1、材料力学 习 题 册解答 - 210 - 模拟 试题 7 参考 解 答 测 7-1 多项选择题 （共 4 个小题） 测 7-1-1（ 4 分）图为低碳钢试件的拉伸实验的应力应变图形。在以下结论中， A B D 是正确的。 A 加载到 B 点前卸载，当应力消失为零时，应变也消失为零。 B 加载到 C 点卸载，当应力消失为零时，应变并不消失为零。 C 加载到 C 点卸载，再次加载，构件的屈服强度提高了。 D 在 C 点处卸载的卸载曲线，与在 D 点处卸载的卸载曲线几乎是平行的。 E 在 C 点处卸载的残余应变，与在 D 点处卸载的残余应变几乎是相等的。 测 7-1-2（ 3 分）下列各种 情况中，
2、重物均可以在梁上沿水平方向自由移动。重物所处的位置已经使 所在的 梁具有最大弯矩的情况有 BC D 。 测 7-1-3（ 3 分）圆轴扭转时，其表面各点所处于的应力状态属于 B D 。 A 单向应力状态 B 双向应力状态 C 三向应力状态 D 纯剪应力状态 测 7-1-4（ 4 分）在下列措施中， A B D 将明显地影响 压杆 失稳临界荷载。 A 改变杆件的长度 B 改变杆件两端的约 束形式 C 在不改变横截面两个主惯性矩的前提下改变横截面形状 a a a a A a a B a / 2 a a a a C a a D a / 2 测 7-1-2 图 C D B A 测 7-1-1 图 模拟
3、试题 - 211 - D 在不改变横截面形状的前提下改变横截面尺寸 E 在杆件上沿垂直于轴线方向上开孔 测 7-2 填空题 （共 4 个小题） 测 7-2-1（ 3 分） 直径为 d 的圆轴两端承受转矩 m 的作用而产生扭转变形，材料的泊松比为 ，其危险点的第一强度理论的相当应力 eq1 316dm， 第二强度理论的相当应力 eq2 )( 116 3dm，第三强度理论的相当应力 eq3 332dm。 测 7-2-2（ 2 分） 承受均布荷载 q 的悬臂梁的长度为 L，其横截面是 宽度为 b，高度为 h的矩形 ， 该梁 横截面上的最大弯曲切应力为 bhqL23 。 测 7-2-3（ 4 分） 题
4、 图中左、右两 杆的抗拉刚度 分别是 EA 和EA20 ， 则 A 点的 竖向位移为 EAPa22 。 测 7-2-4（ 6 分）图示单元体所有应力分量均为 MPa50 ，材料的弹性模量 GPa210E ，泊松比 25.0 。应将应变片贴在与 x 轴成 45 度的方向上，才能得到最大拉应变读数；在此方向上的正应变 476 ，切应变 0 。 测 7-3 计算题 ( 共 5 个小题 ) 测 7-3-1 （ 14 分） 图示水平刚性梁由杆 和杆 悬挂。两杆材料和横截面面积相同。m5.1L ， m2a ， m1b 。由于制造误差，杆 的长度做短了 mm5.1 。材料常数 GPa200E ，试求装配后杆
5、 和杆 横截面上的应 力。 解 ： 设 、 号杆分别承受拉力 N1F 和 N2F ，则有 平衡条件： bFaFN2N1 221。 测 7-2-4 图 x a a P A a 测 7-2-3 图 L a b 45 测 7-3-1 图 材料力学 习 题 册解答 - 212 - 物理条件： EALFN11， EA LFN22 2。 协调条件： 21 2ba。 可解得 Lba E A bF )24( 2 222N1 ， Lba E A a bF )24( 2 22N2 。 故有 Lba Eb )24( 2 222( 1 ) ， Lba E a b )24( 2 22( 2 ) 。 代入数据可得 MPa
6、16.2)1( ， MPa45.9)2( 。 测 7-3-2 （ 12 分） 如图结构中 kN5F ，螺栓许用切应力 MPa110 ，刚架变形很小，试根据切应力强度设计螺栓尺寸 d。 解 ：螺栓群承受竖直向下的力，每个螺栓相应的剪 力（方向向下） N125041 FQ。 记 mm500L ，则螺栓群承受转矩 FLT 。记 mm601 r ， mm1802 r ，根据 图 (a) 可知，上下两个螺栓与中间两个螺柱所受的力的比例为 312rr 。记上下两个螺栓所受这部份剪力为 2Q ，则有 FLQrQr 322 2122， 故有 )3(2 3 122 rrFLQ N6 2 5 0)601 8 03
7、(2 5 0 05 0 0 03 。 故有总剪力 N77.6 3 7 36 2 5 01 2 5 0 222221 QQQ 。 由 Qd 41 2 可得 4Qd mm59.81 1 0 77.6 3 7 34 ， 取 mm9d 。 r2 r1 (a) 测 7-3-2 图 120 F 500 120 120 模拟试题 - 213 - 测 7-3-3（ 15 分）如图的结构中，立柱是外径 mm80D ，内外径 之比 8.0 的空心圆杆， m2H 。板面尺寸 m1b ， m5.1h 。板面承受的最大风压为 Pa200q 。不计立柱和板面自重，用第四强度理论求立柱中危险点的应力。 解 ：立柱承受弯扭组
