2010学年第一学期温州十校联合体高三期末考试.DOC

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1、雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间 2010 学年第一学期温州十校联合体高三期末考试数学参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分。序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A C D B D C 5.解： A。 2sin 2 co sab 22 2 2 21212 si n c o s c o s 2 ta n 1 821si n c o s ta n 1 5( ) 12 . 6.若 12| | | | 8PF PF，则点 P 的轨迹是以 12( 5, 0), (5, 0)FF 为焦点的双曲线，其方程为22116

2、9xy。因为直线 34yx 是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有12| | | | 8PF PF。 7.作出函数 ()y f x 的图象 .因为由方程 2 ( ) ( ) 0f x af x,得 ( ) 0fx 或 ()f x a .显然( ) 0fx 有一个实数根 1x ,因此只要 ()f x a 有两个根 (不是 1x ),利用图象可得 , 实数 a的取值范围是 1, ) . 8.当 1n 时， 1122aS，得2 12a。当 2n 时，有 122nnaS，两式相减得1 12nnaa 。再考虑到2112aa，所以数列 na 是等比数列，故有 12 2 ( )2 nnS 。因此原不等

3、式化为212 2 ( )1 0 0 1 1 1211 0 0 0 1 02 2 ( )2nn，化简得 1 1 1()100 2 10n，得 4,5,6,7,8,9n ，所以 n 的最大值为 9. 9.利用向量知识可知，点 ( , )Qxy 落在平面直角坐标系中两直线 1, 2x y x y 及 x 轴、y 轴围成的四边形（含边界）内。又因为 21 1111y x y kxx ，其中 11yk x 表示点( 1, 1)R 与点 Q 连线的斜率。由图形可知 1 33 k，所以 42431yxx 。雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间 10.直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内

4、。又点 P 在内接球的球面上，故点 P 的轨迹是正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆。可求得点 O 到此平面的距离为 55 ，截得小圆的半径为 255 ，所以以点 P 的轨迹的长度为 455 。二、填空题 :本大题共 7 小题，多空题每题 6分，单空题每题 4 分，共 36分。 11. 16 、 24 (8 4 13) 12. 2 1E 、 3nn13. 1 、 23 14. xy 42 、 510 15. 2521 x 16. 44 对 17. 2 2 2 分析： 11.解： 16 ， 24 (8 4 13) 。易知此几何体是半个圆锥。 12.解： 2 1E ， 3

5、nn。可以求得随机变量 2的分布列如表所示，期望为 1。当 12 nn 时的概率是 3nn13. 解： 1 ； 23 。由于 )(xf 的周期为 76 ，则 5( ) ( )36ff ，即5c o s s i n ( )36a ，解得 1a 。此时 1 6 2 2 3( ) ( ) s in ( )3 3 3 2ff 。 14. 解： 2 4 ,10 5yx 。因为焦点为 (1,0)H ，所以抛物线的方程是 2 4yx 。设22( , 2 ), ( , 2 )A a a B b b，由抛物线的对称性可知， ba 。又因为 AH OB ，得2

6、211abab ，解得 5a （不妨取正值），从而可得。 0 1 2 4 p 95 91 92 91 雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间 15.解： 2521 x 。原不等式可化为 | | | | ( | 1 | | 2 |)|a b a b xxa 恒成立，因此只要求 | | | |a b a by a 的最小值。因为 | | | | | ( ) ( ) | 2 | |a b a b a b a b a ，所以 2y ，且当 ( )( ) 0a b a b 时取到最小值为 2. 因此有 2|2|1| xx ，解得 2521 x 16.解： 44 对。由条件可得 ,CardA B Ca

7、rdB A。当 0 , 8CardA CardB时，显然不成立；当 1, 7CardA CardB时，则 7 ,1AB，所以 7 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 AB ，符合条件的集合对有 1 对；当 2 , 6CardA CardB时，则 6 ,2AB，所以 A 中的另一个元素从剩下 6个数中选一个，故符合条件的集合对有 16 6C 对；当 3, 5CardA CardB时，则 5 ,3AB，所以 A 中的另两个元素从剩下 6 个数中选 2 个，故符合条件的集合对有 26 15C 对；当4 , 4C ardA C ardB时，则 4 ,4AB，矛盾；由对称性，剩下的几

