1、智浪教育 普惠英才文库 217 初中数学竞赛辅导资料 解三角形 甲内容提要 1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形 . 2. 解直角三角形所根据的定理 (在 Rt ABC 中， C=Rt ). 边与边的关系： 勾股定理 c2=a2+b2. 角与角的关系：两个锐角互余 A+ B=Rt 边与角的关系：（锐角三角函数定义） SinA=ca ， CosA=cb , tanA=ba , CotA=ab . 互余的两个角的三角函数的关系： Sin(90 A)= CosA， Cos(90 A)= SinA， tan(90 A)= CotA, Cot(90 A)= tanA. 特殊角的三
2、角函数值： 角 A的度数 0 30 45 60 90 SinA的值 0 21 22 23 1 CosA的值 1 23 22 21 0 tanA的值 0 33 1 3 不 存 在 CotA的值 不 存 在 3 1 33 0 锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数） . 3. 解斜三角形所根据的定理 (在 ABC 中 ) 正弦定理： SinCcSinBbSinAa =2R. (R 是 ABC 外接圆半径 ). 余弦定理： c2=a2+b2 2abCosC； b2=c 2+a2 2ca CosB； a2=c2+b2 2cbCosA. 互补的两个角的
3、三角函数的关 系： Sin(180 A)= sinA， Cos(180 A)= cosA ， tan(180 A)= cotA， cotA(180 A)= tanA. S ABC 21 absinC=21 bcsinA=21 casinB. c baAB C智浪教育 普惠英才文库 218 4. 与解三角形相关的概念： 水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等 . 乙例题 例 1. 已知：四边形 ABCD 中， A 60 ， CB AB， CD AD， CB 2， CD 1. 求： AC 的长 . 解：延长 AD 和 BC 相交于 E，则 E 30 . 在 Rt ECD 中，
4、 sinE= CECD , CE=30sin1=1 21 2. EB 4. 在 Rt EAB中， tanE= EBAB , AB=EBtan30。 = 334 . 根据勾股定理 AC 22 3342 ）（ 2132 . 又解 ：连结 BD，设 AB 为 x， AD 为 y. 根据勾股定理 AC2 x2+22=y2+12. 根据余弦定理 BD2 x2+y2 2xyCos60 =22 12 2 2 1Cos120 . 得方程组 .07032222xyyx yx ，解这个方程组， 得 x= 334 . (以下同上一解 ) 例 2. 已知：如图，要测量山 AB 的高，在和 B同一直线上的 C， D 处
5、 ,分别测得对 A的仰角的度数为 n 和 m， CD=a. 试写出表示 AB 的算式 . 解：设 AB 为 x， BD 为 y. 在 Rt ABD 和 Rt ABC 中， .cotcotnxaymxy ， xCotm=xCotn a . x= CotmCotn a . 答：山高 AB CotmCotn a . yx6012ABCDEyxan mABC D智浪教育 普惠英才文库 219 例 3. 已知：四边形 ABCD 中， ABC 135 ， BCD 120 ， CD 6， AB 6 ， BC 5 3 . 求： AD 的长 . （ 1991 年全国初中数学联赛题） 解：作 AE BC 交 CD
6、 于 E， BF AE 于 F， CG AE 于 G. 在 Rt ABF 中， BF 6 Sin45 = 3 , AF BF 3 . 在 Rt CGE 中， GE CGtan30 = 3 33 1, CE 2， ED 4. AE= 3 +5 3 +1=6， AED 120 . 在 AED 中，根据余弦定理，得 AD2 62 42 2 6 4Cos120 =76. AD 2 19 . 例 4. 如图，要测量河对岸 C， D 两个目标之间的距离，在 A， B两个测站，测得平面角 CAB 30 ， CAD 45 ， DBC 75 ， DBA 45 ， AB 3 . 试求 C， D 的距离 . 解：在
7、 ABC 中， ACB CAB 30 ， BC AB 3 , AC 2 3 cos30 =3. 在 ABD 中， ADB 60 由正弦定理， 45sinAD60sinAB， AD60sinAB sin45 = 3 23 22 2 . 在 ACD 中，由余弦定理，得 CD2 32（ 2 ） 2 2 3 2 Cos45 =5 CD 5 . 3河流75 453045ABCD5 366120135ABCDEFG智浪教育 普惠英才文库 220 例 5. 已知： O 是凸五边形 ABCDE 内的一点且 1 2， 3 4， 5 6， 7 8. 求证： 9 和 10 相等或互补 (1985 年全国初中数学联赛