8、合变形。板面所受合力 N3 0 05.112 0 0 qbhF 。 弯矩 2hHFMmmN108 2 5.0)7 5 02 0 0 0(3 0 0 6 。 扭矩 22 DbFTmmN101 6 2.0)405 0 0(3 0 0 6 。 第四强度理论相当应力 2243eq 4 75.0)1( 32 TMD M P a2.28162.075.0825.0)8.01(80 1032 2243 6 。 测 7-3-4（ 20 分）在如图的结构中， (1) 求 C 点处的位移； (2) 画出结构的剪力图和弯矩图。 解 ： 解除 C 点处的约束而代之以约束力 R，如图 (a)， EIRaEIaRw l
9、3423 2 33 )( EI aRFwr 33)( 协调条件 EIRaEI aRF 343 )( 33 ， FR 51 。 故 EIFaEIFawC 15453433 。 由此可 得结构剪力图和弯矩图。 2a a F EI 2EI C 测 7-3-4 图 F R R (a) b h H 测 7-3-3 图 F / 5 4F / 5 2Fa / 5 4Fa / 5 材料力学 习 题 册解答 - 214 - 测 7-3-5（ 10 分）图示结构中， AB 杆为边长为 a 的正方形截面， BC 为直径为 d 的圆杆，两杆材料相同，且皆为细长杆。已知 A 端固定， B、 C 为球铰。为使两杆同时失稳
10、，直径 d 与边长 a 之比 应为多少？ 解 ：左端部份的临界荷载 221crl 7.0 LEIF ， 右端部份的临界荷载 2222cr LEIF 。 两杆同时失稳，有 2cr1cr FF ， 故有 2149.0 II 。 即 44 64112490 da . ， aad 36.11249.0 644 。 故有 36.1ad 。 测 7-3-5 图 L L F A B C a d 模拟试题 - 215 - 模拟试题 8 参考 解 答 测 8-1 填空题 （共 3 个小题） 测 8-1-1（ 6 分）某试件材料的弹性模量 E 为 GPa25 ，泊松比为 0.25，则这种材料 的剪切弹性模量 G
11、为 10 GPa 。若试件直径为 mm40 ，该试件拉伸到轴向应变为 4108 时相应的拉伸应力为 20 MPa ，直径缩短了 0.008 mm 。 测 8-1-2（ 4 分）图示等截面直杆，杆长为 a3 ，材料的抗拉刚度为 EA ，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移为 EAPa 。 测 8-1-3（ 4 分） 为了使 如图的 抗弯刚度为 EI 的悬臂梁 轴线 变形成为半径为 R 的圆弧 （ R 远大于梁的长度） ，可在梁 的自由端处加上一个大小为 REI 的 力偶矩 。 测 8-2 计算题 ( 共 6 个小题 ) 测 8-2-1（ 15 分）画出图示外伸 梁的剪力、弯矩图。 解 ： 0Am ，
12、 02322 2 qaaRaqaaqa B， qaRB 37， 0Bm ， 02223 2 qaaqaaqaaR A ， qaRA 32 。 由此可得如下剪力图和弯矩图。 测 8-1-2 图 a a a P 2P 2P 3a / 2 q 2qa 2 qa 2qa / 3 7qa / 3 测 8-2-1 图 a q a 2qa 2 2a qa R EI 测 8-1-3 图 材料力学 习 题 册解答 - 216 - 测 8-2-2（ 16 分）在上题中，梁的横截面形状如图， m/kN5q ， m5.1a ，求梁中横截面上最大的拉应力。 解 ：先求截面形心位置，以下边沿为基准，有 252002501
13、50 100252002)20025(501502 y mm57.153 。 mm439657153502001 .)( y 。 再求截面关于形心轴（即中性轴）的惯性矩 23 254396501 5 0501 5 0121 ).( I 23 1 0 0571 5 32 0 0252 0 0251212 ).(71010153298293 ).( 48 mm100191 . 。 在 BC 区段上侧有最大拉应力 mmN1025.21 5 0 0522 722 qaM BC ， I yMBC 1 M P a3.21100 1 9.1 43.961025.2 87 。 在 A 截面下侧有最大拉应力 m
14、mN1075.01 5 0 053232 722 qaMA， IyMA 2 M P a3.11100 1 9.1 57.1 5 31075.087 。 故最大拉应力在 BC 区段上侧， MPa3.21m ax 。 测 8-2-3（ 15 分） 阶梯形圆轴直径分别为 mm401 d ， mm702 d ，轴上装有三个25 25 200 150 50 测 8-2-2 图 x FS 2qa / 3 qa / 3 7qa / 3 x M 2qa2 / 3 2qa2 A B C 模拟试题 - 217 - 皮带轮，如图所示。已知由轮 B 输入的功率为 kW303 P ，轮 A 输出的功率为 kW131 P
