1、第九章 塑性力学简单实例,9-1 弹塑性弯曲和扭转问题,一、梁的纯弯曲,如图所示等截面梁, 横截面y和z两个对称轴, x是梁的纵轴, 纯弯曲发生在xoy平面内.,基本关系式,按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不可压缩,即 ,它们的应力和应变表示为,截面上的应力分布情况( 是梁的中性面到弹塑性分界面的距离):,梁截面上要满足的条件,1. 对于理想弹塑性材料,截面上的弯矩是,是弹性区对中性轴的惯性矩, 塑性区对中性轴的静矩.,弹性区的高度 , 梁的挠度 和梁的曲率半径 .,可以通过梁的弯矩公式来确定.,可以由梁轴的挠度方程来定,即在 处有,可以由挠度和曲率半径的关系得到,即,例1
2、如果梁截面是矩形, 高为 ,宽为 , 弯矩和曲率半径.,根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩.,弹性极限弯矩, 将 代入上式得到,塑性极限弯矩,将 代入前式得到,曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为,梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系,残余应力,梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残余应力.利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力 减去这个改变量得到残余应力 .即,由材料力学公式得到,则残余应力为,2.线性硬化弹塑性材料,梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上图.那么截面弯矩的表达式为,弹性区对中性轴的惯性矩.,塑性区
3、对中性轴下静矩.,塑性区对中性轴的惯性矩.,例2 如果截面为 的矩形, 则,将这些代入弯矩表达式得到,二、梁的横向弯曲,注意两点: 第一,忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本上可以用;第二, 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关, 而横向弯曲它们还与x轴有关. 截面应力为,另外截面应力还要满足下面条件:,例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性.,应力分布与纯弯曲情况相同,只是 随 变化.,截面弯矩为,它还要等于外荷载引起的弯矩,整理得到 与 的变化规律,表明弹塑性区的交界线时双曲线.如图红线所示. A和B为:,其中 是梁的弹性极限荷载, 令 和 得到,梁的塑性极限荷载 可令
4、和 得到,这样,此时, 梁中截面全部进入塑性状态, 上图的深黄色线表示.相当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰.塑性铰的出现, 梁变为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力.,三、 压杆的塑性失稳,塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式可以看出,有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加. 因此, 在短柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载.,对压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以,但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看, 截面的凸
5、侧部分( )压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率; 而截面的凹侧部分( )应力增加是加载过程, 要服从塑性规律, 所以失稳过程截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量. 我们需要计算折减模量.,根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的Euler临界荷载为,通过上面分析, 我们应该注意 加载区和 卸载区引起的附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定,压曲时附加应变为(注意坐标轴的选取):,这样引起的附加应力为,根据Engesser和Karman的意见,压杆在压曲时轴力不变, 所以,式中 和 是面积 和 对分界线( )的静矩.由此可以确定分界线的位置(即确定 ).,另外, 压曲是杆的弯矩为,式中
6、,称为折减模量,或称Engesser-Karman模量,我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就可以得到压杆塑性失稳的临界荷载.,例题4-4 计算矩形截面 的折减模量.,解: 设加载区和卸载区的高度分别为 和 , 即有,代入前面的公式 得到,所以,注意: 许多实验结果表明, 荷载低于本节给出的塑性失稳的临界荷载就会失稳. 这是因为在杆发生压曲的同时可能伴随荷载的增量, 这样在截面上不存在卸载区, 此时必需采用 来代替 .,4-4 圆杆的塑性扭转,问题的提出: 等截面长圆杆的两端, 作用有大小相等, 方向相反的扭矩 时的扭转问题.,假定:1)截面的直径在变形过程中没有弯曲及伸缩;
7、 2) 原来的截面变形后仍为圆形平面(平截面假定); 3) 任意两个截面变形后距离不变而只发生相对转动 ( 称为扭角).,根据上述假定, 横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并且垂直于该点的半径, 而任意两个横截面的相对扭角正比于它们之间的距离.,圆杆的位移,应变和应力采用圆柱坐标,位移分量为:,其中 为单位长度扭角.,应变 , 其它为零.,应力除 (它的大小与 有关,是 的函数)不等于零外, 其它为零.,注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆两端的边界条件可以只在合力方面得到满足.,杆的两端的边界条件可
8、以写成,如果知道具体的 , 就可以积分. 现在假定材料是理想弹塑性的, 见图.,1)求弹塑性交界面,交界面的半径为,应力分布图,残余应力,2)扭矩 和 的关系:,3)弹性极限扭角( ):,弹性极限扭矩为,4)塑性极限扭角( ):,那么有,5) 残余应力,在 作用下, 按弹性计算得到,由卸载前的应力减去上式的剪应力得到残余应力.见前页图.,4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩,在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立,
9、 而因此得到的最大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转.,1.弹性分析,1) 位移法 采用直角坐标系, 以 表示杆的单位长度的扭角, 则非圆截面杆件在扭转时的位移分量为:,表示各截面的翘曲形状, 称为翘曲函数,是待定的. 这里采用等翘曲假定.,代入几何方程得到,再代入广义Hooke定律得到,将它们代入下面的平衡方程,得翘曲函数要满足调和方程:,满足边界条件:,在侧面:,在两端:边界条件为,由此可以得到,上面可以先求解翘曲函数 ,然后求 ,最后求应力应变和位移.,2)应力函数方法. 引入扭转应力函数 ,使得,上面两式分布对y和x求导然后相加得到,考虑边界条件: 在周边上有,所以
10、在周边上,对于实心杆,在两端有,根据上面分析,求解扭转问题的应力函数法的步骤是:,a)先求应力函数 b)求应力分量, 和应变分量. 再求总应力, 即,即总剪应力等于 的梯度的绝对值.,c)再求位移u,v 和翘曲函数 ,再求w.,2.塑性极限分析,在扭矩 达到 时, 在截面上一点开始屈服, 那么 称为弹性极限扭矩. 如果整个截面处于塑性状态, 杆为理想塑性材料,则杆的承载能力已经达到极限, 这时扭矩称为塑性极限扭矩 .,现在来求一下 . 当截面进入全塑性状态, 其应力分量仍满足平衡方程, 仍可引入应力函数来满足平衡方程;并且对于理想弹塑性材料, 各点的应力应该满足屈服条件,也就是,分析上式.把应力函数 看成一个曲面方程, 这个曲面的底是杆的截面, 这是因为应力函数在周边等于零; 曲面的斜率为常数 ,是等倾曲面.这个曲面称为应力曲面.那么塑性极限扭矩为,
