1、智浪教育 普惠英才文库 1 初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例 1、化简 1 2 2 1 2 2x x x x . 练习 ： 若 2( ) 4 ( ) ( ) 0x z x y y z ，试求 x+z 与 y 的关系。 二、 非负数法 例 2、在实数范围内解方程 11 2 ( )2x y z x y z . 三、 构造法 （ 1）构造多项式 例 3、 三个整数 a、 b、 c 的和是 6 的倍数 .， 那么它们的立方和被 6 除 ， 得到的余数是 ( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （ 2）构造有理化因式 例 4、 已知 22( 20 02 ) ( 2
2、0 02 ) 20 02x x y y . 则 223 4 6 6 5 8x x y y x y _ _。 （ 3）构造对偶式 例 5、 已知 、 是方程 2 10xx 的两根 ， 则 4 3 的值是 _ _。 （ 4） 构造递推式 例 6、 实数 a、 b、 x、 y 满足 3ax by, 227ax by, 3316ax by, 4442ax by.求 55ax by 的值 _ _。 （ 5）构造几何图形 例 7、（ 构造对称图形 ） 已知 a、 b 是正数 ， 且 a + b = 2. 求 2214u a b 的最小值_ _。 练习：（构造矩形） 若 a， b 均为正数，且 22ab ，
3、 224ab ， 224ab 是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于 _。 四、 合成法 例 8、若 1 2 3 4 5, , ,x x x x x和 满足方程组 智浪教育 普惠英才文库 2 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5202 122 242 482 96x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x 确定 4532xx 的值。 五、 比较法 （ 差值比较法 、比值比较法、恒等比较法） 例 9、 71427 和 19 的积被 7 除，余数是几？ 练习：设 0abc ，求证： 2
4、 2 2a b c b c c a a ba b c a b c . 六、 因式分解法 （提取公因式法、 公式法、十字相乘法） 1 2 2 1( ) ( . . . )n n n n n na b a b a a b a b b 1 2 2 1( ) ( . . . )n n n n n na b a b a a b a b b 例 10、设 n 是整数，证明数 323122M n n n 为整数，且它是 3 的倍数。 练习：证明 993 991993 991 能被 1984 整除。 七、 换元法 （用新的变量代换原来的变量） 例 11、解方程 2 9(8 7 ) ( 4 3 ) ( 1 )
5、2x x x 练习：解方程 11.1 11.1xx . 八、 过度参数法 （常用于列方程解应用题） 例 12、一商人进货价便宜 8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的%x 增加到 ( 10)%x ， x 等于多少 ? 九、 判别式法 （ 2 4b ac 判定一元二次方程 2 0ax bx c 的根的性 质） 例 13、求使 22 2433xxA 为整数的一切实数 x. 练习：已知 ,xyz 是实数，且 2 2 2 212x y z ax y z a 智浪教育 普惠英才文库 3 求证： 2 2 20 , 0 , 03 3 3x a y a z a . 十、 韦达法 （韦达定理
6、：1 2 1 2,bcx x x xaa ） 例 14： 2 55yy 十一、 共轭根式法 （设 A 使含有根式的表达式，若存在另一个不恒等于零的表达式 B，使乘积 AB 不含根式，则称 B 为 A 的共轭根式） 例 11、设 a,b分别表示 137的整数部分与小数部分，求 2 (1 7)a ab 的值为 _ _。 练习：求不超过 6( 7 5) 的值的最大整数为 _ _。 十二、 反证法 例 12、已知 a， b， c 为实数，设 2 2 22 , 2 , 22 3 6A a b B b c C c a 证明： A， B， C 中至少有一个大于零。 练习：命题“如果 a， b 都是无理数，那
7、么 ba 也是无理数”是否正确，如果正确，试给予证明；如果不正确，试说明理由 . 代数常用的四种解题方法 数学离不开思维。学习效果的大小，取决于思维活动的发展与思维能力的发挥。而思维方法是思维的钥匙，有了科学的思维就能从总体上把握事物的本质联系。从而，有效地提高发现问题和解决问题的能力。很多学生天天做练习，但成绩就是不理想。为什么呢？主要原因就是没有吃透教材的基本原理，就是没有掌握解题的科学方法。掌握方法，是攻克难题的有力武器，只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三。不管遇 到什么难题，都能得心应手，迎刃而解。那么在初中代数中有那些常用的解题思维方法呢？ 一、 待定系数法 用一个或多个字母来表示
8、与解答有关的未知数，这些字母就叫待定系数法。待定系数法是一种最基本的数学方法 ,这个方法多用于多项式运算、方程和函数方面较多。例如： 例 1 试用关于（ x-1）的各次幂表示多项式 322 4 3 5x x x 。 解：设 3 2 3 22 4 3 5 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x a x b x c 。因为上式是恒等式，所以不智浪教育 普惠英才文库 4 论 x 取什么数，两边都 应相等，据此可设 1x ，代入上式得 4c ， 0x ，代入上式得 5 2 2ab 2x ，代入上式得 1 6 1 6 6 5 2 .abc 联立上面三个式子解得 2, 1, 4a b c 3
