1、 谈新课标教材中（人教 A 版）习题的伏笔功能 缪荷芳 （杭州第九中学 310020） 新课程教材 是按照学生的认知规律来编排的，重视学生的主体作用，学习新知识不是一次成型，而是螺旋式逐步提升对知识的理解和应用。 所谓螺旋上升，其在哲学上的含义是这样说的： 事物发展总是矛盾的此起彼浮，阴阳消长，而矛盾又是对立统一的，所以发展过程不是直线式的；比如记忆，刚开始都记住了，过几天又会忘一些的，但是这个忘不是不知道，而是已经有理解或印象基础上的忘，是原来没有获取知识之前的进步，等到重复温习之后，就彻底的记住理解掌握了 ；然而随着时间增长 ， 知识的积累增加 ， 社会阅历的加深，原来的知识不一定都记得，
2、但是大多已经掌握领会了，在理解了的基础上把机械的东西忘记了，以便脑子能理解思维更多的东西 ； 你看，记 -忘 -记是螺旋式的在学习中进行的，但 每 一次发生都是事物的发展 必 经过程，是新的进步，有时甚至看起来像倒退；为了这个理念的实现，教材中处处留有这种痕迹，这样就要求教师在教材处理上埋下很多伏笔 . 所谓 伏笔，在语文中 是写作中常用的一种表现手法。它可以理解为前段文章为后段文章埋伏线索，也可以理解为上文对下文的暗示。它的好处是交待含蓄，使文章结构严 密、紧凑，读者读到下文内容时，不至于产生突兀怀疑之感。 现在笔者要谈的伏笔是数学教材中习题的伏笔功能，主要是笔者在平时教学时对教材习题的一个
3、处理手段 . 由于人教版数学教材 除必修 1 之外，其它几本的 教学 顺序 可以是任意的，体现的又是螺旋上升的理念， 因而在教材中也 处处体现着这一理念， 这就要求教师能从中发现，并给于运用，最大限度地发挥课本习题的作用 . 因此经过 两 轮新课程的教学， 笔者在教材习题的处理上形成了 一些 自己的看法与 建议 ， 现笔者从伏笔这一角度来阐述螺旋上升这一理念 . 一、为学生学习、教师教学埋下伏笔 （一）理论与实 践间的伏笔 比如 例 1：（ 必修 1 第 45 页的第 5 题 ） 证明： （ 1）若 f(x)=ax+b，则 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f xf ； （
4、2）若 g(x)=x2+ax+b，则 1 2 1 2( ) ( )()22x x g x g xg . 这题与以后习题中或者考试中遇到各种函数的凹凸性埋下伏笔 ，使学生对函数凹凸性的研究有代数方面的依据，更为教师教学提供了一个很有利的理论依据 . 对于这个习题，笔者是这样处理的：笔者先要求学生将题解答完整，然后笔者 在黑板上 画出 两个具体函数的 图象 ，比如 y=2x+1 与 y=x2+4x+3， 让学生观察 他们的图像的特点，提出凹凸性这个形象的概念，让学生有所感觉，点到为止，形成感觉就行 . 再在以后学到的各个具体函数 的性质时，让学生也能感官的说出其凹凸性，到高三综合复习时将这一概念具
5、体化，比如，看到一个函数图像，能具体说出 )2( 21 xxf 与2 )()( 21 xfxf 大小关系 . 例 2：（必修 4 第 74 页 B组第 1 题）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗，请根据年鉴或其它的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间 . （ 1）在同一坐 标系中，以日期为横轴 ， 画 出 散点图 ，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型； （ 2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 这与必修 3 的统计这一章以及必修 1 的函数模型形成呼应，深刻体现了螺旋上升这一理念 . 笔者认为这个题是新课程理念的很好体现，在这里
6、让学生重温一下统计的基本步骤以及函数的各个模型很有必要，做到温故而知新，感知数学源于生活，用于生活的又一特点，激发学生学习数学的兴趣 . （二）知识点与知识点间的伏笔 例 3：（必修 4 第 79 页 B组第 9 题）（ 1）我们知道，以原点为圆心， r 为半径的圆 方程是 x2+y2=r2，那么 sincosry rx表示什么曲线？（其中 r 是正常数， 在 0， 2)内变化 ) （ 2）在直线坐标系中， sincosrby rax表示什么曲线？（其中 a、 b、 r 是常数，且 r 为正数， 在 0， 2)内变化 ). 这题与以后学生学习圆的参数方程埋下了深深的伏笔，也给了教师发挥的空间，
7、如能好好利用，将能得到更大的价值 . 这题本身很简单， 在这里笔者提了一下这是圆的参数方程，至于具体的证明与用法留待以后解决，只给学生一个名称即可 . 这样的例子在必修 4 当中 还 有很多，比如： 例 4：（ 必修 4 第 120 页 B 组第 3 题） 证明 ：对 任意 的 a、 b、 c、 d R，恒有不等式 (ac+bd)2 (a2+b2)(c2+d2) 这个习题对以后学生学习柯西不等式埋下了伏笔。 这里的处理方法同例 3. （三）巩固旧知，迎接新知间的伏笔 例 5：（必修 4 第 113 页 B组第 4 题）如图，设 Ox、 Oy 是平面内相交成 60角的两条数轴， 1e 、 2e
8、分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的 单位向量，若向量21 eyexOP ，则把有序数对（ x， y）叫做向量 OP 在坐标系 xOy 中的坐标 . 假设 21 23 eeOP ，（ 1）计算 |OP |的大小；（ 2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？ 本题既是对平面向量基本定理的理解的考查，又是对 以后 非正交平面坐标学习埋下伏笔，真正做到了承上启下 . 再如必修 2空间直角坐标系这一节的学习，对文科生来讲，是对几何学习的晚辈性作准备，也为高校学习做准备，对理科生来讲，放在眼前的就是对立体几何后续学习的一个有效手段做准备 . 埋上了很重要的一笔 . 二、教材习题 间 的
