1、唐山学院毕业设计设计题目车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁的非线性振动分析系别班级姓名指导教师2015年5月28日唐山学院毕业设计（论文）任务书1土木工程系土木工程专业班姓名毕业设计（论文）时间年月日至年月日毕业设计（论文）题目车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁的非线性振动分析毕业设计（论文）任务1毕业设计（论文）的目的和意义本毕业论文应用强非线性DUFFING系统幅频响应的MLP方法，求得了系统在主共振、1/3次亚谐共振、3次超谐共振、主参共振、参强联合情况下的幅频响应方程，并利用MATLAB数学软件求得幅频响应曲线，且通过具体的数值计算，分析了系统参数对各种情况下响应曲线的影响。本论文
2、使学生学习到强非线性振动的一些方法，并利用学到的方法解决一些实际问题。同时掌握MATLAB数学软件的一些基本编程指令，能运用其解决本研究课程中的一些数据问题。通过本论文，让学生能够在文献查阅与使用、工程结构与计算、创新意识培养、学科知识综合、工程软件利用等方面得到锻炼，从而提高其综合运用所学知识独立解决工程问题的能力。2毕业设计（论文）课题任务的内容和要求1）本课程内容车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁的非线性振动分析2）要求仔细阅读、认真分析相关资料，结合科技文献，理解强非线性DUFFING系统的特点及处理方法，掌握MLP方法在解决非线性问题上的核心，能利用MATLAB数学软件作出所要求的
3、图形，能从图形中分析得出结论。课程任务要求（1）应用弹性理论和GALERKIN方法建立有限长局部脱空地基梁受车载作用下强非线性振动方程；（2）应用MLP方法，求得了系统在主共振、1/3次亚谐共振、3次超谐共振、主参共振、参强联合情况下的幅频响应方程及相应的幅频相应曲线；（3）求出系统的一次解析解；（4）用具体的数值计算分析幅频响应曲线、振幅速度响应曲线等各响应曲线；（5）论文不少于12000字，中文摘要150500字，并翻译为英文；参考文献不少于15篇；3毕业设计（论文）成果的要求1）开题报告；2）毕业论文；毕业设计（论文）进度计划安排阶段应完成的主要工作起止教学周1收集课题资料、实习，编写开
4、题报告、实习报告3周4周2建立数学模型5周3计算幅频响应方程6周8周4利用MATLAB软件绘制各响应曲线、土木工程实习9周10周5求主共振、1/3次亚谐共振、3次超谐共振、主参共振、参强联合11周12周6进行数值计算与结论分析13周14周7翻译外文资料，编写设计说明15周16周8答辩17周主要参考文献1杨志安河北联合大学机械工程系02级硕士研究生“非线性振动”讲义2杨志安，贾彩利，彭震非线性弹性地基上圆形薄板三次超谐共振地震工程与工程振动,2006,6第26卷第3期3钱长照强非线性DUFFING系统分岔响应分析的MLP方法动力学与控制学报，2008,6第26卷第5期3唐驾时求强非线性系统次谐共
5、振解的MLP方法应用数学与力学，2000,1010391045（TANGJIASHI,THEMLPMETHODFORSUBHARMONICANDULTRAHARMONICRESONANCESOLUTINSOFSTRONGLYNONLINEARSYSTEMSAPPLIEDMATHMATICANDMECHANICS,2000,1010391045INCHINESE）4钱长照求解一类含阻尼的强非线性系统的改进多尺度方法振动与冲击，2007，5，第26卷第5期6同济大学数学系线性代数北京高等教育出版社，20077王沫然，MATLAB与计算科学北京电子工业出版社，20038尚涛，谢龙汉，杜如虚MATLA
6、B工程计算及分析北京清华大学出版社，20079同济大学数学系高等数学北京高等教育出版社，200710李骊强非线性系统的频闪法力学学报，1990,22（4）402412（LILTHESTROBOSCOPICMETHODFORCERTAINSTRONGLYNONLINEARSYSTEMSACTAMECHANICAINICA,1990,224402412INCHINESE11AHNAYFEH,DTMOOKNONLINEAROSCILLATIONSWIILEY,NEWYORK,197912石博强，赵金MATLAB数学计算与工程分析范例教程北京中国铁道出版社，2005SHIBOQIANG,ZHAOJIN
