1、习题五5-1 有一弹簧振子，振幅 ，周期 ，初相 .试写出它的振动2.01mA1.0sT34位移、速度和加速度方程。解：振动方程为 2cos()cos()xAtAtT代入有关数据得 30.2cos()(m4xt振子的速度和加速度分别是 1d30.sin(2)(s4xtt v222.8co()(mdatt5-2 一弹簧振子的质量为 ，当以 的振幅振动时，振子每 重复一次0.5kg35.00.5s运动.求振子的振动周期 T、频率 、角频率 、弹簧的倔强系数 k、物体运动的最大速率、和弹簧给物体的最大作用力 .maxvmaxF解：由题意可知 ；0.5s所以频率 ；1/2HzvT角频率 ；1=4.6(
2、rads)倔强系数 ；2210579.4(Nm)km最大速率 .31.saxAv最大作用力 220.351.67.8()maxF5-3 质量为 的质点，按方程 沿着 x 轴振动.求：2kg0.cos(5)m6t（1） 时，作用于质点的力的大小；0t（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.解：（1）跟据牛顿第二定律，22dxfmt0.cos(5)m6xt将 代入上式中，得：0t5.0Nf（2）由 可知，当 时，质点受力最大，为xf20.2A10.Nf5-4 在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度 d（从最高水平到最低水平）做简谐运动，周期为 12.5h.求水从最高处下降了 d/4 高度需要
3、多少时间？解：从最高水平到最低水平为 2 倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图 5-4 中可见/4arcos()3d/12.508(h)2/tT5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅 ，周期 ，当 时，2.10mA0.5sTt则：（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在 处，向负方向运动；21.0mx（4）物体在 处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。解：设所求振动方程为 2cos()0.2cos(4)xAttT由旋转矢量图解图 5-5 可求出初相位 3/,/,/,04321（1） .cos4(m)xt（2） 2（3） 0.cs()(3xt 解图 5
4、-5解图 5-4（4） 20.cos(4)(m3xt5-6 在一轻弹簧下端悬挂 砝码时，弹簧伸长 8cm.现在这根弹簧下端悬挂01g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动 4cm，并给以向上的25gm的初速度（令这时 ）.选 x 轴向下为正，求振动方程.1cs t解：弹簧的劲度系数lgmk/0该弹簧与物体 构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为 cos()xAt角频率为 代入数据后求得k/17rads以平衡位置为原点建立坐标，则 100.4m,.2sxv由 得220(/)Axv.5A据 得01cos.64rad由于 ,应取 ，于是，所求方程为0v0.5cos(70.)(mx
5、t5-7 某质点振动的 x-t 曲线如题图 5-7 所示.求：（1）质点的振动方程；（2）质点从 的位置到达 P 点相应位置所需的最短时间.0t0001cos(),/2,31s,560.cos()(m32xAttttxtP解 ： （ ） 设 所 求 方 程 为 ：从 图 中 可 见 ，由 旋 转 矢 量 法 可 知 ；又故 ：（ ） 点 的 相 位 为 v050.4s60.spppttt即 质 点 到 达 点 相 应 状 态 所 要 的 最 短 时 间 为5-8 有一弹簧，当下面挂一质量为 的物体时，伸长量为 .若使弹簧上下振动，m29.81m且规定向下为正方向.（1）当 时，物体在平衡位置上
6、方 ，由静止开始向下运动，求振动方程.0t28.01(2) 当 时，物体在平衡位置并以 的速度向上运动，求振动方程.6s解：设所求振动方程为 )cos(tAx其中角频率 ，代入数据得lgmlk/10rads（1） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有 00.8,xv据 得220(/)Axv.mA据 得 ，由于 0，不妨取 于是，所求方程为01cosv1.8cos()xt（2） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有题图 5-710,.6msxv据 得220(/)Axv.A据 得 ，由于 ，应取 ，于是，所求方程为01cos20v2.6cos(1)(mxt5-9 一质点沿 x 轴做简谐运动，振动方
7、程为 ，求：从 时2410cos()(m3xt0t刻起到质点位置在 处，且向 x 轴正方向运动时的最短时间.2c解: 依题意有旋转矢量图（解图 5-9） ，从图中可得到而 02()t故所求时间为 01st5-10 两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置2/A的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.解：由于 、 可求得2/10x10v4/由于 、 可求得/20Ax20/如解图 5-10 所示，相位差 12/5-11 一简谐运动的振动曲线如题图 5-11 所示，求振动方解图 5-10解