9、伏笔 （一）知识内容上的伏笔 例 6(必修 1 第 75 页 B 组第 5 题 )： （ 1）试着举几个满足“对定义域内任意实数 a， b，都有 f(a b)=f(a)+f(b)”的函数的例子，你能说出这些函数具有那些共同性质吗？ （ 2）试着举几个满足“对定义域内任意实数 a， b，都有 f(a+b)=f(a) f(b)”的函数的 例子，你能说出这些函数具有那些共同性质吗？ 此题与以后复习参考题 A 组第 7 题遥相呼应，复习参考题 A 组第 7 题是这样的：已知 f(x)=3x，求证：（ 1） f(x) f(y) =f(x+y)；（ 2） f(x) f(y) =f(x y). 还有就是必修
10、 5 中的线性规划这一节与必修 2 中的直线方程一节的遥相呼应，浙江省将必修 2 放在必修 5 后上，笔者将必修 5 中的线性规划一节涉及到的直线方程当作伏笔来处理，加上学生在初中对直线方程的理解，线性规划这一节在必修 2 之前上就容易处理了，再到必修 2 上直线方程时， 对直线的又一次巩固提高，真正 体 现了一次螺旋上升的理念 . 例 7(必修 5 第 20 页例 8)：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m， 88m， 127m，这个区域的面积是多少？（精确到 0.1m2） 这题与后面 24 页 B组第 2 题中的海伦
11、公式相呼应，这点笔者处理如下，在讲前面完例子时，提一下以后会有更简单的方法；待等到讲解习题海伦公式时，在拿例 8 重新思考，会让学生对海伦公式有个全新的认识，马上记住，效果很好 . （二）思想方法上的伏笔 如 例 8、 必修 2 中直线方程与圆的方程的相互呼应 : （ 习题 3.3 中第 4 题 ） : 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 相 交 ， 证 明 方 程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R) 表示过 l1 与 l2 的交点 . 它与第 144 页习题4.2A 组第 4 题、第 10 题形成方法上的呼应 . 第 4 题：求圆
12、心在直线 x y 4=0上，并且经过圆 x2+y2+6x 4=0 与圆 x2+y2+6y 28=0 的交点的圆的方程 ； 第 10题：求经过点 M(3, 1)以及圆 x2+y2 6x=0 与 x2+y2=4 交点的圆的方程 . 再 例 9（ 必修 5 第 64 页的例 3） 如 图，为了估计函数 y=9x2 在第一象限的图像与 x 轴、 y 轴围成的区域的面积 X，把 x 轴上的区间 0， 3分成 n 等份，从各分点作 y 轴的平行线与函数图像相交，再从各交点向左作 x 轴的平行线，构成(n1)个矩形 . 下面的程序用来计算这 (n1)个矩形的面积的和 S. 阅读 程序，回答下列问题： （ 1
13、）程序中的 AN、 SUM 分别表示什么，为什么？ （ 2）请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时，各个矩形的面积的和（不必再计算机上运行程序） . 这题与后面学定积分 以及推球的体积公式 时形成了思想方法 上的统一，埋下伏笔 . 例 10、（必修 5 第 66 页 小结第 3 点）由于等差数列与等比数列所具有的特殊性质，使我们可以得到这两种数列的前 n 项和公式 . 你能用不同的方法推导出等差数列与等比数列的前 n 项和公式吗？对于任何数列 an， Sn与 an 有以下关系： )1()1(11 nSS nSannn你认为这个公式在解决数列问题时有哪些作用？ 这个公式的应用在教材中虽然没
14、有体现，但对于以后，特别是考试中解关于Sn 与 an 的数列问题有着举足轻重的作用，其重要性可想而知，一切尽在不言中 . 例 11、如图，树顶 A 离地面 a m，树上另一点 B离地面 b m，在离地面 c m处看此树，离此树多远时看 A、 B的视角最大？ 这题是在基本不等式当中出现的，是基本不等式的应用，它采用了三角形的背景，与必修 5第一章解三角形遥相呼应，特别与应用举例中的例 3、例 4（ 13 页） 相呼应 . 例 3、 AB是底部 B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点 . 设计一种测量建筑物高度AB的方法 . 例 4、如图，在山顶铁塔上 B处测得地面上一点 A 的俯角 =54
15、40，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 =501. 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3m，求出山高 CD（精确到 1m） . 这样的例子 在 教材中是 很多的，有些是教材编者精心设计的，有些也可能是教材编者 不经意之举 . 特别是在模块化课程设计中，除必修 1 以外，其他模块的教学顺序是任意的，而各模块知识之间的联系又是天然的 . 这样就不可避免地出现有些横向知识联系的综合性习题可能涉及到还没有正式上到的知识内容。在对新课标教材的批评声音中，经常可以听到对这类现象的指责 . 作为一线老师，我们除了向教材编者提出意见以外，是不是还应该多考虑一下“如何面对教材现状，用好教材”这个问题呢？本文提出的“习题的伏笔功能”这一观点，就是这一方面的一种尝 试 . 只要我们能好好 研究 教材， 创造性地 利用教材，新课程的明天 一定 会 更好 . 参考资料： 1、人教 社 A 版 教材必修 1 5； （人民教育出版社） 2、普通高中数学课程标准（人民教育出版社） 备注： 联系电话： 18989497863(), 地址：浙江省杭州第九中学 邮编： 310020