7、THEMATLABMATHEMATICALANDENGINEERINGANALYSISTUTORIALEXAMPLEBEIJINGCHINARAILWAYPUBLISHINGHOUSE,200513邹昭文，程光均，张祥东理论力学（第4版北京高等教育出版社，2006ZOUZHAOWEN,CHENGGUANGJUNZHANGXIANGDONGTHEORETICALMECHANICS（FOURTHEDITIONBEIJINGHIGHEREDUCATIONPRESS,200614干光瑜，秦惠民材料力学（第4版）北京高等教育出版社，2006GANGUANGYU,QINHUIMINMECHANICSOFM
8、ATERIALSFOURTHEDITIONBEIJINGHIGHEREDITIONPRESS,200615龙驭球，包世华结构力学（第2版）北京高等教育出版社2006LONGYUQIU,BAOSHIHUASTRUCTURALMECHANICSSECONDEDITIONBEIJINGHIGHEREDUCATIONPRESS,2006毕业设计论文指导教师评议书1序号评分指标具体要求分数范围得分1学习态度努力学习，勤于思考，遵守纪律，作风严谨务实。04分2调研论证能独立查阅文献资料及从事其它形式的调研，能较好地理解课题任务并提出实施方案，有分析整理各类信息并从中获取新知识的能力。08分3综合能力能综合
9、运用所学知识和技能发现与解决实际问题，工作中有创新精神，成果有新意或有实用价值。010分4设计（论文）质量论证、分析、设计、计算、建模、实验正确合理，工作量饱满。010分5外文翻译摘要及外文资料翻译准确，文字流畅，符合规定内容及字数要求。04分6说明书撰写质量说明书文字通顺、结构严谨、逻辑性强、格式规范、符合规定字数要求，绘图清楚、工整、规范。04分合计040分评语指导教师年月日本毕业设计（论文）需要特殊说明的有关问题指导教师年月日毕业设计论文评阅教师评议书2序号评分指标具体要求分数范围得分1调研论证能独立查阅文献资料及从事其它形式的调研，能较好地理解课题任务并提出实施方案，有分析整理各类信息
10、并从中获取新知识的能力。04分2综合能力能综合运用所学知识和技能发现与解决实际问题，工作中有创新精神，成果有新意或有实用价值。05分3设计（论文）质量论证、分析、设计、计算、建模、实验正确合理，工作量饱满。06分4外文翻译摘要及外文资料翻译准确，文字流畅，符合规定内容及字数要求。02分5说明书撰写质量说明书文字通顺、结构严谨、逻辑性强、格式规范、符合规定字数要求，绘图清楚、工整、规范。03分合计020分评语评阅人年月日毕业设计论文答辩小组评议书3评分指标具体要求分数范围自述思路清晰，语言表达准确，概念清楚，论点正确，分析归纳合理。07分水平工作中有创新精神，成果有新意或有实用价值。08分答辩能
11、够正确回答所提出的问题，基本概念清楚，有理论根据。020分资料资料齐全，符合学院毕业设计（论文）规范化要求。05分合计040分评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7总分平均成绩答辩纪要答辩小组秘书（签字）年月日答辩小组组长（签字）年月日答辩委员会意见指导教师评议评阅人评议答辩小组评议汇总成绩秘书（签字）唐山学院系毕业设计（论文）答辩委员会于年月日审查了专业学生的毕业设计（论文）（其中设计说明书（论文）共页，设计图纸张）。根据其设计（论文）的完成情况以及指导教师、评阅教师、答辩小组的意见，系毕业设计（论文）答辩委员会认真审议，决议如下成绩评定为主任（签字）年月日车辆荷载作用下的有限长局部脱空
12、地基梁的非线性振动分析摘要有限长局部脱空地基梁在车辆移动荷载作用下的非线性振动情况比较复杂，但却有着极其重要的研究意义和研究必要性。本论文基于地基梁的弯曲微分方程、有限元理论和虚功原理，利用梁间位移（单位长度）、转角等的边界和连续条件，以及地基梁的整体平衡条件，给出了车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁的一种计算方法（伽辽金法）。应用了动力学理论、弹性理论，地基梁非脱空段处的地基采用WINKLER假定，并且考虑非线性地基反力的存在，构建出非线性动力方程。利用多尺度法求解了非线性振动系统满足主共振、1/3次亚谐共振、3次超谐共振以及主参数组合共振等的情况，并根据京津唐附近实际情况给各参数赋值，进
