1、 2007 年 数学 高考立体几何部分 一选择题 1 (2007 安徽文 )设 nml , 均为直线 ,其中 nm, 在平面 ”“”“, nlmlla 且是则内 的（ A ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2 (2007 安徽文 )把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 ,折成直二面角后 ,在A,B,C,D 四点所在的球面上 ,B 与 D 两点之间的球面距离为（ C ） (A) 22 (B) (C)2(D) 33 (2007 北京文 ) 平面 平面 的一个充分条件是（ D ） 存在一条直线 aa ， ， 存在
2、一条直线 a a a， ， 存在两条平行直线 a b a b a b ， ， ， ， ， 存在两条异面直线 a b a a b ， ， ， ， 4 (2007 福建文 ) 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E F G H， ， ，分别为 1AA ， AB ， 1BB ， 11BC 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于（ B ） 45 60 90 120 5 (2007广东文 ) 若 l、 m、 n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ D ） A若 / , ,ln ，则 /ln B若 ,l ，则 l C. 若 ,l n m n
3、，则 /lm D若 , /ll ，则 / 6 (2007 湖北文 ) 在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， EF， 分别为棱 11AA BB， 的中点，G 为棱 11AB 上的一点，且 1 (0 1)AG 则点 G 到平面 1DEF 的距离为（ D ） 3 22 23 55A F D B C G E 1B H 1C 1D1A 7 (2007 天津文 )设 ab， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ D ） A若 ab， 与 所成的角相等，则 ab B若 a ， b ， ，则 ab C若 a ， b ， ab ，则 D若 a ， b ，
4、，则 ab 8 (2007 湖南文 ) 如图 1 ，在正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D 中， EF， 分别是 1AB ， 1BC 的中点，则以下结论中 不成立 的是（ D ） A EF 与 1BB 垂直 B EF 与 BD 垂直 C EF 与 CD 异面 D EF 与 11AC 异面 9 (2007 江西文 ) 四面体 ABCD 的外接球球心在 CD上，且 2CD ， 3AD ，在 外接球面上两点 AB， 间的球面距离是（ C ） 6 3 23 56 10 (2007 全国文 )如图，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB ，则异面直 线
5、1AB 与 1AD所成角的余弦值为（ D ） 15 25 35 45 11 (2007 全国文 )已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ A ） A 36 B 34 C 22 D 32 12 (2007 陕西文 )Rt ABC 的三个顶点在半径为 13 的球面上，两直角边的长分别为 6 和 8，则球心到平面 ABC 的距离是 （ D ） （ A） 5 （ B） 6 （ C） 10 （ D） 12 (2007 四川文 )如图， ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结 论 错误 的是 （ D） (A） BD 平面 CB1D1 (B)AC1 BD (C)AC1
6、 平面 CB1D1 (D)异面直线 AD 与 CB 所成的角为 60 A B C 1A 1C 1D 1B D E F 1A 1D 1C 1B D B C A 二填空题 13 (2007 天津文 )一个长方体的各顶点均在同一球的球面 上 ，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2 ， 3 ，则此球的表面积为 14 14 (2007 全国文 )正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S， A， B， C， D都在同一个球面上，则该球的体积为 _ 43 15 (2007 全国文 )一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表
7、面积为 cm2 2 4 2 16 (2007 江西文 ) 如图，正方体 1AC 的棱长为 1，过点作平面 1ABD 的垂线，垂足为点 H 有下列四个命题 点 H 是 1ABD 的垂心 AH 垂直平面 11CBD 二面角 1 1 1C B D C的正切值为 2 点 H 到平面 1 1 1 1ABCD 的距离为 34 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） （答案： A， B， C） 三解答题 17 (2007广东文 ) 已知某几何体的俯视图是如图 5所示的矩形，正视图 (或称主 视图 )是一个底边长为 8、高为 4的等腰三角形，侧视图 (或称左视 图 )是一个底边长为 6、高为 4的等腰三
