1、概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设 A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生； (2) A, B, C 不都发生； (3) A, B, C 至少有一个发生； (4) A, B, C 至多有一个发生。解： (1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设 A , B为两相互独立的随机事件 , P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求 P(A B), P(A B), P( A | B) 。解： P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B)
2、0.76 ；P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。3. 设 A, B 互斥， P(A) 0.5， P(A B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。解： P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。4. 设 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求 P(A B), P( AB) 。解： P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.8,P( A B) P( A A A)B 。 0. 25. 设 A, B,
3、C 独立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求 P(A B C) 。解： P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解： (1) P2CC4210215 ； (2) P1 1C C4 62C10815 。7. 从 0 9 十个数字中任意 选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为 5的概率。解： P1 2C C1 53C10112 。18. 从 (0,1) 中任取两数，求
4、两数之和小于 0.8 的概率。解：10.8 0.82 0.32P 。19. 甲袋中装有 5只红球， 15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 A “从 甲 袋 中 取 出 的 是 红 球 ”， B “从 乙 袋 中 取 出 的 是 红 球 ”， 则 ：1 3 1 2P( A) , P ( A ) ,P (B |A ) ,P ) ,4 4 2 5由全概率公式得：17P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A) 。4010. 某大卖场供应的微波炉中， 甲 、 乙 、 丙 三 厂
5、 产 品 各 占 50%、 40%、 10%， 而 三 厂 产 品 的 合 格 率 分 别 为 95%、85%、 80%，求(1) 买 到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知 买 到的微波炉是合格品， 则它是甲厂生产的概率为多大？解： (1) 设 A1 ,A2 ,A3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， B 表示 买到合格品，则P( A ) 0. 5P, A ) 0.P4 ,A ( ) P0. B1, A( | ) P 0.B9 5A, ( | P B0. A,8 5 , ( | )1 2 3 1 2 33由全概率公式得 P( B) P( Ai ) P(B | Ai ) 0.895
6、；i 1(2) P( A | B)1P( A B) P(A )P(B | A ) 0.475 951 1 1P(B) P(B) 0.895 179。二一维随机变量及其数字特征1. 已知 X 的概率密度函数 f (x) kx 1, 0 x 20, else ，求 1k, P X , EX 。2解：21f (x )dx (kx 1)dx 2k 2 1 k ,021 1 92P X x 1 d x ，12 2 1 622 1 2EX x x 1 dx 。02 32. 设 X B(3 , 0.1)，求 P X 2 , P X 1 。解： 2 2 3P X 2 C (0.1) (0.9) 0.027,
7、P X 1 1 P X 0 1 0.9 0.271。33. 设三次独立随机试验中事件 A 出现的概率相同， 已知事件 A 至少出现一次的概率为验中出现的概率 p 。3764， 求 A 在一次试解：三次试验中 A 出现的次数 X B (3, p) ，由题意：237 1 0 0 3 3P X 1 1 P X 0 1 C3 p (1 p) 1 (1 p) p 。64 41000,x100011. 某种灯管的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为2f ( x) x，0, else(1) 求 P X 1500 ；(2) 任取 5只灯管，求其中至少有 2 只寿命大于 1500 的概率。解： (1) 10
8、00 2P X 1500 dx21500 x3；(2) 设 5 只灯管中寿命大于 1500 的个数为 Y ，则 2Y B 5, ，故35 41 2 1 232PY 2 1 PY 0 PY 1 1 5 。3 3 3 24312. 设 X B(n, p), EX 1.6, DX 1.28, 求 n, p 。解： EX np 1.6, DX np (1 p) 1.28 n 8, p 0.2。13. 设 X (2) ，求 2P X 2, E(X 2X 3)。解： 2P X 2 1 3e ，22 2E(X 2X 3) E( X ) 2EX 3 EX DX 2EX 3 4 2 4 3 7 。14. 设 X
