1、第十一章 梁弯曲时的变形 第十一章 梁弯曲时的变形 习 题 11 1 用积分法求下列简支梁 A、 B 截面的转角和跨中截面 C 点的挠度。 解： （ a）取坐标系如图所示。弯矩方程为： xlMM e 挠曲线近似微分方程为： xlMyEI e 积分一次和两次分别得： CxlMyEI e 22 ， （ a） DCxxlME Iy e 36 (b) 边界条件为： x=0 时， y=0， x=l 时， y=0， 代入 （ a） 、 (b)式，得： 0,6 DlMC e 梁的转角和挠度方程式分别为： )62(1 2 lMxlMEIy ee ， )66(1 3 lxMxlMEIy ee 所以： EIlMy
2、lEIMEI lM eCeBeA 16,3,62 （ b）取坐标系如图所示。 AC 段 弯矩方程为： )20(11 lxxlMM e BC 段 弯 矩 方 程 为 ：)2( 22 lxlMxlMM ee 两段的 挠曲线近似微分方程 及其积分分别 为： C Me Al/2 BEI l/2 C Al/2 BEI l/2 Me (a) (b) 习题 11 1 图 C Me Al/2 BEI l/2 y C Me Al/2 BEI l/2 x 第十一章 AC 段：11 xlMyEI e1211 2 CxlMyEI e ， （ a） 111311 6 DxCxlME I y e (b) BC 段：ee
3、MxlMyEI 222222 2 CMxlMyEI ee ， （ c） 2222322 6 DxCxMxlME I y ee (d) 边界条件为： x1=0 时， y1=0， x2=l 时， y2=0， 变形连续条件为：212121 2 yyyylxx ，时，代入 （ a） 、 (b)式 、（ c） 、 (d)式 ,得： ,8D0,2411,24 22121 lMDlMClMC eee ，梁的转角和挠度方程式分别为： AC 段： )242(1 21 lMxlMEIy ee ， )246(1 1311 lxMxlMEIy ee BC 段： )24112(1 2222 lMxMxlMEIy eee
4、 ， )8241126(1 2222322 lMlxMxMxlMEIy eeee 所以： 0,24,24 CeBeA ylEIMEIlM11 2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。 解： （ a）取坐标系如图所示。弯矩方程为：22xqM 习题 11 2 图 q B A l （ a） Me A l （ b） B EI EI q B A l （ a） EI x 第十一章 梁弯曲时的变形 挠曲线近似微分方程为： 22 xqyEI 积分一次和两次分别得： CxqyEI 36 ， （ a） DCxxqE Iy 424 (b) 边界条件为： x=l 时， y=0， y = 0， 代入 （ a）
5、、 (b)式，得： 43 81,6 qlDlqC 梁的转角和挠度方程式分别为： )66(1 33 lqxqEIy ， )81624(1 434 qlxlqxqEIy 所以： EIqlyEIqlAA 8,643 （ b）取坐标系如图所示。弯矩方程 为： eMM 挠曲线近似微分方程为： eMyEI 积分一次和两次分别得： CxMyEI e （ a） DCxxME Iy e 22 (b) 边界条件为： x=l 时， y=0， y = 0， 代入 （ a） 、 (b)式，得： 221, lMDlMCee 梁的转角和挠度方程式分别为： )(1 lMxMEIy ee )212(1 22 lMlxMxMEI
6、y eee 所以： EIlMyEI lM eAeA 2,2 11 3 一悬臂梁在 BC 段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面 C 的转角和挠度。 EI B q A l/2 l/2 C 习题 11 3 图 Me A l B EI x EI B q A l/2 l/2 C x y 第十一章 解： 取坐标系如图所示。 AB 段弯矩方程为： )20(832121 lxqlxqlM BC 段弯矩方程为： )2()2(2183222222 lxllxqqlxqlM 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为： AB 段： 211 832 qllxqyEI 112211 834 Cxqlxqly
7、EI ， （ a） 111212311 16312 DxCxqllxqE I y (b) BC 段： 22222 )2(21832 lxqqlxqlyEI 2322222 )2(61834 2 ClxqxqlxqlyEI （ c） 222422232 )2(24116312 22 DxClxqxqlxqlE I y (d) 边界条件为： x1=0 时， y1=0， y1 = 0， 变形连续条件为：212121 2 yyyylxx ，时，代入 （ a） 、 (b)式、（ c） 、 (d)式 ,得： 0D0,0,0 2121 ，DCC 梁的转角和挠度方程式分别为： AB 段： )834(11221