8、种情况类似，故符合条件的集合的对数是 2 (0 1 6 1 5 ) 0 4 4 对。 17. 解一： 2 22 。设 ( , ) , ( , 0 ) ( , 0 )A a a B b a b，则直线 AB 的方程是( ) 0a x a b y a b 。因为若直线 AB 与圆 221xy相切，所以22 1()abd a a b，化简得 2 2 2 222a b ab a b ，利用基本不等式得 2 2 2 22 2 2 2 2a b a b a b a b a b ，即2 2 2ab ，从而得 22| | ( ) 2 2 2AB a b a ab ，当 2ba ，即2 2 , 4 2 2a

10、ab ，即 21 ( ) 12aba b ab ，整理得 2( ) 4 ( ) 4 0a b a b ，解得 2 2 2ab ，即 |AB 的最小值是 2 2 2 。三、解答题 : 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分 ) 已知 ABC 三内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 c o s 3 c s i n 0a C A b c ，（ 1）求角 A 的值；（ 2）求函数 ( ) c o s 2 4 s in s inf x x A x在区间 23 , 74的值域。解：（ 1）因为 c o s 3

11、c s i n 0a C A b c ，由正弦定理得 s i n A c o s 3 s i n C s i n s i n s i n 0C A B C ， 2 分即 3 s i n C s i n c o s s i n s i n 0A A C C 。因为 sin 0C ，得 3 sin cos 1AA， 4 分所以 1sin( )62A ， 6 分解得 3A 7 分（ 2）由上可得 3sin 2A ， 8 分所以 22 35( ) c o s 2 4 sin sin 1 2 sin 2 3 sin 2 ( sin )22f x x A x x x x 。 11 分因为

12、23x , 74 ，所以 2sin ,12x ， 12 分故函数 ()fx的值域为 5 6, 2 。 14 分雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间 19. (本题满分 15 分 ) 如图四边形 PABC 中， 90PAC ABC ， 2 3 , 4PA AB AC ，现把 PAC 沿AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成 60 ，设此时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（ O 与 B 在 AC 的同侧），（ 1）求证： /OB 平面 PAC；（ 2）求二面角 P BC A 大小的正切值。解：（ 1）连 AO，因为 PO 平面 ABC，得 PO CA 。又因为 CA

13、PA ，得 CA 平面 PAO， CA AO 。 3 分因为 PAO 是 PA 与平面 ABC 的角， 60PAO。因为 23PA ，得 3OA 。在 OAB 中， 9 0 3 0 6 0O AB ，故有 OB OA ， 6 分从而有 /OB AC ，得 /OB 平面 PAC。 8 分（ 2）过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点，连 PG，则 PGO 是二面角 P BC A 的平面角。在 Rt PGO 中，易知 333, 2PO OG，所以 23ta n 3POP G O OG 15 分雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间另解：（ 1）同上（ 2 ）以

14、OB 、 OA 、 OP 为 x 、 y 、 z 轴，建立坐标系，可得( 0 , 3 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , C ( 4 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 )A B P。可求得平面 ABC 的法向量是 (0,0,1)m ，平面 PBC 的法向量是 (1, 3, 3) ，所以二面角 P BC A 大小的余弦值是 3 21cos717 ，即 23tan 3 20. (本题满分 15 分 ) 定义在 D 上的函数 ()fx，如果满足：对任意 xD ，存在常数 0M ，都有 | ( )|f x M ，则称 ()fx是 D 上的有界函数，其中

15、M 称为函数 ()fx的上界。已知函数 321( ) 13f x x ax x ，（ 1）当 5 , 1, 33aD 时，求函数 ()fx在 D 上的上界的最小值；（ 2）记函数 /( ) ( )g x f x ，若函数 1( ) 2 xyg 在区间 D 0, ) 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围。解：（ 1）因为 321( ) 13f x x ax x ， 5 , 1, 33aD ，得/2 10( ) 1 03f x x x ， 1分得 3x 或 13 ， 2 分故可得函数 ()fx在区间 1 1, 3 上单调递增，区间 1 ,33 是单调递减。 3 分因为

16、 1 9 4( 1 ) 2 , ( ) , ( 3 ) 23 8 1f f f ，所以 942 ( ) 81fx ， 5 分 | ( )| 2fx ，故有上界 2M ，即上界的最小值是 2 。 7 分（ 2）因为 2( ) 2 1g x x ax ， 8 分故有函数 21 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 12 2 2x x xy g a ，令 1()2x t ，因为 x 0, ) ，得 (0,1t 。雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间因为函数 1( ) 2 xyg 在区间 x 0, ) 上是以 3 为上界的有界函数，得 | ( )| 3gt 在区间 (0,1t 上恒成

