1、物理中的数学方法,南京市中华中学 王高,数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力的工具高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学方法应用能力是高考命题的永恒主题,在物理考试大纲中明确提出:“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论、必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。能进行正确的数学运算”.,2009年江苏高考物理科目考试说明中的能力要求,4.应用数学处理物理
2、问题的能力 能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果作出物理判断、进行物理解释或得出物理结论。 能根据物理问题的实际情况和所给条件，恰当运用几何图形、函数图像等形式和方法进行分析、表达。能够从所给图像通过分析找出其所表示的物理内容和解决物理问题。,所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程,处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、归纳法、微元法、
3、 数列法等详见下表：,极值问题解题的基本思路是根据实际问题设想一个合理的、简单化的物理模型，找出描述其状态的有关物理量，然后根据问题所描述的物理现象，应用有关的物理概念和规律，列出有关物理量之间的函数关系式，采用一种简便的求极值的数学方法，求出物理量的极大值或极小值.,1.极值法,例1（08年四川卷）如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为（090）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小
4、球P相应的速率。重力加速度为g。,此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：,解析:据题意，小球P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：fqvB ,f的方向指向O。根据牛顿第二定律：,Ncosmg =0，fNsin=ma,联立解得：,由于v是实数，必须满足,由此得:,可见，磁感应强度大小的最小值为,方法指导,物理问题,运用物理规律,数学方程,数学方法,得到结果,检验,2.几何法,常用的几何知识有：相似三角形的对应边成比例、直角三角形的边角关系、圆周运动的圆心、半径等几何性质及正弦定理、余弦定理等。,例2 如图所示，轴右方有方向垂直于纸面的匀强磁场，一个质量为m，电量为的
5、质子以速度v水平向右通过轴上P点，最后从轴上的M点射出磁场已知M点到原点O的距离为H，质子射出磁场时速度方向与轴负方向夹角30，求：(1)磁感应强度大小和方向(2)适当时候，在轴右方再加一个匀强电场就可以使质子最终能沿轴正方向做匀速直线运动从质子经过P点开始计时，再经多长时间加这个匀强电场?电场强度多大?方向如何?,解析：(1)先找圆心过M点和P点的切线作垂线，其交点即为粒子做匀速圆周运动的圆心，则由几何关系，有：cos60，得2/3又由 ，得 ，方向垂直于纸面向里,(2)沿y轴正方向做匀速直线运动，说明v0应沿y方向，由左手定则，F洛水平向左(沿x方向)则qE应水平向右(沿x方向)这样y方向
6、不受力，粒子做匀速直线运动，满足qEqBv，所以应从P点经1/4T时加这个匀强电场，其场强E：,本题的解题应用了几何法。求解过程由两部分组成:其一，得出必要的几何形状，其二，利用粒子在磁场中的周期公式和半径公式建立方程。解决此类题目的关键是利用数学中的几何知识，即先作几何图形然后再利用物理知识求解。通常的解题思路为:(1）画带电粒子的运动轨迹；(2)找圆心，由几何关系求半径，利用周期公式求时间;(3)结合其他物理规律求解其它未知量。,方法指导,数形结合是一种重要的数学思想，其应用大致可分为两种情况：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.图象法解
7、题便是常见的数形结合思想的应用。,有关以图象及其运用为背景的试题，成为历届高考考查的热点，它要求考生能做到三会：（1）识图：从图象中获取信息；（2）作图：从提供的物理情境画出相对应的图象且能对图象变形或转换；（3）用图：根据图象展现的物理情境进行物理分析与计算。,3.图象法,例3.用铁锤将木桩打入泥土中，如果泥土对桩的阻力与桩进入泥土中的深度成正比，在铁锤打击第一次时，木桩进入的深度为10cm，若铁锤仍以第一次相同的速度打击木桩，问能把桩再打进多深?,解析:桩所受的摩擦力f与进入泥土深度x成正比，则f=-kx，则得图中阴影部分面积表示桩进入过程中摩擦力做的功。,可得x=4.1 cm即为桩第一次
8、打入的深度。,依题意:两次打桩后，桩进入泥土过程中初、末速度相同，由动能定理可知摩擦力在两段过程中所做的功相等。,例4. 在如图所示的电路中，R1和R2为定值电阻，在滑动变阻器R的滑动片P从下端a逐渐滑到上端b的过程中，电阻R1消耗的电功率（ ）A 一定是逐渐减小 B 有可能是逐渐减小C 有可能是先变小而后变大 D 一定是先变小而后增大,解析：电阻R1消耗的电功率P1=I2Rl，因Rl为定值，所以Pl随I的变化而变化。要确定I的变化情况需要画出等效电路。根据闭合电路欧姆定律，通过R1的电流,当Rx变小时，Rbp逐渐变小，I逐渐变大，P1就逐渐变大。,当Rx变小时，Rbp是先增大后减小，I是先减
9、小后增大，所以P1是先变小后增大。,当Rx变小时，Rbp一直减小，I一直增大，所以P1是逐渐增大的。,(1) R=R2,(2) RR2,(3)R ECx ，A项正确；同理可知O点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C项错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧， EBx 的方向沿x轴负方向，在O点右侧， ECx的方向沿x轴正方向，所以B项错误，D项正确。,微元法同样可以用来分析处理图象问题。其实，在x图象中的某点取一距离元x，即可得到该点电场强度 。当x0 时， 反映的是该点的斜率，所以x图象中斜率的大小反映了电场的强弱，斜率的正负反映了场强的方向相反。,方法指导,例7(09年江苏第15题)如图所
10、示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为d（d l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：,（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t
11、1 ；（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm 。,解析: (1)装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中， 由能量守恒得,（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d 由动能定理,线框在磁场中以速度v运动时受到的合力,由于v是变化的，所以F是变力。线框的运动是变加速运动。在t到t+t时间内，由牛顿第二定律有,则,有解得,（3）经过足够长时间后，线框上边在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动,解得,由动能定理,线框在磁场中做变加速运动，要求其运动时间，一般都采用微元法。关键是如何选取合适的微元，本题中是选取了时间元t,然后巧妙地进行了换元，即利用 将时间元t交换成了位移元x，使后面的累积求和更简捷了。,方法指导,数学是物理问题的抽象，研究的是一般规律，但是具体的不同的物理题目，却限定了在这个规律的部分区间里来解决问题;反过来，数学方程式反映的又可能是物理题目限定或要求条件的一部分。在二者不完全相同时，求得的解必须经过物理判断;在二者表示的条件范围完全相同时，所求出的结果必定全部适合物理题目。,友情提醒,