9、 2 3 22 4 3 5 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 4x x x x x x 。 这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数，比如可以断定 3( 1)x 的系数是 2，就没有必要再将 3( 1)x 项的系数设为待定系数了。 例 2 根据二次函数的图象上（ -1， 0）、（ 3， 0）、（ 1， -5）三点的坐标，写出函数的解析式。 解：由题设知，当 1x 和 3x 时 ,函数 y 的值都等于 0.故设二次函数的解析式为 ( 1)( 3)y a x x , 把（ 1， -5）代入上式 ,得 54a , 故所求的解析式为 25 5 5 1 5( 1 ) (
10、3 ) .4 4 2 4y x x x x 这道例题告诉我们用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧 .此题若设所求二次函数的解析式为 2y ax bx c ,用待定系数法 ,把已知的三点代入 ,得到一个三元一次方程组 ,进而求出三个待定系数 ,abc,这种解法运算量较大 . 二、 配方法 配方 ,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项 ,把其中若干项变形为 n次幂形式的项 .这是恒等变形的重要方法之一 .因为它有广泛的迁移意义。举例如下： 例 3 分解因式 （ 1） 4 64x （ 2） 222 3 4 1b a b a a 解：（ 1） 4 64x = 4 2 2 2 2 2 2 2(
11、1 6 6 4 ) 1 6 ( 8 ) ( 4 ) ( 4 8 ) ( 4 8 )x x x x x x x x x （ 2） 222 3 4 1b a b a a 智浪教育 普惠英才文库 5 2 2 222( 2 ) ( 4 4 1 )( ) ( 2 1 )( 2 1 ) ( 2 1 )( 1 ) ( 3 1 )b a b a a ab a ab a a b a ab a b a 例 4 已知 n 为正整数，且 7 19984 4 4n 是一个完全平方数，则 n 的一个值是。（第九界“希望杯”赛试题） 解：设 7 19 98 14 2 39 964 4 4 2 2 2nn 1 4 2 3 9
12、 9 6 7 22 2 2 ( 2 2 )nx 将 72(2 2 )x 展开后得 7 2 1 4 7 2( 2 2 ) 2 2 2 2 2x x x 由、得 14 2 39 96 14 8 22 2 2 2 2 2n x x 比较两边的指数，得 8+x=2n,2 3996. x 或者 8+x=3996,2 2 . xn 解之得 1003n 或者 3988n 。 此题有两解，所以任意填其 中的一个都行。 三、 换元法 把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子，从而使问题得以简化。这样的方法就叫做换元法。换元法是数学中重要的解题方法，根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，
13、化难为易，收到事半功倍的功效，现举例说明。 例 5 化简 321 9 9 6 1 9 9 7 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 61 9 9 6 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 5 1 9 9 6 。（第七界“希望杯”赛培训试题） 解：设 1996 为 a ，则 1997= ( 1)a ， 1995=( 1)a ， 所以，原式 323 2 3 23 2 3 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11111a a a a aa a a a aa a a aa a a a 例 6 解方程组 2236,3 3 0.x xy yx xy y 智浪教
14、育 普惠英才文库 6 解：令 ,.x y uxy v 代入方程组中，得 2 3 36,3 0.uvuv 解得 12,36.uv 和 3,9.uv 代入式中，得 1 2 , 3,3 6 . 9 .x y x yxy xy 分别解之，得 3 3 5 ,6, 26. 3 3 5.2xxy y 显然，这些例题运用了换元法就变的简捷了。 四、 同一法 同一法属于间接证法，它的理论依据分别是逻辑学中的同一律与矛盾律和排中律。同一法就是应用“同一法则”进行证明的方法。同一法则是如果两个互逆的命题的条件和结论所关联的事物是唯一存在的，那么两个命题同时为真，或同时为假。例如： 例 7 设 a bg, 都是锐角，
15、它们的正切依次是 111,2 5 8 。 求证： a + b + g = o45。 证明： +a + ba + b = = =- a b -?Q11t g t g 725t g( )111 t g t g 9125，以及 ab, 都是锐角。 a + bQ()是小于 o45 的锐角 。 现在取锐角 d ，使 a + b + d = o45，于是 -轾d = - a + b = = = g犏臌+o7119t g t g 4 5 ( ) t g7 819 d= g a + b + g = o45 当然，以上的四种方法只是我们初中阶段较常见较重要解题的方法，愿同学们能从中得到启发。重视中学数学中的解题基本方法，它对同学们扩大知识领域，提高综合解题能力将带来很多方便。