15、 ，轴作匀速转动，转速 r/min200n ，材料的许用切应力 MPa60 ，GPa80G ，许用扭转角 m/2 。 不考虑皮带轮厚度的影响 ， 试校核轴的强度和刚度。 解 ： 首先作阶梯轴的扭矩图，如图所示。 (1) 强度校核 mN6 2 13 0 0129 5 4 99 5 4 9 11 nPm ， mN8 1 22 0 0 )1330(9 5 4 99 5 4 9 22 nPm 。 根据平衡条件，有 mN1 4 3 3mN)8 1 26 2 1(213 mmm ， AD 段最大切应力为 M P a60M P a4 9 . 440 106211616 3 331 1P111 dmW T 。
16、 AC 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。 DC 段的扭矩与 AD 段的相同，但其直径比 AD 段的大，所以 DC 段也满足强度要求。 CB 段上最大切应力为 M P a60M P a2 1 . 370 101 4 3 31616 3 332 3P222 dmW T 。 故 CB 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。 (2) 刚度校核 AD 段的最大单位长度扭转角为 1543 3411P11 mm100 8 9.3401080106 2 13232 dG mGI T m/2/m77.1 。 621 Nm A D C B 1432 Nm 测 8-2-3 图 B C m1
17、 m2 m3 500 1000 200 d2 d1 A 材料力学 习 题 册解答 - 218 - CB 段的单位长度扭转角为 1543423P22 mm107 6 0.07010801 0 0 01 4 3 33232 dG mGI T /m2m/4 3 5.0 。 综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。 测 8-2-4（ 15 分） 如图所示，刚架 ABC 的 EI 为常量；拉杆 BD 的横截面面积为 A，弹性模量为 E。试求 C点的 竖 直位移。 解 ： 用叠加 法求解。根据平衡条件很容易求出 BD 杆内的轴力 qaF 21NBD 。 C 点的 竖 直位移是由 AB、 BC 和 BD 杆
18、的变形引起的，由于 BD 杆伸长 a ，使 B 点平移（因是小变形，忽略了 B 点位移的 竖 直分量），从而使C 点下降了 1Cw 。 EAqaEAaqaEA aFaw C 22 2N B D1 。 刚化拉杆 DB 和横梁 BC。 分布载荷 q 对 B 点产生力矩，使 AB 杆弯曲 。这一弯曲相当于简支梁在端点作用力偶矩而产生的弯曲，相应地在 B 截面产生转角。这个 转角 引起C 点的 竖 直位移为 EIqaaEIaqaaEImaaw BC 6323 422 。 刚化拉杆 DB 和竖梁 AB。 BC 杆可视为一悬臂梁，在均布载荷作用下， C 点的 竖 直位移为 EIqawC 8 43 。 所以
19、 C 点的总 竖 直位移 EIqaEIqaEAqawwww CCCC 862 442321 EIqaEAqa 2472 42 。 A a a q a C B D 测 8-2-4 图 模拟试题 - 219 - 测 8-2-5（ 15 分） 在如图的悬臂梁中， mkN8 /q ，集中力 kN3F 。臂长 mm500L ，横截面为矩形且 bh 2 ，材料 MPa100 ，试确定横截面尺寸。 解 ：问题属于斜弯曲， 危险截面位于固定端面。 mmN105 0 082121 622 qLM 26bhM 323bM， mmN10515003000 6 .FLM ， 32 36 bMhbM 。 )2(2 33
20、23 333m a x MMbbMbM， 故有 mm1.391 0 02 105.12132 )2(3 363 MMb， 故取 mm40b ， mm80h 。 测 8-2-6（ 10 分） 如图所示 的结构中，两根立柱都是大柔度杆，抗弯刚度均为 EI ，只考虑 图示 平面内的稳定，求竖向荷载 F 的最大值。并求 x 为何值时 F 可以取此最大值。 解 ：两柱的临界荷载分别为 22cr1 )7.0( HEIF 和 22cr2 HEIF ， 荷载 F 的最大值 cr1cr1max FFF 2222 04.3149.0 1 HEIHEI 。 对左柱顶端取矩可得 LFxF cr2max ， LLLFFx 3 2 9.004.3m a xc r 2 。 b h F q L 测 8-2-5 图 测 8-2-6 图 F x L H
