1、人大附中分班考试班第四讲部分答案第四讲 计数问题一. 加法原理与乘法原理例 1.满足下面性质的数称为好数，它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字差不超过 2例如 1346 为好数，3579 为好数，但 1456 就不是好数那么有 四位好数答案：36 例 2.用 3 种颜色把一个 33 的方格表染色，要求相同行和相同列的 3 个格所染的颜色互不相同，一共有_种不同的染色法例 3.+=+，把数字 19 填入上面的方框中，使等式成立每个数字只能填 1 次，一共有多少种不同的填法？例 4.如图，把 A、B、C、D、E 这 5 个部分用 4 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用
2、同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？解析：4322296。例 5.有一种四位数，它与它的逆序四位数和为 9999例如7812+2187=9999，3636+6363=9999 等那么这样的四位数一共有多少个？二. 排列组合例 6.3 个男生，3 个女生排成一排，要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？如果女生也不能相邻，求一共有多少种排法？解析：72。只可能是“男女男女男女”和“女男女男女男”。例 7.从 10 个人中挑出 5 人，求满足下列条件的选法有多少种。(1)A，B 必须入选；(2)A，B 至少有一个人入选；(3)A，B，C 中恰好有一个人入
3、选；(4)A，B，C 不能同时入选。例 8.用数字 1，2 组成一个 8 位数，其中至少有连续 4 位都是数字 1 的有多少个？例 9.从 1、2、3、9 中选取若干互不相同的数字（至少一个），使得其和是 3 的倍数，共有多少种选法？解析：按取出数的个数分类，总共有 175 种取法。例 10.老师要将 20 个相同的苹果分给 3 个小朋友，要求每个小朋友至少分得 3 个苹果，那么共有_种分配方法.三. 计数综合例 11.各位数字之和为 33，而且能够被 33 整除的五位数有多少个？解析：288 个。例 12.例 13.答案 38家庭作业：1.李明家有三人：李明和他爸爸妈妈；大明家有四人：大明、
4、二明和他们的爸爸妈妈；小明家有 5 人：小明和他爸爸妈妈，爷爷奶奶。现在要从他们三家每家选出一人来组成一个小区管理委员会，那么这个小区管理委员会的组成方法有多少种？答案：60。2.支持环保，奥运场馆实行垃圾分类处理每个地方放置 5 个垃圾筒，从左往右依次回收：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造现在准备把 5 个垃圾桶染成红、绿、蓝 3 种颜色之一，要求相邻 2 个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色那么，一共有_种染色方法（32 种）3.图 5 中包含的三角形有多少个？答案：18223123。4.从 19 这 9 个数字中选出 4 个数字，（1）能够凑成多少个被 9 整除的四位数？（
5、2）使其乘积是 9 的倍数，共有多少种选法？解析：336，71。14=336 个数；（1）按余数分类，考虑余数搭配，各类情况总计得 14 种；总计 24（2）按质因数里有几个 3 分类，A 类不含 3，B 类含 1 个 3，C 类含 2 个 3；那么 C 可以任意搭配，两个 B 之间可以搭配，最终算得结果为 71 种5.让 6 个男生和 3 个女生站成一排，要求不能有两个女生挨着，共有_种方法解析：151200重点中学分班考试班第五讲部分答案第 5 讲 行程问题一.简单行程问题这类问题通常是一人(车)的行程问题，主要用行程问题中的三个要素：速度、时间、路程之间的关系解题，找到对应要素直接用公式
6、解即可。【例 1】甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少 ，乙用的时间比甲多 .问甲、乙两人的速度比是多少？二.典型相遇问题这类问题通常是两人(车)反向行进中的问题，条件多为两个人速度和或行程和，而关于每个人条件较少解题时常常利用速度和、时间与路程和的关系计算注意时间是两人共有的条件，通常是两人条件到每个人条件过渡的关键；【例 2】甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，他们相遇时距 A、B 两地中心处 8 千米，已知甲车速度是乙车的 1.2 倍,求 A、B 两地距离【例 3】甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇.他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距