8、角形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S 解 : 由已知可得该几何体是一个底面为矩形 ,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1) 1 8 6 4 6 43V (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形 ,且 BC 边上的 高为 221 84 4 22h , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形 , AB 边上的高为 222 6452h 因此 112 ( 6 4 2 8 5 ) 4 0 2 4 222S 18 (2007 北京文 ) 如图，在 Rt AOB 中， 6OAB，斜边 4AB Rt AOC 可以
9、通过Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C的直二面角 D 是 AB 的中点 （ I）求证：平面 COD 平面 AOB ； （ II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小 解法一： （ I）由题意， CO AO ， BO AO ， BOC 是二面角 B AO C是直二面角， CO BO，又 AO BO O ， CO平面 AOB ， 又 CO 平面 COD 平面 COD 平面 AOB （ II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），则 DE AO ， CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角 在 Rt COE 中， 2CO BO， 1 12OE B
10、O， 22 5CE CO O E 又 1 32DE AO 在 Rt CDE 中， 5 1 5ta n 33CECD E DE 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 15arctan 3 O C A D B O C A D B E解法二： （ I）同解法一 （ II）建立空间直角坐标系 O xyz ，如图，则 (000)O ， ， ， (002 3)A ， ， ， (200)C ， ， ， (01 3)D ， ， ， (0 0 2 3)OA， ， ， ( 2 1 3)CD ， ， ， c o s O A C DO A C D O A C D ， 6642 3 2 2 异面直线 AO 与 CD
11、 所成角的大小为 6arccos 4 19 (2007 福建文 ) 如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 2 ， D 为 1CC 中点 （）求证： 1AB 平面 1ABD ； （）求二面角 1A AD B的大小 解法一：（）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正三角形， AO BC 正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC 平面 11BCCB ， AO 平面 11BCCB 连结 1BO，在正方形 11BBCC 中， OD， 分别为 1BC CC， 的中点， 1BO BD ， 1AB BD 在正方形 11ABBA 中， 11AB AB ， 1AB
12、平面 1ABD （）设 1AB 与 1AB 交于点 G ，在平面 1ABD 中， 作 1GF AD 于 F ，连结 AF ，由（）得 1AB 平面 1ABD O C A D B x y z A B D 1A1C1B C A B C D 1A1C1BO F G 1AF AD ， AFG 为二面角 1A AD B的平面角 在 1AAD 中，由等面积法可求得 455AF ， 又11 22A G A B， 2 10sin4455AGAFGAF 所以二面角 1A AD B的大小为 10arcsin 4 解法二：（）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正三角形， AO BC 在正三棱柱 1 1 1
13、ABC A B C 中， 平面 ABC 平面 11BCCB ， AO 平面 11BCCB 取 11BC 中点 1O ，以 O 为原点， OB ， 1OO ， OA 的方向为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (100)B， ， ， ( 110)D， ， ， 1(02 3)A ， ， ， (00 3)A ， ， ， 1(120)B ， ， ， 1 (1 2 3 )AB ， ， ， ( 210)BD， ， ， 1 ( 1 2 3)BA ， ， 1 2 2 0 0A B B D ， 11 1 4 3 0A B B A ， 1AB BD ， 11AB BA 1AB 平面 1ABD （
14、）设平面 1AAD 的法向量为 ()x y z ， ，n ( 1 1 3)AD ， ， ， 1 (0 2 0)AA ， ， ADn ， 1AAn ， A B C D 1A1C1BO z x y 1O 100ADAA ，nn 3020x y zy ，03yxz， 令 1z 得 ( 301) ， ，n 为平面 1AAD 的一个法向量 由（）知 1AB 平面 1ABD ， 1AB 为平面 1ABD 的法向量 cosn ， 1113 3 642 2 2ABABAB nn 二面角 1A AD B的大小为 6arccos 4 20 (2007 安徽文 ) 如图，在三棱 锥 V ABC 中， VC ABC
15、底 面 ， AC BC ， D 是 AB 的中点，且 AC BC a， 02V D C （ I）求证：平面 VAB 平面 VCD ； （ II）试确定角 的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 解法 1：（ ） AC BC a ， ACB 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点， CD AB ，又 VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （ ） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（ ）知 CD 平面 VAB 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 依题意
