1、D 题（抢渡长江）参考答案 第 1 页，共 4 页 2003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组） D 题（抢渡长江）参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 设竞渡在平面区域进行 , 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t) 以速度 ( ) ( c o s ( ) s in ( ) )u t u t u t ，前进，其中游速大小 u 不变 。 要求 参赛者 在流速 )0,()( vtv 给定的情况下控制 (t) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H)，如图 1。 这是一个最优
2、控制问题 : HTyytudtdyLTxxvtudtdxtsTM i n)(,0)0(),(s in)(,0)0(,)(c o s. 可以 证明， 若 (t)为 连续函数 , 则 (t)等于 常数时上述问题有最优解。证明见 : George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control, Plenum Press, 1981. pp. 130 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道 。） 1. 设游泳者的速度大小和方向均 不随时间变化，即令 )s inc o s()( u
3、utu ， ，而流速)0,()( vtv ， 其中 u 和 v 为常数 , 为 游泳者和 x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x(t), y(t) 满足 c o s , ( 0 ) 0 , ( )sin , ( 0 ) 0 , ( )dx u v x x T Ldtdy u y y T Hdt （ 1） T 是到达终点的时刻。 令 cosz ， 如果 (1) 有解 , 则 22 1,1)()(,)()(zTuHtzutyvuzTLtvuztx （ 2） 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且 22222 21L H H LT uz v u uzv vuz （ 3） 若已知 L, H,
4、v, T, 由（ 3）可得 zT vTLuvTLH vTLz ,)( 22（ 4） y x L 0 H u v 图 1 D 题（抢渡长江）参考答案 第 2 页，共 4 页 由（ 3）消去 T 得到 )(1 2 vuzHzLu （ 5） 给定 L, H, u , v 的值， z 满足二次方程 02) 222222222 uLvHu v zHzuLH（ （ 6） （ 6）的解为 2 2 2 2 2 212 22()()H v L H L u H vzz H L u ，（ 7） 方程有实根的条件为 22 LHHvu （ 8） 为使（ 3）表示的 T 最小，由于当 L, u, v 给定时 , 0dzd
5、T ， 所以 (7) 中 z 取较大的根 , 即取正号 。将（ 7）的 z1 代入（ 3）即得 T，或可用已知量表为 2222222 )(vu LvvHuLHT （ 9） 以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩 T=848 s 代入（ 4），得 z= -0.641, 即 =117.50， u=1.54 m/s。 以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和 u=1.5 m/s 代入（ 7），（ 3），得 z= -0.527, 即 =1220， T=910s，即 15 分 10 秒。 2. 游泳者始终以和岸边垂直
6、的方向（ y 轴正向） 游 , 即 z = 0, 由（ 3）得 T =L/v 529s, u= H/T 2.19 m/s。 游泳者速度不可能这么快 ，因此永远游不到终点 , 被冲到终点的下游去了。 注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14 分 41 秒 66, 其平均速度为 1.7 m/s。 式（ 8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于 2002 年的数据， H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要 u 1.43 m/s。 假设 1934 年竞渡的直线距离为 5000 m, 垂直距离仍为 H = 1160 m, 则 L=4864 m, 仍设v=
7、1.89 m/s，则 游泳者的速度只要满足 u 0.44 m/s， 就可以选到合适的 角度 游到终点 。 (游 5000 米很多人可以做到 ) 3. 如图 2， H 分为 H=H1+H2+H3 3 段， H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s， v2= 2.11m/s, 游泳者的速度 仍为常数 u=1.5 m/s, 有 v1， v3 u, 相应的 游泳 方向 1， 2 为常数。路线为 ABCD, AB 平行 CD。L 分为 L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（ 8），对于 v2 u, L2 应满足 )7 5 22 22222 mu uvHL （ （
8、 10） L1 C D B 2 1 H3 H1 u u A 3 u L2 H2 v2 v1 v3 图 2 L1 D 题（抢渡长江）参考答案 第 3 页，共 4 页 因为 v1v/2，由（ 16）对 L1 无要求。 对于第 2 段 H2=760 m，仍用（ 9），（ 10），应有 L2 870 m， 且 第 2 段的时间 222222222222 )( vu vLvHuLHT （ 18） 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2， T1=T3, 得总的时间为 12 2TTT （ 19） 将给定的 L, H1, H2, u 和 v=2.28 m/s 代入（ 15），（ 17），（ 18），（ 1
9、9），求 L2 使 T 最小。编程计算可得： L2= 922.9 m 时 T =892.5s 14 分 53 秒。 将 L2= 923 m， L1=L3= 38.5 m 分别代入（ 7）和（ 15）可得 1=127.70， 2=114.50，即最佳的方向。类似 3，也可以用枚举法作近似计算：将 L2从 880 m 到 1000 m 每 20 m 一段划分，相应的 L1， L3 从 60 m 到 0 m 每 10 m 一段划分，编程计算得下表。 L1, L3 (m) T1, T3 (s) 1, 3 ( 0 ) L2 (m) T2 (s) 2 ( 0 ) T (s) 0 205.15 139.46
10、 1000.00 522.45 104.12 932.76 10.00 193.76 136.52 980.00 528.33 106.46 915.85 20.00 183.58 133.42 960.00 535.89 109.01 903.05 30.00 174.56 130.20 940.00 545.80 111.83 894.93 40.00 166.67 126.87 920.00 559.23 115.04 892.56 50.00 159.83 123.47 900.00 578.72 118.90 898.39 60.00 153.98 120.02 880.00 613.18 124.28 921.15 可知 L1=L3=40， L2 =920 时 T=892.56(s)最小，即 14 分 53 秒， 1=3=126.870， 2=115.040。 注 问题 3 中 v1= v3=1.47 m/s， v2= 2.11m/s 及问题 4 中 v=2.28 m/s 的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的 1.89 m/s。学生可以 合理地 改变数据。