7、A 地 42 千米处相遇，求两次相遇地点的距离。三.典型追及问题这类问题通常是两人(车)同向行进过程中的问题条件多为两个速度差或行程差这类题目的解法与上一类典型相遇问题类似除了注意时间条件的应用外，在追及问题中还要注意追及两人的先后及快慢，尤其在环形跑道路的追及问题中，这样的错误是致命的。【例 4】快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的骑摩托的人。这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑摩托的人。现在知道快车每小时走 72 千米，慢车每小时走 57 千米，那么中车每小时走多少千米？答案：60 千米/小时。快车 6 分钟走的比慢车 12 分钟少走的路程，就是摩
8、托车 6 分钟内走的路程。所以摩托车的速度是(5712726)642 千米/小时。快车 6 分钟追上，所以路程差等于(7242)6603 千米。再看中车追摩托车，时间 10 分钟，所以速度差等于 3(1060)18 千米/小时。因此中车速度等于 18+42=60 千米/小时。【例 5】一头凶猛的非洲狮正在追羚羊，狮子每跑 8 步的路程，羚羊得跑 10 步，但羚羊跑 6 步的时间，狮子只能跑 5 步。狮子能追上羚羊吗？如果一开始羚羊在狮子前方 10 米处，狮子得跑多少米才能最终抓到羊？答案：250 米。相同时间内，狮子跑 5 步，羊跑 6 步，通过扩倍，可以知道狮子跑 40步，羊跑 48 步。而
9、狮子 40 步的路程，相当于羊 50 步的路程，所以相同时间内狮子和羊跑的距离都用羊的步长来衡量，一个是 50 步，另一个就是 48 步。也就是说狮子跑 50 米，羚羊跑 48 米，多跑 2 米。现在需要狮子多跑 10 米才能追上，再扩大五倍，即得狮子跑 250米。【例 6】如图所示，一个跑道的示意图，沿 ACBEA 走一圈是 400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275米，其中 A 到 B 的直线距离是 75 米.甲、乙二人同时从 A 点出发练习长跑，甲沿 ACBDA 的小圈跑，每 100 米用 24 秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑每 100 米用 21 秒，问：（1）乙跑第几圈时第一次与甲
10、相遇？（2）出发多长时间甲、乙再次在 A 点相遇？四.行船问题这类问题通常涉及到顺水与逆水两种情况需要注意顺水船速、逆水船速、静水船速及水流速度之间的关系利用它们之间的关系用比例的方法解题是常用方法之一。【例 7】小明开电动船从 A 码头到 B 码头需要 5 小时，从 B 码头返回 A 码头需要 6 小时，那么小明坐无动力的竹筏从 A 码头漂流到 B 码头需要多少时间？答案：60 小时【例 8】王大伯从甲地顺流坐汽船去乙地用了 3 小时，坐木船从乙地回甲地用了 5 小时。已知水流速度为 1.5 千米/时，汽船速度每小时比木船快 9 千米，那么甲乙之间的距离为多少千米？答案：90 千米。汽船顺流
11、比木船逆流每小时快 12 千米，所以汽船顺流速度为 12 30（千米/时）。五.错车问题 这类问题中通常都有一列具有一定长度及速度的火车(汽车)在不同类型的问题如相遇错车、追及错车、过桥等之中，火车的长度也有不同的意义如行程和、行程差或行程的一部分正确判断火车长度的意义及使用方法是这一类题目的关键；【例 9】两列火车相向而行，甲车 48 千米/小时，乙车 60 千米/小时，两车错车时，甲车上一个乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗 13 秒，求乙车全长多少米？【例 10】客车通过 250 米长的隧道用了 25 秒，通过 210 米长的隧道用了 23 秒，又知道客车的前方有一
12、辆与它行驶方向相同的货车，货车的车身长度为 320 米，速度为每小时 61.2千米问：客车与货车从相遇到离开需要多少时间？点拨：比较题目中前面两个条件，可知客车的速度为每秒 20 米又可以求出客车的长度为 250 米货车的速度为每小时 61.2 千米，也就是每秒 17米客车与货车速度差为每秒钟 3 米于是整个交错的时间为 190 秒六.时钟问题这类问题通常是求时钟的时针、分针满足一定条件时的时间，属于追及问题的一种时钟问题中时针、分针、速度总是一定的以表盘上 60 个格作为路程，则时针每分钟走 格，分针每分钟走 1 格它们的速度差为每分钟 格合理利用这些条件是解题的重点【例 11】8 时到 9