8、图 5-9题图 5-11程.解：设所求方程为 )cos(tAx当 时， 由 A 旋转矢量图可得0t115m,0v23当 时，从 x-t 图中可以看出2st20,xv据旋转矢量图可以看出23t所以，2 秒内相位的改变量 202536tt据 可求出t15rads2t于是，所求振动方程为 0.cos()(m13xt5-12 在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为 k,物体的质量为 ,振m幅为 A.当物体通过平衡位置时,有一质量为 的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1） 和 粘结后,系统的振动周期和振幅;m（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期
9、和振幅.解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为 ,则由机械能守恒v221kAm得 v当 竖直落在处于平衡位置 上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以mm()uuv解图 5-11此后,系统的振幅变为 ,由机械能守恒,有A221() kmuA系统振动的周期为 2mTk（2）当 在最大位移处 竖直落在 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而m系统的振幅仍为 A,周期为.2Tk5-13 设细圆环的质量为 m,半径为 R,挂在墙上的钉子上. 求它微小振动的周期.解: 如解图 5-13 所示,转轴 O 在环上,设角度 以逆时针为正,则振动方程为2dsinJgt当环作微小摆动 时, 得i2d
10、0mRtJ设 得g2d0t因为 ，所以2JmR2RTg5-14 一轻弹簧在 60 N 的拉力下伸长 30 cm现把质量为 4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉 10 cm，然后由静止释放并开始计时 (1) 求物体的振动方程；解图 5-13(2) 求物体在平衡位置上方 5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5 cm 处所需要的最短时间解： 如解图 5-14 所示，选平衡位置为原点，取向下为 x 轴正方向。由 得fkx120Nmf1/57.rads(1) 由题意可知 1c,A所以振动方程0.os(7.)mxt(2) 物体在平衡
11、位置上方 5 cm 时，弹簧对物体的拉力 fga而 22.sx所以 9.Nf(3) 因为 时刻的初相位 ，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为0t012物体在平衡位置上方 处，此时 ，即 5cm5cx2os,A因为此时物体向上运动， ，所以0v23由t得 230.74(s).t5-15 在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为 的重物.现使平板沿竖直方向做上下简1kg谐运动，周期为 0.50s，振幅为 ，求：2.0m（1）平板到最低点时，重物对板的作用力；x 5 cm O 解 图 5 14 （2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动
12、时，重物会跳离平板？解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为 )4cos(02.tx设平板对重物的作用力为 N，于是重物在运动中所受合力为而fmga， 2x跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力 为)( 2（1）在最低点处： ,由上式得Ax1.96N（2）频率不变时，设振幅变为 ,在最高点处（ ）重物与平板间作用力最小，设 Ax可得0N2/0.6mAg（3）振幅不变时，设频率变为 ，在最高点处（ ）重物与平板间作用力最小，设Ax可得01/2/3.52Hzg5-16 一物体沿 x 轴做简谐运动，振幅为 0.06m，周期为 2.0s，当 t=0 时位移为 ，且0.3m向
13、 x 轴正方向运动，求：（1）t=0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从 处向 x 轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？0.3m解：设该物体的振动方程为 )cos(tA依题意知 12/(rads),0.6mT据 得Ax01cos3解图 5-16由于 ,应取0v3可得（1） 时，振动相位为0.6cos()mxt0.5ts3t据 得22cos,sin,cosxAAaAx v10.52m0.940.51（2）由 A 旋转矢量图可知，物体从 处向 x 轴负方向运动，到达平衡位置时，3mxA 矢量转过的角度为 ，该过程所需时间为560.8st5-17 一单摆的角振幅 ，周期 ，求0=.1.50sT（1）最大的摆动角速度；（2）当角位移是角振幅一半时，角速度的大小.解：(1) 因 ，设振动的表达式为12=4(rads)T0cot则0dsin()tt21max().4(rads)（2）当 时，有011cos()2t3int所以角速度的大小
