算*满足结合律，则(G,*)称为半群。 2。存在单位元，且每一个元素的逆元都存在的半群称为群。 判断一个半群是否为群，就是判断单位元是否存在，有没有不存在逆元的元素。 3。G中的元素个数有无穷多个的群称为无限群， G中的元素个数为有限个的群称为有限群，有限群中的元素个数称为群的阶，记作|G|。,2001年1月选择5 下列集合和运算能构成群的是 。(Mn(R),+)，其中Mn(R)是定义在实数集上的n阶矩阵，+是普通加法。(A,+)，其中A=0,1,2,n,+是普通加法。( ,0,2,
7、+)，其中+是普通加法。(0,1,2,3, )，其中 是模4乘法。,A,解：B) A是有限群，A对+不封闭， C) 显然对+不封闭， D) 1 是 的单位元，但 0 没有逆元。,二、群的性质 若(G,*)为群， 有， 1。 2。方程 在G中一定有解。注意：在半群中不一定有解，在群中一定有解。 3。满足消去律，即由 可得b=c。注意：半群不一定满足消去律，群一定满足消去律。三、子群 如果*对G的子集H构成群，则(H,*)称为(G,*)的子群，记作HG。 判断H是G的子群的充要条件是：,2000年7月证明题19 设R是实数集，定义在RR上的二元关系如下：证明(RR, )是群。证明： 满足结合律，
8、(RR, )是半群， 是单位元， ，因此(RR, )是群。,7.3 特殊群,一、交换群与循环群 1。如果群(G,*)中的二元运算*是可交换的，则称群(G,*)为交换群(阿贝尔群)。 2。如果 ，群(G,*)中的所有元素都可以表示为 ，则称群G为循环群，a为群G的生成元。 例如定义a*b=a+b-2，则群(Z,*)是循环群，1是群G的一个生成元， 因此，G是循环群。 同样可以验证，3也是G的一个生成元。,3。循环群一定是交换群证明：设(G,*)是循环群，a 是G的生成元。设 ，群(G,*)是交换群。 4。几个重要的结论 循环群的子群一定是循环群， 若|G|是素数，则群G一定是交换群， 若|G|5
9、，则群G一定是交换群， 若G是有限循环群，|G|=n， 。,二、变换群 从集合A到集合A的一个一一对应的映射，称为对集合A的一个变换。 由集合A的所有的变换构成的集合E(A)，对于变换的乘法(复合变换)，构成一个群，称为A上的一一变换群。 E(A)的子群称为变换群。,三、置换和置换群 1。置换 从有限集合M到有限集合M的一个一一对应的映射，称为M上的一个n元置换。 置换常用元素的对应关系来表示， ，例如， M上全体置换的集合记作Sn， 显然，Sn中包含有n!个不同的置换。,2。置换的乘积(复合) 设和是M的两个置换，对M中的元素先使用置换后，再使用置换，记作 置换的乘法满足结合律，但不满足交换
10、律。 3。n元置换群 设M是有n个元素的集合，M的所有置换的集合Sn关于置换的乘法构成一个群，称为n元对称群。 Sn的子群称为n元置换群。,2001年7月计算题16 设M=1,2,3,4，试计算解：,4。轮换 如果则称为长度为m的轮换。定理6 如果和是Sn的两个不相交的轮换即和中没有相同的元素，则和可交换，即 。定理7 如果是Sn中的一个置换，则可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积。,7.4 同态与同构,一、同态 如果(G,*)和(S, )是两个代数系统，f 是G到S的一个映射，f (G)=S，则称G与S同态，f 是G到S的一个同态映射。二、群同态 如果(G,*)和(S, )是两群，且G与S同态，则称G与S是群同态。三、同构 如果f 是两个代数系统(G,*)到(S, )的一个同态映射，且f 是双射，存在 f-1，满足f-1(S)=G，则称G与S在f 下同构，记作GS。,
