1、 http:/ 第 1 页 共 8 页 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 (甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地 ) 文科数学（必修 +选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 . 共 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 第 I 卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P（ A B） =P（ A） P（ B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=Ckn Pk(1 P)n k 一、选择题：本大题共 1
2、2 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1设集合 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=0， 3， 5， N=1， 4， 5，则 M（ U N） = （ ） A 5 B 0， 3 C 0， 2， 3， 5 D 0， 1， 3， 4， 5 2函数 )(2 Rxey x 的反函数为 （ ） A )0(ln2 xxy B )0)(2ln( xxy C )0(ln21 xxy D )0(2ln21 xxy 3正三棱柱侧面的一条对角线长为 2，且与底面成 45角，则此三棱柱的体积为 （ ） A 26 B 6 C 66 D 36 4 函数
3、)1()1( 2 xxy 在 1x 处的导数等于 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5为了得到函数 xy )31(3 的图象，可以把函数 xy )31( 的图象 （ ） A向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 1 个单位长度 D向右平移 1 个单位长度 6等差数列 na 中， 78,24 201918321 aaaaaa ，则此数列前 20 项和等于球的表面积公式 S=4 2R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 334R 其中 R 表示球的半径 http:/ 第 2 页 共 8 页 （ ） A 160 B 180 C 200 D 220 7已知函数
4、 kxyxy 与41lo g的图象有公共点 A，且点 A 的横坐标为 2，则 k （ ） A41B 41 C21D 21 8已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 0443 yx 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 （ ） A 03222 xyx B 0422 xyx C 03222 xyx D 0422 xyx 9从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班 主任）， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A 210 种 B 420 种 C 630 种 D 840 种 10函数 )(6c o s
5、 ()3s in (2 Rxxxy 的最小值等于 （ ） A 3 B 2 C 1 D 5 11已知球的表面积为 20 ，球面上有 A、 B、 C 三点 .如果 AB=AC=BC=2 3 ，则球心到平 面 ABC 的距离为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 12 ABC 中， a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边 .如果 a、 b、 c 成等差数列， B=30 ， ABC 的面积为 23 ，那么 b= （ ） A 231 B 31 C 232 D 32 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . 13 8)1(xx展开式中 5x
6、 的系数为 . http:/ 第 3 页 共 8 页 14已知函数 )0(s in21 AAxy 的最小正周期为 3 ，则 A= . 15向量 a、 b 满足（ a b）（ 2a+b） = 4，且 |a|=2， |b|=4，则 a 与 b 夹角的余弦值等于 . 16设 yx, 满足约束条件： ,0,1yxyyx 则 yxz 2 的最大值是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 12 分） 已知为第二象限角，且 sin = ,415 求 12c o s2sin )4sin( 的值 . 18（本小题满分 12 分） 已知数
7、列 na 为等比数列， .162,6 52 aa （）求数列 na 的通项公式； （）设 nS 是数列 na 的前 n 项和，证明 .12 1 2 n nnSSS19（本小题满分 12 分） 已知直线 1l 为曲线 22 xxy 在点（ 1， 0）处的切线， 2l 为该曲线的另一条切线，且 .21 ll （）求直线 2l 的方程； （）求由直线 1l 、 2l 和 x 轴所围成的三角形的面积 . http:/ 第 4 页 共 8 页 20（本小题满分 12 分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题 .竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得 100 分、 100 分、 200 分，答错
8、得零分 .假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、 0.7、 0.6，且各题答对与否相互之间没有影响 . （）求这名同学得 300 分的概率； （）求这名同学至少得 300 分的概率 . 21（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， AB=8， AD=4 3 ，侧面 PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为 60 . （）求四棱锥 P ABCD 的体积； （）证明 PA BD. 22（本小题满分 14 分） 双曲线 )0,1(12222 babyax 的焦距为 2c，直线 l 过点（ a， 0）和（ 0， b），且点（ 1，0）到直