9、 U 1,6 ，求 P 4 X 2 。解：1f (x) 70, 1 x 6else， 1 32 1 2P 4 X 2 f ( x)dx 0dx dx 。4 14 7715. 设 X 服从 ( 1,5 ) 上的均匀分布，求方程 2 1 0t Xt 有实根的概率。解：1f (x) 60, 1 x 5else， 5 1 12P 0 P X 4 0 dx 。26 216. 设 X U 1,3 ，求 EX , DX , E 1X 。解：12(3 1) 1 , 1 x 3 1 1 1 13EX 2, DX , f (x) 2 , E dx ln312 3 X x 2 210, else。317. 设某机器
10、生产的螺丝长度 X N (10.05,0.0036) 。规定长度在范围 10.05 0.12内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为P 10.05 0.12 X 10 .05 0 .12 P 0 .120.9 06 X 4. 050 .06 0 .120 .06(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456 。5. 设 X N (0,4) ， Y 2X 3000 ，求 EY 、 DY 及 Y 的分布。解： EY 2EX 3000 3000, DY 4DX 16, Y N (3000,16) 。6. 设 X 与 Y 独立，且 X N
11、(1,1), Y N (1,3), 求 E(2 X Y), D(2 X Y)。解： E(2X Y) 2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX DY 7 。7. 设 1X (4), Y B 4, , 0.6, 求 D(3 X 2Y) 。XY2解： (3 2 ) 9 4 12 25.6D X Y DX DY DX DY 。XY8. 设 X U 1,2 ，求 Y X 的概率密度函数。解： F ( y) P Y y P X yY(1) 当 y 0时， FY ( y) 0；1 2 y(2) 当 0 y 1时， F ( y) dx y ；Y 3y 3(3) 当 1 y 2 时， 1 1 y 1yFY
12、( y) 0dx dx ；y 1 33(4) 当 y 2时， FY ( y) 1；故 F (y)Y0, y 023 y, 0 y 1y31, 1 y 2，23, 0 y 11f (y) F ( y) , 1 y 2Y Y30, else。1, y 2三二维随机变量及其数字特征1. 已知 (X,Y) 的联合分布律为：4 YX 1 1 25 0.1 0.4 05 0.2 a 0.2(1) 求 a ；(2) 求 P X 0,Y 1 , PY 1| X 5 ；(3) 求 X ,Y 的边缘分布律；(4) 求 XY ；(5) 判断 X ,Y 是否独立。解： (1) a 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；
13、(3) X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2；(4) EX 0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X,Y) 0, XY 0 ；(5) 18. 0.419. 0.1 ，不独立。0.10 已知 (X,Y) 的联合分布律为：XY 1 0 20 a 19 161 19 b 13且 X 与 Y 相互独立，求：(1) a,b 的 值；(2) P XY 0 ；(3) X, Y 的边缘分布律；(4) EX , EY, DX , DY ；(5) Z XY 的分布律。1 1解： (1) a 1 29 6 ,a b1 1 18 9b9 3;5(2) 4 5P XY 0 1 P
14、XY 0 1 ；9 9(3) 1 1 1 1 2X : , , ; Y : , ； 6 3 2 3 3(4) 5 13 53 2 2 22 2 2 2 2 2EX , EX , DX EX (EX ) , EY , EY , DY EY (EY) ；6 6 36 3 3 9(5) 1 5 1P Z 1 , P Z 0 , PZ 2 。9 9 320. 已知 ( X ,Y) 的概率密度函数为 f (x, y) c(x y), 0 x 2,0 y 10, else，求：(1) 常数 c；(2) 关于 变 量 X 的 边缘概率密度函数 fX ( x) ；(3) E( X Y) 。解： (1)2 1
15、21 1f (x, y )dxdy dx c(x y )dy c x dx 2c c 3c 1 c ；0 0 02 3(2)1 1 11(x y) dy x , 0 x 2f (x) f (x, y)dy 3 3 20X0, else；(3) 1 162 12E( X Y) ( x y) f (x, y) dxdy dx ( x y) dy 。0 0 9321. 设 (X ,Y) 的概率密度函数为： f ( x, y) Axy, 0 x 1,0 y x0, else ，(1) 求 A ；(2) 求 ( ), ( ) f x f y ；X Y(3) 判断 X ,Y 是否独立；(4) 求 1P Y , P X Y 1 ；2(5) 求 cov( X ,Y) 。解：(1) 1 x Adx Axydy 1 A 8 ；0 0 8(2) f (x) f (x, y )dyXx038xydy 4x , 0 x 1 ，0, else6