13、行计算分析，得出结论。阐明了了几何参数、激励参数、地基参数、阻尼参数等对系统主共振、1/3次亚谐共振、3次超谐共振以及主参数组合共振等的影响。关键词局部脱空地基梁有限长伽辽金法车辆荷载多尺度法非线性动力1目录1引言12非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的非线性动力方程121数学模型的建立123方程的求解33移动车载作用下非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的主共振731主共振的一次近似解832主共振定常解的幅频响应1033定常解的稳定性错误未定义书签。34数值计算与结果分析错误未定义书签。35结论164移动车载作用下非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的受迫次共振错误未定义书签。41次共振的
14、可能性错误未定义书签。421/3次亚谐共振的理论分析194211/3次亚谐共振的一次近似解错误未定义书签。4221/3次亚谐共振的定常解及其存在条件错误未定义书签。4231/3次亚谐共振定常解的稳定性22424数值计算与结果分析错误未定义书签。433次超谐共振的理论分析264313次超谐共振的一次近似解错误未定义书签。4323次超谐共振的定常解及其存在条件264233次超谐共振定常解的稳定性错误未定义书签。434数值计算与结果分析错误未定义书签。44结论315移动车载作用下非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的受迫组合共振3251组合共振存在的可能性3252两个外激励线性组合接近派生系统固有频
15、率的情况错误未定义书签。521一次近似解33522定常解的幅频响应34523定常解的稳定性错误未定义书签。524数值计算与结果分析3653结论396总论错误未定义书签。6附录错误未定义书签。7致谢4811引言首先明确，地基梁即为放在地基上的梁。可以当做局部脱空地基梁来分析的工程问题有很多。举几个比较现实的的例子，假如想在悬崖两端建桥通车，就可以借助该文的分析，然后对称布置即可；再如河边的码头，可以作为船与陆地的过度构件，也可以依据本论文的分析。往更普遍的方向构思，不难想到我们身边的混凝土路面，在车辆荷载的重复作用下，地基可能由于受力或混凝土徐变亦或是其他因素导致其收缩，造成梁下局部脱空，也完全
16、可以依赖本论文的分析。因此，弄清局部脱空地基梁在移动车辆荷载下的振动规律有很广泛的实际应用范围。通过计算分析，就可通过简单的分析计算结果中的参数来评估局部脱空范围，为合理选择建桥方案以及后期治理措施提供依据。2非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的非线性动力方程21数学模型的建立首先讨论一下荷载的简化，参与本论文计算的荷载是移动车载，由于路桥面的不平整，外加绝大部分车都有防震系统（可简单理解为弹簧），所以把车载简化为移动的简谐荷载比较符合实际情况，而的加入是对两荷载滞后的考虑，可以为任意值，其值与汽车种类等因素有关。移动车载作用下的局部脱空有限长弹性地基梁的力学模型如图21所示，把脱空地基梁分
17、成两段考虑地基梁脱空段（0XLA）视为一端自由，一端简支，另一段（）（ALLX0）则按两端简支来考虑其边界条件，定义梁的总长度为L，脱空区段梁长记作AL，车辆荷载为SIN1TP，SIN2TP（前后轮分别考虑，间距为D），在某一时刻后轮（即）2P的坐标为PX。222公式推导由图可知，在有限长局部脱空地基梁非线性动力方程中，地基梁受到的外力包括由弯曲正应力引起的竖向合力、由质量产生的竖向力、弯曲挤压产生的弯曲正应力、车载移动时的阻力以及牛顿力学定律涉及到的惯性力，由此很容易得到力的平衡方程（221）（222）其中，EI,是梁的抗弯刚度（2KNM）；是梁的线密度（KG/M）；PXALLD2PA简支X
18、Y）（ALLYALLXTXFTTXYMTTXYWKWKTXYDXXTXLLEAXTXYEIA0,CX,2,22321222044SIN2TPSIN1TP1P12图前轮后轮简支0,2244XLTXFTTXYTTXYCXTXYEIA3,TXF为移动车载的激励式中）（为01函数，X为1P点所在坐标；方程（2）由冯卡门方程引出。23方程组的求解231方程（221）的求解方程（231）对应的齐次方程为4阶常系数线性微分方程，对应于（1）的齐次方程为（232）易知，求（221）式通解需求（232）式（对应齐次方程）的通解和（231）式的一个特解，下面用EULER待定指数函数法求解首先化简（232）式到（2