8、1 xqlxqlEIy ， )16312(1 212311 xqllxqEIy BC 段： )2(618341 322222 2 lxqxqlxqlEIy )2(241163121 422232 22 lxqxqlxqlEIy 所以： 0,3 8 441,487 43 CCC yEIqlyEIql11 4 一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求 A、 B 截面的转角以及 C、 D 截面的挠度。 习题 11 4 图 EI C Al Bl Dl q x y EI C Al Bl Dl q 第十一章 梁弯曲时的变形 解： 取坐标系如图所示。 AB 段弯矩方程为： )20(2143121 1 lx
9、qxxqlM BC 段弯矩方程为： )32()2(4921432222 2 lxllxqlqxxqlM 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为： AB 段： 211 12143 qxlxqyEI 13211 16183 CqxxqlyEI ， （ a） 11141311 241243 DxCqxlxqE I y (b) BC 段： )2(4921432222 2 lxqlqxxqlyEI 222322 )2(896183 22 ClxqlqxxqlyEI （ c） 22232432 )2(2492418 22 DxClxqlqxxqlE I y (d) 边界条件为： x1=0 时， y1=0，
10、 变形连续 条件为： 212121 02 yyyylxx ，时， 代入 （ a） 、 (b)式、（ c） 、 (d)式 ,得： 0D0,6,61213231 ，DqlCqlC梁的转角和挠度方程式分别为： AB 段： )616183(1 33211 1 qlqxxqlEIy )62418(1 1341311 xqlqxlxqEIy BC 段： 61)2(8961831 322322 22 qllxqlqxxqlEIy 61)2(24924181 2332432 22 xqllxqlqxxqlEIy 所以： EIqlyEIqlyEIqlDCBA 12,8,0,6443 第十一章 11 5 用积分法
11、求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式？试分别列出积分 常数时所需的边界条件和变形连续条件。 解：（ a）分三段。 AB、 BC、 CD 段位移分别为 y1、 y2、 y3。 则边界条件 B 点： ,yy,lxx 0时22121 C 点： ,yy,lxx 0时232332 变形连续条件为： ,yy,lxx 2121 时2 2121 时2 yy,lxx（ b）分两段。 AB、 BC 段位移分别为 y1、 y2。 则边界条件 A 点： ,y,x 0时0 11 B 点： ,yy,lxx 0时 2132 变形连续 条件为： ,yy,lxx 2121 时 11 6 一简支型钢梁承受荷载如图
12、所示，已知所用型钢为 18 号工字钢，E = 210GPa， M =8.1kNm， q = 15kN/m，跨长 l = 3.26m。试用积分法求此梁跨中点 C 处的挠度。 解 ：取坐标系如图所示。弯矩方程为： 22121 qxMq lxMe 挠曲线近似微分方程为： 22121 qxMq lxyEIe 积分一次和两次分别得： CqxxMq l xyEIe 32 6141（ a） DCxqxxMq l xE I y e 423 2412121 (b) q 习题 11 5 图 C l Bl/2 A(b) q F q (a) C l/2 l DBl/2 AC EI 习题 11 6 图 l/2 l/2
13、M M A B 第十一章 梁弯曲时的变形 边界条件为： x=0=l 时， y=0 代入 （ a） 、 (b)式，得： 0242 3 D,qllMC e 梁的挠度方程式为： x)xMql(qxxMq l xEIy ee 224124121211 3423 所以：mm243( m )103 . 2 4 8 2631018384 26310155101 6 6 010210 18384 53-23438924.EI lMEIqly eC 11 7 一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面 C 点的挠度。 解： 当右边的 F 单独作用时，查表得： EIFaaaaEIaFaxbll E IF b xy
14、 C 121146146)(6 3222222 由对称得： EIFaEIFayC 61121211 33 11 8 一简支梁承受均 布荷载作用，并在 A 支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知： 202qlM ，试用叠加法求 A、 B 截面的转角和跨中截面 C 的挠度。 解：当 q 单独作用时， EIqly,EIql,EIqlCqBqAq 3 8 454242 433 当 Mq 单独作用时， EIqlEIMly,EIqlEIMl,EIqlEIMl CMBqAM 3 2 0161 2 06603 4233 所以：EIqlyyy,EIql,EIql CMCqCBMBqBAMAqA 1 9 2 01
