1、1 数学分析续论 模拟试题（二）一、单项选择题（ ）56（）设 为一数列，对它有 na若存在收敛子列，则 必收敛； 虽存在发散子列，但 仍可收敛；nana若所有子列都收敛，则 必收敛；所有子列都收敛，但它们可有不同极限（）设 在 上为一连续函数，则有 )(xf),值域 必为一开区间； 值域 必为一闭区间；ba ),(baf 为闭区间时， 亦必为闭区间； 以上、都不一定成立)(IfI（）若 ，则 ，使得当 时，必有 0),(x 单调递増； ；)(xf aff若 存在，则 成立； 以上、都不一定成立（）设 在 上可导，则 在 上必定为 )(xf,ba)(xf,b既存在最大值，又存在最小值； 不能同
2、时存在最大值和最小值；在 的点处必取极值； 以上、都不一定成立0)(f（）已知 ，这时必有 baxfd在 ； 不能有无穷多个 取负值；0)(,f上 )(xfC 取正值的 要比取负值的 多得多； 不能只有有限多个 取正)(xf x值二、计算题（ ）401（）试求下列极限：2 ； nn42lim 32sinlimxtx0d（）设 yxufuyx e)ln()(,12, 20试求 )()(0fuf与（）试求由曲线 ，直线 ，及 轴所围曲边梯形的面积 xylne1,xS（）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）求内接于椭圆 的长方形的12byax最大面积三、证明题（ ）301（） 设 在 上连续试
3、证：)(xf,ba，,),(Mmaf其中 分别是 在 上的最小值与最大值Mm与 )(xf（） 利用凸函数方法（詹森不等式）证明：,)(313cbacba其中 为任意正数；并讨论当 为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？cba, ,（） 证明：34ln)1(0n提示：把上式中的级数看作331S310)1(xnn解 答一、 （）； （）； （）； （）； （）二、 （） 解 ；54lim42limnnn .03sin2lmilsili 4302xxxtxxxd（） 解 2022 54)(,1)( eeufyxyxuf（） 解 所围曲边梯形如右图所示，其面积为1)ln(1)l(l)ln(11eede
4、exxS2（） 解 由题意，所求长方形的面积为 ，其中 需yxS4)0,(),(yxx0 O 1 ee/|lnxyxO,ab4满足，12byax故此为一条件极大值问题依据 Lagrange 乘数法，设，)1(2byaxyL并令（）.01,2,02byaxLxyx由方程组（）容易解出：2,2byxbyax据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为 axS4三、 （） 证 由闭区间上连续函数的最大、小值定理， ，使得,21baxMxfmxf)(,)(21若 恒为一常数，结论成立；现不妨设 再由连续,21Mmx于 是则 21x函数的介值性定理， ，这说明值yfbaxy )(,),(,)(21使
5、得域 充满了整个闭区间 ),(baf ,（） 证 设 由于3)(xf，),0(,6)(,12 xxff所以 在 上为一凸函数根据詹森不等式，对任何正数 ，恒有)(xf),0cba,5)(313cbacba而当 时， 为一凹函数，故对任何负数 ，恒有)0,(x)(xf ,)(313cbacba（） 证 由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数 在 处的)(xS01)(nnx3值，于是问题转为计算 )(xS不难知道上述幂级数的收敛域为 ，经逐项求导得到1,(；1,(,)0xxSnn这已是一个几何级数，其和为1,(,1)()(0xxSn再通过两边求积分，还原得 xx xttSxS00 ,)1(ln1)()( d由于这里的 ，于是求得0)( 0134ln)1(l)3()(nnS