19、33）式0,0,2244XLTTXYEICTTXYEIXTXYA（233）（233）式对应的特征方程为024EICEIP，观察得0为一个特征根。当0时，方程化为03EICEI（234），为一元三次方程，用卡尔丹公式求解令EIP,EICQ，代入公式可得3121223121222322322PQQPQQ（235）31212223121223322322PQQWPQQW（236）SINDSIN,21TPVTXTPVTXTXF）（）（0,2244XLTXFTTXYTTXYCXTXYEIA0,0,2244XLTTXYTTXYCXTXYEIA431212231212224322322PQQWPQQW（23
20、7）其中，231IW。易知，4321、互不相同，所以TTTECECECCTXY4324321,便是方程（3）的通解。而（231）式所对应的特解，可用算子法求得，常数的确定要用到下面涉及的边界条件和连续条件地基梁的边界条件为，A截面的连续条件为，求解过程在此不再赘述。231方程（222）的求解（231）用伽辽金的方法求解首先进行时空分离，可设,1XTUTXYINI（238）将（9）式代入（2）式，可得SINSIN2212211321221N021N441NTPVTXTPVTXDTTDUXMDTTDUXCWKWKDXXDTUDXDXXDTULLEADXXDTUEIINIINIIILLNIAIIA（
21、239）21AALXLXDXLXDXLXAADD21222212DDDXLXDXLXAA323313DDDXLXDXLXAA00D0D313212DXXDXX00D2222DXXLX）（ALLYALLXTXFTTXYMTTXYWKWKTXYDXXTXLLEAXTXYEIA0,CX,2,2232122204450SINSIN20201022202032122020044AAAAAAAALLLLNLLNNLLNNNLLNNNLLNNLLALLINNDVTXTPDXXVTXTPDXDTTDUMDXXDTTDUCDXXWKWKDXXDXXDTUDXDXXDTULLEADXDXXDXTEIU）（AALL
22、LLVTDXLLXVTXASINSIN0）（）（AALLLLDVTDXLLXDVTXASINSIN0）（）（将（239）式两端乘以XN并沿ALL，0积分，利用振型的正交性，可得（0DXJI）（239）将ALL，0振型函数假定为三角函数ANLLXNXSIN，固有频率一般较小，故取1N，即振型函数为AANLLXTUWLLXXSINSIN，则（2310）由于222COS1SINCOS00202ALLALLALLALLDXLLXDXLLXDXLLXAAA）（）（）（代入（239）式，其中22COSCOS2SINCOS2SINCOSCOS22324400444430444432020222020TULL
23、LLLLEAXLLLLXDLLXLLXTULLEALLXLLXLLXTULLEADXLLXLLXLLXTULLXLLXTULLEADXXDXXDTUDXDXXDTULLEANAAALLALLAAANALLAAANAAAANLLAALLNANNNLLNNLLAAAAAAAA（2SIN2202220222ANLLANLLNNLLDTTDUMDXLLXDTTDUMDXDTTDUMAA2SIN0202ANLLANLLNNLLDTTDUCDXLLXDTTDUCDXXDTTDUCAA4232210420210321TULLKTULLKDXXKDXXKDXXWKWKNANALLNLLNNLLAAA）（）（）
24、（62SINSIN44044044AANLLAAANLLINNLLLLTEIUDXLLXLLLLXTEIUDXDXXDXTEIUAA整理得上式两端同时除以，令，可得令，TUDTTDUNN22TUDTTUDNN0SINSINSINSIN222222221322132442244AANANANAAAANANAANLLDVTTPLLVTTPTULLKTULLKTULLLLLLEALLDTTDUMLLDTTDUCLLLLTEIU）（）（AAAANANNANNNALLDVTTPLLMLLVTTPLLMTUMLLKTUMKTULLMEATUTUMCTULLMEISINSIN2SINSIN224221321
25、34434）（）（44242AALLMEAMLLK）（11ALLMPF22ALLMPF2ALLM02MC201342MKLLMEIA）（7可得荷载部分利用三角函数的积化和差化简，可得再令，上式可进一步化简为（2310）3移动车载作用下非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的主共振因脱空段振动为线性振动，不会涉及到主共振问题，故仅讨论ALL，0段。所谓主共振是指外激励频率接近派生系统固有频率0时的共振，本论文所涉及的是线性小阻尼系统，很小的激励幅值F就激发强烈的共振，因此研究主共振对系统阻尼、外激励幅值和频率加以如下限制（小阻尼）0，一个量级）与）（表示（11O，（弱激励下）IIFF，01，）（1