15、93040 433 11 9 一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。 EI C a A习题 11 7 图 F a a Ba F EI B A q l/2 l/2 C 习题 11 9 图 EI C 习题 11 8 图 q l/2 l/2 M A B 第十一章 解： EIqllEIq,EIqllEIqyBB 48261 2 8283344 所以： EIql,EIqlEIqllEIqllyyBCBBC 483 8 474821 2 82 3434 11 10 一外伸梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。已知： F = ql/6。 解： 对 AB 段，看作在均布荷载和
16、力偶 Fl/2 作用下的简支梁， 则， EIqlEIFlEIMl,EIqlBMBq 366342 323 所以： EIqlBMBqB 72 3将 BC 段看作悬臂梁，固定端处有转角 B ,则 EIqlly,EIqlEIFllEIFy BCC 1 4 421 4 42423 424331 所以： 021 CCC yyy ,EIqlEIFllEIF CF 48822 322 则 ,EIqlEIqlEIql BCFC 1447248 333 11 11 试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。 解：（ a）当 M 单独作用时， EIFlEIMl,EIFlEIMlCMCM 232 22y C B
17、 EI l l/2 习题 11 10 图 q F A EI 习题 11 11 图 EI B A F l/2 l/2 C M=Fl (a) B A F a (b) a l/ a F 第十一章 梁弯曲时的变形 当 F 单独作用时， EIFllEIF,EIFllEIFBFBF 8222423y2233 所以： EIFl,EIFllBFCFBFBFCF 84852yy 23 则： EIFlEIFlEIFl,EIFlEIFlEIFlyCFCMCCFCMC 89848294852yy 222333 解：（ b）当 C 点处的 F 单独作用时， EIFa,EIFaCC 23y 23 此时 EIFa,EIFa
18、ayCBCCB 2342y 2131 当 D 点处的 F 单独作用时， EIFaEIaF,EIFaEI aFDD 2233 22 )2(383 )2(y 此时 EIFa,EIFaayDBDDB 2232 2314y 所以 EIFa,EIFayyBBBBBB 256y 221321 11 12 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知： l = 6m， M = 4kNm，q = 3kN/m， 4001 lf ，工字钢为 20a，钢材的弹性模量 E = 200GPa，试校核梁的刚度。 解：mm.m.)(EIMlEIqlm a x48140 1 4 4 8016 410423 8 4 6103510
19、2 3 7 0102 0 0 11623 8 45y23438924则 4 0 014 1 41 lfly m a x ，所以刚度满足要求。 EI 习题 11 12 图 q l M M q EI 习题 11 13 图 l/2 l/2 F A B B A 第十一章 11 13 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知： l = 6m， F = 10kN，q = 4kN/m， 2501 lf ， 材料许用应力 MPa150 ，弹性模量 E = 200GPa，试选择工字钢的型号并校核梁的刚度。 解：跨中最大弯矩为： mkN334 6101648148M 22 )Flqlm a x 33363 cm2
20、 2 0m10120101 5 0 1033MW .m a x 取 20a，则 mm.m.)(EIFlEIqlm a x73230 2 3 7048 610103 8 4 61045102 3 7 0102 0 0 1483 8 45y23438934则 250182521 lf.ly m a x ，所以刚度满足要求。 11 14 在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。 解： （ a） 2 次；（ b） 1 次；（ c） 2 次； (d)1 次；（ e）静定结构；（ f） 3 次。 11 15 试画出下列各超静定梁的弯矩图。 q F （ a） q F （ b） q (c) q (d) F 习题 11 14 图 q (e) (f) F F F (b) 2a a A B B (a) l l/2 M A C F F EI EI
