1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 6 页高等数学辅导资料十八主 题：期末复习（4-7 章）学习时间：2015 年 1月 26日2 月 1日内 容：一元函数积分学在微积分中占有重要地位，二元函数微积分是一元函数微积分的推广，线性代数是高等数学的一个重要分支。通过期末的总结与复习，希望同学们能够更加深入领会这门课程的重要知识点，学会简单的计算与应用，为期末考试提供更多的帮助。本次复习归纳起来可分为三个部分：1、概念部分1、原函数2、不定积分：应明确不定积分是原函数的全体3、定积分：应该明确定积分表示一个确定的数值，这个数值依赖于积分区间、依赖于被积函数，不依赖于积分变元。4、可变上限的积分：
2、应明确当 为连续函数时， 表示 的)(xf dtfxa)()(xf一个原函数。5、多元函数含两个要素：定义域、依赖关系6、二元函数极限，二元函数连续性7、偏导数、全微分8、二重积分：应明确二重积分表示一个数值，明确二重积分的几何意义与物理意义。9、行列式、矩阵2、运算部分1、计算不定积分计算不定积分的基本思想是利用基本积分公式及不定积分性质，如果被积函数不属于基本积分公式类型可以采用：（1）利用代数或三角恒等变型，将被积函数变为几个标准形式之和（2）将被积表达式变为标准形式，如积分第一换元法与积分第二换元法（3）将被积函数进行形式转换，如分部积分法。2、计算定积分3、利用定积分计算平面图形的面
3、积4、求二元函数定义域，其基本原则与求一元函数定义域的问题相同，就是要使解析表达式有意义。如分式的分母不能为零；偶次方根号下的表达式必须大于或等于零；对数的真数必须大于零；反正弦、反余弦中的表达式的绝对值小于等于1。5、求偏导数：求二元函数对 x的偏导数，只需将 y认定为常数，依一元函数求导规则进行：（1）对复合函数求偏导数要依复合函数偏导数的链式法则求。通常要引入大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 6 页中间变量，并注意有几层复合关系，在一元函数环节，用导数符号，而不用偏导数符号。（2）对隐函数求偏导数通常有两种方法：如果 确定 ，为了求 ，方法一是利用隐函数求偏导0),(zyxF),(
4、yxzxz数的公式 。需注意，由 求 时，将 三ZyZxF, ),(zyFzyxF,zyx,者等同对待。方法二是将 两端直接关于 x求偏导数，此时需将 认0),(zyx ),(yxz作是中间变量，由此求出 。6、求全微分通常可以先求出 ，如果 为连续函数，则有 。yzx,yzx, dyzxdz7、在直角坐标下计算二重积分（1）选择积分次序，需考虑两个因素：被积函数与积分区域确定积分次序之后，关键问题为确定积分限，这常常需要借助于积分区域D的图形。如果选定先对 y积分，可以作平行于 y轴的直线与区域 D相交，沿 y轴正方向看，所作出的直线与区域 D先相交的入口曲线 作为积分下限；后相交)(1x的
5、出口曲线 作为积分上限，而后再对 x积分时，取积分区域 D中 x的最小)(2x值 a作为积分下限，最大值 b作为积分上限。（2）交换积分次序，其一般步骤为：先依给定的积分次序确定区域 D的不等式表达式，并画出区域 D的图形；再依区域 D的图形确定改变积分次序以后的积分限。8、在极坐标下计算二重积分：面积元为 rd（1）将直角坐标系下二重积分 化为极坐标下的表达式时，xyfD),(需要先将区域 D的边界曲线换为极坐标系下的表达式。（2）极坐标系下的二重积分也要化为二次积分计算设区域 D的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点（或重合） ，则若极点 O在区域 D的外部，且区域 D可以表示为 ，)()
6、(,21rr大连理工大学网络教育学院第 3 页 共 6 页则 )(21 )sin,co)sin,co( rD rdfdrrf若极点 O在区域 D的边界线上，且区域 D可以表示为 ，)(0,r则 )(0)sin,co)sin,co( rD rdfdrrf若极点 O在区域 D的内部，且区域 D可以表示为 ，则)(0,2r)(02 )sin,co)sin,co( rD rdfdrrf3、同步练习（1）选择题1、下列不定积分正确的是（ ）A、 Cxd32 B、 Cxd12C、 cossinD、 sinco答案：D2、设 是 的一个原函数，则 （ ）)(xFf dxefx)(A、 CeB、 CeFx)(
7、C、 FD、 CeFx)(答案：B3、设函数 ，则yxz2z2A、 B、 C、 yD、 x2答案：D4、二次积分 等于xdyf10),(A、 yfd10),( B、 xdyfd10),(C、 ,dxx D、 ,答案：A5、行列式 1032大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 6 页A、0 B、-1 C、1 D、5答案：B(二）填空题1、设 ，则 _。dtx0an)(x答案：tanx2、定积分 _。xcos9答案：03、函数 的全微分 。)1ln(2yxzdz答案： 2d4、若积分区域 D是由 围成的矩形区域，则1,0,yx dxyeD_。答案： 2)1(e5、设 ，则 。53A1A答案： 1
8、26、设齐次方程组 仅有零解，则 K满足的条件是_。0321xk答案： 0k（三）解答题1、设连续函数 ，证明 。edxfxf1)(ln)( edxfe1)(1解：由于定积分表示一个数值，可设 ，从而 。将上eAAxfln)(式两端分别在1,e上取定积分，有 1ln)(ln)(11 xxddxfAee 大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 6 页可得 ，即 。eA1edxfe1)(12、求 的定义域。lnyxz解：由于分式的分母不能等于零，开偶次方根号下的表达式大于等于零，因此应有 ，而 中真数必须大于零，因此所给函数的定义域为0)l(y所确定的区域如下图所示yx3、求由 确定的隐函数 的导
9、数 。0sin2xye)(xfydxy解： xyexyyFdx2coscos24、求下列函数的极值与极值点 279),(3f解：由于 ，可解得唯一驻点 。xyfxf 93,9322 3,yx又 ，yfxff 6,62220,18,9,18 2)3,(2)3,()3,(2 ACByfCfBfA可知（3,3）为 的极小值点。,yxf大连理工大学网络教育学院第 6 页 共 6 页5、计算 ，其中 D为 所围成的区域。dxyD 0,22yxayx解：区域 D化为极坐标形式： ，则r030)cos(3sin20220 aaddxyaD 6、用克拉默法则求线性方程组 的解524321x解：因为 484015241D，6321031 ，218424D950125313 所以 为方程组的解。61,87,98321xDxx