16、 6CBH，所以 在 CHDRt 中， 2 sin2CH a ； 在 BHCRt 中， sin 62aCH a， 2sin 2 0 2 ， 4 故当 4 时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 解法 2：（ ）以 CA CB CV， ， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角 A 坐标系，则 2(0 0 0 ) ( 0 0 ) (0 0 ) 0 0 0 t a n2 2 2aaC A a B a D V a ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是， 2 ta n2 2 2aaV D a ， ， 022aaCD ， ， ( 0)AB a
17、 a， ， 从而 2211( 0 ) 0 0 02 2 2 2aaA B CD a a a a ， ， ， ， ，即 AB CD 同理 222 1 1( 0 ) t a n 0 02 2 2 2 2aaA B V D a a a a a ， ， ， ， ， 即 AB VD 又 CD VD D ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD （ ）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x y z ， ，n ， 则由 00A B V D， nn 得 0 2ta n 02 2 2a x a yaax y a z ，可取 (11 2 cot ) ， ，n ，又 (0 0)BC
18、 a， ， ， 于是2 2sin sin622 2 c o tB C aBC a nn ， 即 2sin 2 0 2 ， 4 = 故交 4= 时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 解法 3：（ ）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直 角 坐 标 系 ， 则 2 2 2(0 0 0 ) 0 0 0 0 0 02 2 2D A a B a C a ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，220 ta nV a a ， ，于是 220 t a nD V a a ， ， 2 002D C a， ，(0 2 0)AB a ， ， A D
19、 B C V x y z 从而 (0 2 0)A B D C a ， ， 2 0 0 02 a， ，即 AB DC 同理 22(0 2 0 ) 0 t a n 0A B D V a a a ， ， ， ，即 AB DV 又 DC DV D ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （ ）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x y z ， ，n ， 则由 00A B D V， nn，得 2022ta n 0aya x a z ，可取 (tan 01)n ， ， ，又 22 0B C a a ， ， 于是22 ta n 22s in s in621 ta na
20、BCBC a nn ， 即 s i n 02 2 4 ， ， = 故交 4 时， 即直线 BC 与平面 VAB 所成角为 6 21 (2007 湖南文 ) 如图 3，已知直二面角 PQ， A PQ ， B ， C ， CA CB ，45BAP，直线 CA 和 平面 所成的角为 30 （ I）证明 BC PQ ； （ II）求二面角 B AC P的大小 解：（ I）在平面 内过点 C 作 CO PQ 于点 O ，连结 OB A B C Q P A D B C V x y 因为 ， PQ ，所以 CO ， 又因为 CA CB ，所以 OA OB 而 45BAO，所以 45ABO， 90AOB，从而
21、 BO PQ ，又 CO PQ ， 所以 PQ 平面 OBC 因为 BC 平面 OBC ，故 PQ BC （ II）解法一：由（ I）知， BO PQ ，又 ， PQ ， BO ，所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知， BH AC 故 BHO 是二面角 B AC P的平面角 由（ I）知， CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，则 30CAO， 不妨设 2AC ，则 3AO ， 3sin 3 0 2O H A O 在 Rt OAB 中， 45A B O B A O ，所以 3BO AO， 于是在 Rt BOH 中， 3ta n 232BOB
22、 H OOH 故二面角 B AC P的大小为 arctan2 解法二：由（ I）知， OC OA ， OC OB ， OA OB ，故可以 O 为原点，分别以直线OB OA OC， ， 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 CO a ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，则 30CAO 不妨设 2AC ，则 3AO ， 1CO 在 Rt OAB 中， 45A B O B A O ， 所以 3BO AO 则相关各点的坐标分别是 (000)O ， ， ， ( 300)B ， ， ， (0 30)A ， ， ， (001)C ， ， 所以 ( 3 3 0)AB ， ， (0 3 1)AC ， ， 设 1n x y z ， ， 是平面 ABC 的一个法向量，由 1100n ABn AC ， 得 3 3 030xyyz ， 取 1x ，得 1 (11 3)n ， ， A B C Q P O x y z