26、OF，）（1O（31）其中，称为激励频率失调参数（调谐参数、调制参数），上述几个约束条件实际上是限制了阻尼项、激励项、激励幅值的变化项是小量。另外，上文有提到，则，下文AANNNNLLDVTTFLLVTTFTUTUTUTUSINSIN2SINSIN22213020COSCOSCOSCOS2213020AAAANNNNLLDVTTLLDVTTFLLVTTLLVTTFTUTUTUTUALLV1ALLV2ALLDZ1ALLDZ2COSCOSCOSCOS2221122113020ZTZTFTTFTUTUTUTUNNNNALLV1DEFLLVA001820220TD计算中是令1，在式（324）中，01是
27、整体出现的，其实质表明车速也相当于一种调谐参数（也就是说，如果固定，那么与V就会一一对应），即可呈现出车速V对系统振动的影响，该影响结果在下文响应曲线中讨论，在此不再赘述。31主共振的一次近似解由以上推导过程，可以得到ALL，0段桥梁在移动车载作用下为强非线性DUFFING系统，该系统发生主共振的条件下，式（2310）成为（311）用多尺度法研究解的一次近似时，只需要两个时间尺度，故设,101100TTUTTUTU（312）将式（312）代入式（311），并利用导算子表达式，比较同次幂的系数可得到一组线性偏微分方程（313）（314）式中，,，方程（313）的解是0000COS,1110011
28、00TJTJETAETADEFTTTATTU定义为（315）COSCOSCOSCOS22221122111320ZTFZTFTFTFTUTUTUTUNNNN）222110022110013000010120120020020COSCOSCOSCOS220ZTFZTTFTFTTFUUDUDDUUDUUD00TD11TD101TTT9其中，将其带入式（314）可得COSCOS2223222322221332010332010120120221100110010000001000000ZTFTFEFEFEFEAEAAAJADJEFEAEAAAJADJUUDZTTJZTTJTTJTJTJTTJTJTJ
29、（316）式中由此得到消除永年项（在渐近解中与时间T成正比的项）的条件022322212010111ZTJTJEFEFAAAJADJ（317）将式（315）代入（317），分离其实部和虚部得COS2COS283SIN2SIN211021013111021011ZTFTFAADZTFTFAAD（318）这就是一次近似解的慢时速振幅和相位应满足的微分方程。引入，方程（318）还可转换为自治微分方程（在一个微分方程中，其自变量没有显含在方程中）COS2COS283SIN2SIN21020131102011ZFFAAADZFFAAD（319）相应的主共振一次近似解为COSCOS11001TTTATTT
30、TATU1112TJETADEFTA11100110010022COSTTJTTJEFEFTTF1T1032主共振定常解的幅频响应（动力学特性）所谓定常解，其含义是振幅和相位与时间无关的解。为确定对应稳态运动的定常解振幅A和相位，令式（319）中01AD，01D，得到振幅A和相位满足的代数方程COS2COS283SIN2SIN220201310201ZFFAAZFFA（321）两式平方相加，三角函数部分利用和差化积公式，可得即（322）两式相除可得（323）以上两式简称为幅频响应方程和相频响应方程。它们也可以用原系统参数方程表示（324）（325）120212022212220120COS24
31、83ZFFFFAA）（）（201010201102102012010183COS22SIN2COS2283TANAZFFZFZFFA120212022212222COS2483ZFFFFAA）（83COS22COS2COS2283TAN2102011021020121AZFFZFZFFA11式（324）是关于A的一元六次方程，由极小值求法可得，当时，A可取到最大值，即主共振的峰值可取到最大，此时12021MAXCOS2ZFFA，该值与非线性因素无关。式（324）还是关于1的一元二次方程，对于，可解除一对1，201220212202221201COS2483ZAFFAFFA）（，从而绘出主共振振