9、线 l 的距离与点（ 1， 0）到直线 l 的距离之和 .54cs 求双曲线的离心率 e 的取值范围 . http:/ 第 5 页 共 8 页 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修 +选修）参考答案 一、选择题 1 12 B C A D D B A D B C A B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分 .把答案填在题中横线上 . 13 28 14 23 15 21 16 2 三、解答题 17本小题主要考查 同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能 .满分 12 分 . 解： 2c o s2c o ss in2
10、)c o s( s in2 212c o s2s in)4s in (.)c o s(s inc o s4 )c o s(s in2 当 为第二象限角，且 415sin 时 41c o s,0c o ss in ， 所以 12c o s2s in )4s in( = .2cos4 2 18（本小题主要考查等比数列的概念、 前 n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力 .满分 12 分 . http:/ 第 6 页 共 8 页 解：（ I）设等比数列 an的公比为 q，则 a2=a1q, a5=a1q4. a1q=6, 依题意，得方程组 a1q4=162. 解此方程组，得
11、a1=2, q=3. 故数列 an的通项公式为 an=2 3n 1. （ II） .1331 )31(2 nnnS.1,11323 133231323 1)33(3212122222122222212 nnnnnnnnnnnnnnnnSSSSSS即19本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂 直的性质以及分析问题和综合运算能力 .满分 12 分 . 解： y =2x+1. 直线 l1的方程为 y=3x 3. 设直线 l2过曲线 y=x2+x 2 上 的点 B（ b, b2+b 2） ,则 l2的方程为 y=(2b+1)x b2 2 因为 l1 l2，则有 2b+1= .32,31 b 所以直线
12、 l2的方程为 .92231 xy （ II）解方程组92231,33xyxy 得.25,61yx所以直线 l1和 l2的交点的坐标为 ).25,61( l1、 l2与 x 轴交点的坐标分别为（ 1， 0）、 )0,322( . 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521 S 20本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力 .满分 12 分 . 解：记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 )3,2,1( iAi ，则 P（ A1） =0.8， P（ A2） =0.7， P（ A3） =0.6. （ ）这名同学得 300
13、 分的概率 P1=P（ A1 2A A3） +P（ 1A A2A3） http:/ 第 7 页 共 8 页 =P（ A1） P（ 2A ） P（ A3） +P（ 1A ） P（ A2） P（ A3） =0.80.30.6+0.20.70.6 =0.228. （）这名同学至少得 300 分的概率 P2=P1+P（ A1A2A3） =0.228+P（ A1） P（ A2） P（ A3） =0.228+0.80.70.6 =0.564. 21本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力 .满分 12 分 . 解：（）如图 1，取 AD 的中点 E，连结 PE
14、，则 PE AD. 作 PO平面在 ABCD，垂足为 O，连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE AD， 所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知 PEO=60， PE=6， 所以 PO=3 3 ，四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD= .963334831 （）解法一：如图 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系 .通过计算可得 P（ 0， 0， 3 3 ）， A（ 2 3 ， 3， 0）， B（ 2 3 ， 5， 0）， D（ 2 3 ， 3， 0） 所以 ).0,8,34(),33,3,32( BDPA 因为 ,002424 BDPA 所以
15、PA BD. 解法二：如图 2，连结 AO，延长 AO 交 BD 于点 F.能过计算可得 EO=3， AE=2 3 ， 又知 AD=4 3 ， AB=8， 得 .ABADAEEO 所以 Rt AEO Rt BAD. 得 EAO= ABD. 所以 EAO+ ADF=90 所以 AF BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在 平面 ABCD 内的身影，所以 PA BD. 22本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力 .满分 12 分 . 解：直线 l 的方程为 1byax ，即 .0 abaybx http:/ 第 8 页 共 8 页 由点到直线的距离公式，且 1a ，得到点（ 1， 0）到直线 l 的距离221)1( baabd ， 同理得到点（ 1， 0）到直线 l 的距离222)1( baabd .222221 cabba abdds 由 ,542,54 ccabcs 得 即 .25 222 caca 于是得 .025254,215 2422 eeee 即 解不等式，得 .545 2 e 由于 ,01e 所以 e 的取值范围是 .525 e