8、题 ) 证明：根据正弦定理，得 5s in4s in3s in2s in1s in10s inOA ODOCOCOBOB = 9s in8s in7s in6s in OAOEOEOD . sin10=sin9 9 和 10 相等或互补 . 例 6. 已知：二次方程 mx2 (m 2)x+41 (m 1)=0 两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值 . 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比 . 解：作 Rt ABC 斜边上的高 CD. 则 sinA= ACCD , sinB= BCCD . sinA和 sinB是方程的两根， 根据韦达定理，得 sinA+ sinB= mm2
9、； (1) sinA sinB= mm41 . (2) 即 ACCD BCCD = mm41 . （ 3） (1)2 2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=( mm2 )2 mm21 . sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1， ( mm2 )2 mm21 =1， m2+7m 8=0, m=1， m= 8. 由（ 3） ACCD BCCD ABCDABCDCD2 mm41 . CDAB 14mm . 当 m=1 时，没有意义； 当 m=-8 时， CDAB = 932 . 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是 32 9. 10987654312ABCDEOA BC
10、D智浪教育 普惠英才文库 221 丙练习 1. 填空： 如果从点 A对着点 B测得仰角是 60 ，那么从点 B对着点 A测得的俯角是度 . 点 C 在点 D 的南偏东 25 ，那么点 D 在 C 的方向是 . 斜坡 AB 的坡角是 30 ，那么 AB 的坡度 i=1 . 锐角 A 45 ，那么下列函数的取值范围是： SinA_， CosA_， tanA_， cotA_. 已知： 30 A 60 ，那么如下的函数的取值范围是 A的余弦 ， A的正切 . 2. 已知： ABC 中， B 45 ， AC 7，点 D 在 BC 上， CD 3， D 5. 求 AB 的长 . 3. 如图观测塔 AB 的
11、高为 a A测得地面上 同一方向上的两个目标 C， D 的俯角分别是 30 和 45 ， 求 CD 的距离 . 4. 船 A在船 B的正北，它们同时向东航行，时速分别是 15 和 20 海里， 3 小时后，船 B在船 A的东南，问这时两船相距多远 ？ 5. 一只船向南航行，出发前在灯塔 A 的北偏东 30 ，相距 15 海里， 2 小时后，灯塔在船的北偏西 60 ，求船的航行速度 . 6. 如图要测量建筑物 AB 的高，先在楼下 C 测得对顶端 A的 仰角为 45 ，然后在楼上 D 测得对 A的仰角为 30 ，已知 楼高 CD=m 米，求 AB. 7. 已知： ABC 中， a=21, b=1
12、7, c=10. 求： S ABC. 8. 已知： ABC 中， SinA SinB SinC=3 5 7. 求： ABC 的最大角的度数 . 9. 船 B在艇 A的方位角 120 ，相距 24 海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角 240 的方向前进，速度是每小时 9 海里 . A艇以最快的时速 21 海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船 B？ 10. 已知：锐角三角形 ABC 的外接圆直径 AE 交 BC 于 D. 求证： tanB tanC=AD DE 提示：作 BC 边的高 AF(h)并延长交圆于 G,连结 GE ja3045AB CDmAB CDEDABCEFG智浪
13、教育 普惠英才文库 222 11. 已知： ABC 中， A=45 ， AB= 6 ， BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形 . (1981 年福建省初中数学联赛题 ) 12. 如图已知： ABCD 为圆内接四边形，过 AB 上一点 M 引 MP， MQ， MR 分别垂直于BC， CD， AD，连结 PR 和 MQ 交于 N. 求证： MABMNRPN . (1983 年福建 省初中数学联赛题 ) 13. 如图已知：锐角 ABC 中， AC=1， AB=c， ABC 的外接圆半径 R 1. 求证： Cosc CosA+ 3 SinA . (1984 年全国初中数学联赛题 ) 12NBCPDQARMA13c1JB C