32、幅和相频响应曲线，如图可见对于固定的激励频率（），主共振可能是唯一的也可能是三种。类似于自治系统有多个平衡解的情况，多个稳态主共振的真正实现取决于稳定性及初始条件。与峰值大小A不同，出现峰值的激励频率则与非线性因素有关，其值83201A（326）这一激励频率与0,0000032020UAUUUU条件下的DUFFING系统自由振动的频率相同，其原因在于主共振的一次近似解是简谐振动，共振时外激励恰好与系统的阻尼力相平衡，使主共振相当于无阻尼自由振动。将（326）式确定的曲线称为共振骨架线，因为它给出了不同激励下主共振峰值与激励频率的关系。33定常解的稳定性（定常解没有稳定性，即物理上不稳定，也可以
33、理解为幅频和相频响应曲线两条路径都取不到的情况）稳态主共振是以周期运动。由于描述主共振非定常解的微分方程（21）是一自治系统，主共振定常解的稳定性就是自治系统在,A（即奇点）处的稳定性。因此可以采用ROUTHHURWITZ判据来分析主共振的稳定性。083201A221212120COS2210FZFFFA12将方程（319）在,A处线性化（即求一介导数后，对应变量用扰动量表示），形成关于扰动量,A的自治微分方程。注意化简时视为常数。（327）利用（321）式，消去（327）式中的（把提出来，再整体代换）AAADAAAAD212189183（328）其特征方程为089183DET22）（）（AA
34、AA（329）展开行列式得到0898322222AA（3210）对于0，由ROUTHHURWITZ判据可得定常解失稳的条件为08983222AADEFT（3211）通过式（324）和式（325）关于2A的求解，可发现幅频响应曲线上具有铅垂切线的条件正是0T。因此，失稳条件对应着幅频响应曲线有多值时中间的一支解。33数值计算与结果分析120220112022011102011S2SIN2COS2COS243COS2COS2ZINAFAFAZAFAFADZFFAAD13车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁系统的各参数在不研究其本身情况下的取值如下桥梁总长度ML150桥梁脱空段长度MLA20桥梁弹性
35、模量PAE10102桥梁刚度2101060578MNEI汽车前轴重力NP60001汽车后轴的重力NP40002汽车的前后轴之间的间距MMD2400汽车前后轴之间的相位差3地基土密度33/1052MKG地基系数381/104MNK地基系数372/104MNK阻尼比00020小参数10由10得到调谐值020利用MATALB程序，按式（424）计算车辆荷载作用下的有限长局部脱空地基梁系统的主共振的各种响应曲线（注意以上各参数均需变换成国际单位）。调谐值DETUNINGRAD/S振幅AMPLITUDEAM5432101234500102030405060708091X10300001000020000
36、3调谐值DETUNINGRAD/S振幅AMPLITUDEAM5432101234500102030405060708091X103P16000KNP24000KNP18000KNP26000KNP110000KNP28000KN14图1图4分别为为阻尼比、车载、桥梁非脱空段长度、车载相位差取不同数值时对系统主共振幅频响应曲线的影响。由上图很容易得出如下结论（1）系统非线性特点不明显（曲线接近对称，若是强非线性系统，曲线会很明显偏向一边）；（2）A随着阻尼比的增大振幅明显减小，共振区间变化不大。B随着车载的增大振幅也会相应的增大，共振区间变化不大。C随着桥梁非脱空段长度的减小振幅会相应的增大，共
37、振区间变化不大。D随着车载相位差的增大振幅有减小的趋势，共振区间变化不大。较前几幅图来说，车载相位差的变化对系统主共振幅频响应曲线的影响很小。图1阻尼比对幅频响应曲线的影响图2车辆荷载对幅频响应曲线的影响图3桥梁长度（非脱空段）对幅频响应曲线的影响图4车载相位差对幅频响应曲线的影响调谐值DETUNINGRAD/S振幅AMPLITUDEAM5432101234500102030405060708091X103LLA80MLLA180MLLA130M调谐值DETUNINGRAD/S振幅AMPLITUDEAM54321012345012345X1041047RAD1570RAD0523RAD0速度D
38、ETUNINGVM/S振幅AMPLITUDEAM10050050100012345678X104000010000200003速度DETUNINGVM/S振幅AMPLITUDEAM10050050100012345678X104P110000KNP28000KNP18000KNP26000KNP16000KNP24000KN15图5图8分别为调谐值、车载、桥梁非脱空段长度、车载相位差取不同数值时对系统主共振振幅速度响应曲线的影响。由上图很容易得出如下结论（1）系统主共振非线性特点不明显（曲线接近对称，若是强非线性系统，曲线会很明显偏向一边）；（2）A随着阻尼比的增大振幅明显减小，共振区间变化不