17、立，即 23 2 1 3t at ， 11 分得 2122ttatt 在区间 (0,1t 上恒成立。 12 分记 21( ) , q ( t)22ttpt tt ，当 (0,1t 时， 2() 2tpt t 单调递增，所以max 5() 2pt ； 1q( ) 2tt t 单调递减，min 1() 2qt ，所以实数 a 的取值范围是 5122a 。 15 分（另解：利用函数 2( t) 2 1 ( 0 1 )g t at t 的最值求解。当 0a 时，函数 (t)g 在区间 (0,1 上单调递增，所以只要 (1) 2 2 3(0) 1 3gag ，解得 12a ，所以 1

18、0 2a ；当 10a 时，函数 (t)g 在区间 (0, a 上单调递减，在区间 ,1a 单调递增，所以只要2(1) 2 2 3(0 ) 1 3( ) 1 3gagg a a ，解得 12 2a ，所以 10a ；当 1a 时，函数 (t)g 在区间 (0,1 上单调递减，所以只要 (1) 2 2 3(0) 1 3gag ，解得 52a ，所以 5 12 a 综上可知，实数 a 的取值范围是 5122a ） 21. (本题满分 15 分 ) 椭圆 22 1( 0 )xy abab 的离心率为 13 ，左焦点 F 到直线 l ： 9x 的距离为 10 ，圆 G：雷网空间 -教案课件

19、试题下载雷网空间 22( 1) 1xy，（ 1）求椭圆的方程；（ 2）若 P 是椭圆上任意一点， EF 为圆 N： 22( 1) 4xy的任一直径，求 PEPF 的取值范围；（ 3）是否存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线，切点为 T，都满足 |2|NFNT ？若存在，求出圆 M 的方程；若不存在，请说明理由。解：（ 1） 22198xy 3 分（ 2） 2 2 2 2 2 2811 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 8 ) 1 ( 3 ) 193P E P F P N x y x x x ，因为 33x ，所以 3,15PE PF ，

20、即 PEPF 的取值范围是 3,15 。 8 分（ 3）设圆 M 2 2 2( ) ( ) ( 0 )x m y n r r ，其中 22198mn，则 2 2 2 2 222x y m x n y m n r 。 10 分由于 |2|NFNT ，则 2 2 2 2( 1 ) 2 ( 1 ) 1 x y x y ， 12 分即 22 6 1 0x y x ，代入 2 2 2 2 222x y m x n y m n r ，得 2 2 22 ( 3 ) 2 1 0m x n y m n r 对圆 M 上任意点 N 恒成立。只要使2 2 23001mnr m n ，即3010mnr ，

21、经检验满足 22198mn，故存在符合条件的圆，它的方程是 22( 3) 10xy 。 15 分 22. (本题满分 15 分 )已知数列 na 满足 211 11, 8nna a a m ， (1)若数列 na 是常数列，求 m 的值；雷网空间 -教案课件试题下载雷网空间（ 2）当 1m 时，求证： 1nnaa ；（ 3）求最大的正数 m ，使得 4na 对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。解：（ 1）若数列 na 是常数列，则 22111 188a a m m ，得 78m。显然，当 78m时，有 1na 。 3 分（ 2）由条件得 22 1 1 117( ) 0

22、88a a a m a m ，得 21aa 。 5 分又因为 21 18nna a m ， 22118nna a m，两式相减得 222 1 1 1 111( ) ( ) ( )88n n n n n n n na a a a a a a a 。 7 分显然有 0na ，所以 21nnaa 与 1nnaa 同号，而 210aa，所以 1 0nnaa ，从而有 1nnaa 。 9 分（ 3）因为 221 11 ( 4 ) 2 288k k k k ka a a a m a m m ， 10 分所以 1 2 1 1( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 2 )n n na a a a a a n m 。这说明，当 2m 时， na 越来越大，显然不可能满足 4na 。所以要使得 4na 对一切整数 n 恒成立，只可能 2m 。 12 分下面证明当 2m 时， 4na 恒成立。用数学归纳法证明：当 1n 时， 1 1a 显然成立。假设当 nk 时成立，即 4ka ，则当 1nk时， 221 112 4 2 488kkaa 成立。由上可知 4na 对一切正整数 n 恒成立。因此，正数 m 的最大值是 2. 15 分

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