1、高等数学,黄明,武汉大学数学与统计学院,曲面与曲线,二次曲面空间曲线,二次曲面,柱面旋转曲面锥面球面椭球面，抛物面，双曲面,一、柱面与旋转曲面,1.概念,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线.,L,C,柱面： 的母线L，Lz轴； 的准线C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲线）,空间点M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影点M1(x,y),1.点M(x,y,z), M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0，,则点M1(x,y,0) 在的准线C上，,故点M(x,y,z)在柱面上；,2.点M(x,y,z) ，,则M的横、纵
2、坐标x,y满足F(x,y)=0,（点M(x,y,z)在过点M1(x,y,0) 母线L上）,（M的投影点M1(x,y,0) 在的准线C上）,M(x,y,z),M1(x,y,0),柱面的方程,2.几种常见的柱面,1.椭圆柱面,2.双曲柱面,3.抛物柱面,4.特殊的平面,1.椭圆柱面,2.双曲柱面,3.抛物柱面,3.抛物柱面,球面,在空间中，与一定点的距离为一定长的点的集合是球面，这个定点是球心，定长是半径。,标准方程,一般方程,锥面,一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，固定曲线称为锥面的母线,反之,任意满足如上方程的点必在此锥面上，故所求锥面的方程
3、为,旋转曲面,旋转曲面的方程,平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的轴。,yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转所成的曲面,p0,过p0作平面z=z0,与的交线为一圆周，其半径,但对p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0,M(x,y,z),有,若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。,故(2)式为此旋转曲面的方程。,故对曲线C:f(y,z)=0：,绕z轴旋转而成的曲面方程为,曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为,类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐标轴 旋转而成的旋转曲面的
4、方程。,旋转抛物面旋转椭球面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面,圆锥面,几种常见的旋转曲面,例1 yoz平面上的抛物线,绕z轴旋转而成的曲面,旋转抛物面：,例2 yoz平面上的抛物线,绕z轴旋转而成的曲面,旋转椭球面：,例3 yoz平面上的双曲线,绕z轴旋转而成的曲面,单叶旋转双曲面：,例3 zox平面上的双曲线,绕x轴旋转而成的曲面,双叶旋转双曲面：,三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中例1与例2 给出的旋转曲面就是二次曲面。相对而言，二次曲面有较广泛的应用，并且它的形状也比较简单。因此作为基本问题（）的例子，我们主要讨论以下几个特殊的二次曲面的形状： 1、椭球面 2、抛物面 3、双曲面
5、 讨论的方法一般是用坐标或特殊的平面与二次曲面相截，考察其截痕的形状，然后对那些截痕加以综合，得出曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。,1.椭球面,方程 表示的曲面叫做椭球面。下面我们根据所给出的方程，用截痕法来考察椭球面的形状。由方程可知 即 xa ,yb ,z c , 这说明椭球面包含在由平面 x = a , y =b , z = c 围成的长方体内。,这些截痕就是椭圆。即有：,先考虑椭球面与三个坐标面的截痕,再用平行于xoy面的平面z = h (0 h 0）去截这曲面，截痕为椭圆,当h0时，截痕退缩为原点；当h 0）去截这曲面，截痕方程是,当h 0时，(h=3)截痕是双曲线，其实轴平行于 x
6、 轴。当h = 0 时，截痕是xoy平面上两条相交于原点的直线当h 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。,(2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是 当k = 0时，截痕是yoz平面上顶点在原点的抛物线且张口朝下。k0时，截痕都是张口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随k增大而升高。,（3）用平面y = l 去截这曲面，截痕均是张口朝上的抛物线,综合以上分析结果可知，双曲抛物面的形状如图5-39所示。因其形状与马鞍相似，故也叫它鞍形面。,3、双曲面,双曲面分单叶双曲面与双叶双曲面两种。其中方程 所表示的曲面叫做单叶双曲面。用截痕法可得出它的形状如图5-40（a）（b）所示。,方
7、程 所表示的曲面叫做双叶双曲面。它的形状如图5-40（c）所示。,最后我们指出两点：（1）以上讨论的二次曲面都称为标准型二次曲面,它们的方程也称为标准型二次方程.在Oxyz坐标系中,如果将二次曲面作平移,那么曲面的方程就有所改变.若曲面 的方程是F(x,y,z) = 0, 则方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的图形 与 有相同的形状.有两种方法可得到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形: 一种方法是在同一坐标架下,将 沿着向径 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移 r 距离而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形；
8、另一种方法是先在OXYZ坐标系下作出 ：F(x,y,z) = 0的图形， 然后将坐标架平移，使移动后的坐标原点位于原坐标系的（-x0 ,-y0,- z0)处，并将坐标系改成Oxyz,这与平面解析几何中的情形是类似的。利用这一点，就可将某些非标准二次方程用简单的配平方法，找出它的标准形式，再用上述平移方法获得它的图形并确定其位置， 例如方程 经过配完全平方，得 故其标准形为,由此可知它表示椭圆抛物面，在OXYZ坐标系中作出椭圆抛物面。如下图,然后将坐标系Oxyz的原点O取在OXYZ坐标系的点（1，-1，3）处，作出x轴、y轴、z轴，使之分别平行于x轴、y轴、z轴与z轴并略去OXYZ坐标架，即得到原方程表示的图形。,（2）对一般的三元方程表示的曲面，用手工描点法是很难绘出它的三维立体图形的，读者可采用已有的计算机软件如Mathematica , Matlab在显示屏上获得它们的图形。对于本节所学常见曲面的图形应能绘出草图。,