39、大。B随着车载的增大振幅也会相应的增大，共振区间变化不大。C随着桥梁非脱空段长度的减小振幅会相应的增大，共振区间变化不大。D随着车载相位差的增大振幅有减小的趋势，共振区间变化不大。34结论本节主要侧重于阐述局部脱空地基梁系统的主共振的分析。通过时变各类参图5调谐值对振幅速度响应曲线的影响图6车载对振幅速度响应曲线的影响图7桥梁非脱空段长度对振幅速度响应曲线的影响图8荷载相位差对振幅速度响应曲线的影响速度DETUNINGVM/S振幅AMPLITUDEAM10050050100012345678X104LLA80MLLA130MLLA180M速度DETUNINGVM/S振幅AMPLITUDEAM1
40、00500501000051152253354455X10401047RAD1570RAD16数，得出不同的响应曲线。有些结论可以很容易根据我们的常识判断正误，例如车载对幅频响应曲线的影响，随车车载的增加，也就是经过该桥面的汽车越重，则桥梁系统振动幅度越大；随着局部脱空地基梁非脱空段长度的增加，也就是桥梁与地面固结部分越长（悬空段长度恒定），桥梁振动越现象越微弱。而对于阻尼比和车载相位差可能没有上述两个因素的影响来的显而易见，这就需要依赖上述结论，如果想尽可能避免发生主共振就要选用阻尼比较大的桥面材料，同时尽量通车载相位差较大的车辆。对于振幅速度响应曲线，较上述曲线可能有更普遍的实际意义。为了
41、减小主共振的影响，应该采取相应措施使桥梁系统的调谐值较大，非脱空段较长。而对车辆的限制，应从较小质量（限重）、较大车载相位差方面入手。整个分析过程，建立了非线性弹性地基上局部脱空地基梁非脱空段在车辆移动荷载下的非线性振动方程，使用伽辽金过程进行了求解。应用了多尺度法对桥梁系统的主共振进行分析，运用MATLAB软件来分析不同调谐值、车辆荷载、桥梁非脱空段长度、荷载相位差对幅频响应曲线、振幅速度响应曲线的影响，所得出的结论对实际工程有很大的参考价值。4移动车载作用下非线性弹性地基上有限长局部脱空地基梁的受迫次共振1741次共振的可能性考察DUFFING系统在移动车载（简谐激励）作用下的受迫振动问题
42、（411）由与激励频率远离，不再要求激励幅值为小量，但仍限定系统非线性及阻尼比较弱（也就是要求激励为大激励，阻尼为小阻尼），即10，00，）（10（412）该系统不再具有精确解，可采用多尺度法研究解的一次近似。故设,101100TTUTTUTU（413）将式（413）代入式（411中，比较同次幂（两式分别为10和）的系数得到一组线性偏微分方程（414）（415）下面求解（414）式三角函数部分利用和差化积公式有111111SINSINCOSCOSCOSZTZTZT222222SINSINCOSCOSCOSZTZTZT。则（414）式化为由21SINTJTJEEJT）（，21COSTJTJEET
43、则（414）式的解为其中，1112TJETATA；2COS2SIN21201212120121ZFFJZFB；2SIN2COS22202222202212JZFZFFBCOSCOSCOSCOS2221122113020ZTZTFTTFTUTUTUTUNNNN030000101201202211221102002022COSCOSCOSCOSUUDUDDUUDZTZTFTTFUUDSINSINSINSINCOSCOSCOSCOS22211222211121020020TZFTZFTZFFTZFFUUD）（）（CCEJZFZFFEZFFJZFETACCEJZFEJZFEZFFEZFFETATTUT
44、JTJTJTJTJTJTJTJ02010002010201002SIN2COS2COS2SIN2SIN2SIN2COS2COS,22201222201212120121212012122201221201222201212120121110018即，CCEBEBETATTUTJTJTJ020100211100,（416）将式（416）代入式（415）中右端，展开得（417）式中CC代表前面所有项的共轭。下面展开30U令0201000201002121,TJTJTJTJTJTJEBFEBEEADEBCEBBAEA，则FEDCBAU0，再令FEDYCBAX,，那么2233333033XYYXYXYXFEDCBAU其中2222