13、 时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等.问这时是 8 点多少分？七.复杂行程问题【例 12】如图 5，在一条直线上有四个车站 ABCD，汽车在 AB、BC、CD 上的速度分别为 30千米/时，40 千米/时，50 千米/时，两两速度一样的汽车甲乙分别从 AB 出发相向而行相遇于 BC 的中点，如果甲晚出发一小时他们将在 B 点相遇，如果甲速减半而乙速不变他们也将在 B 点相遇，求 AD 之间的距离。答案：120 千米，甲从 A 到 B 的时间为乙从 D 到 C 的时间，所以 BC 为 40 千米。【例 13】一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，
14、客车每小时行 32 千米，货车每小时行 40 千米两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地，返回时的速度，客车每小时增加 8 千米，货车每小时减少 5 千米已知两车两次相遇处相距 70 千米，问货车比客车早返回出发地多少小时？答案：此题的关键在于要依次确定如下几个关键点的位置：1.客车与货车第一次相遇时的位置；2.货车调头时客车的位置；3.客车调头时货车的位置；4.客车与货车第二次相遇时的位置下面我们依此思路求解我们设甲、乙两地之间的距离为单位“1”根据题设的客车、货车初始速度，两车第一次相遇时距甲地 ，距乙地 货车调头时，客车已行了全程的 ，当客车行进余下的 全程到达乙地时，货车将距甲地 此
15、时，两车相距全程的 ，客车和货车的速度分别为每小时 40 千米和 35 千米，因此他们第二次相遇时距乙地 于是两相遇点相距全程的 ，而这又相当于 70 千米，故甲、乙两地之间的距离是 千米由于两车从乙地到甲地的速度均为每小时 40 千米，所用时间相等，故货车比客车早返回出发地为 1.35 小时人大附中分班考试班第六讲部分答案第六讲 组合论证及杂题一.抽屉原理【例 1】从任意的 9 个自然数中是否一定能够找到这样的两个数，使得大数减去小数的差是 8 的倍数？解：能够找到这样的两个数，使得大数减去小数的差是 8 的倍数任何一个自然数被 8 除所得到的余数必定为从 0 到 7 这 8 个数中的某一个
16、，将这 9 个自然数按照被 8 除所得的余数进行分类，根据抽屉原理，必然有某一类中至少包含两个数从至少含有两个数的分类中任选出两个数，这两个数被 8 除所得的余数是相同的，所以将这两个数按照大数减小数所得到的差一定是 8 的倍数【例 2】将 110 随意填在右图的 10 个中试说明至少有一行的数字之和不小于 15 ()【例 3】17 个同学参加一次考试，考试为 3 道判断题（答案只有对或错）。每位同学都在答题纸上依次写上了 3 个题目的答案，那么至少有几个同学的答案是一样的？3 个。答题纸上只有 2228 种不同的答案，所以至少有 3 个同学答案一样。二. 统筹与对策【例 4】小明中午要烧一个
17、菜，煮一锅饭，烧 1 壶水。烧菜每道工序的时间如下：切菜 4分钟，准备佐料 4 分钟，烧热锅 2 分钟，烧热油 2 分钟，炒菜 4 分钟。烧水每道工序的时间如下：洗水壶 2 分钟，用火烧水 15 分钟，把开水灌到热水瓶中需要 2 分钟。用电饭锅煮饭的过程如下，淘米 4 分钟，煮饭 18 分钟。小明家的煤气炉同时只能点一个火，那么小明做好这 3 件事情最短需要多少分钟？先洗水壶烧水，共用 2+15+2+2+4=25 分钟。【例 5】【例 6】北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支援外地 4 台，杭州可以支援外地 6 台。现在决定
18、给汉口6 台，重庆 8 台，深圳 6 台。若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”。上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是多少万元？118。三构造与论证【例 7】有四个算式： ； ； ； 。在每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数。那么12 个数中一共有多少个偶数？如果没有条件的限制，在这四个算式中最少有几个偶数，最多有几个偶数？6 个偶数；最少 2 个偶数，最多 12 个偶数。【例 8】能否从 19 这九个自然数中选出七个填入下图的小圆圈中，使得六个小三角形上各数之和是六个连续的 1）自然数；2）偶数？解析：1）否。六个连续的自然数之
19、和为（首项+末项）3，有等式：（首项+末项）3所选的七数之和2+中心圆圈里的数4，所以首项+末项为偶数，但末项和首项的差为 5是奇数，所以填不出。2）否。因为六个连续偶数的平均数是奇数，而且外围互不相邻的三个小圆圈中的数奇偶性相同，那么中心圆圈必填奇数，有等式：六个连续偶数的平均数6=所选的七数之和2+中心圆圈里的数4，得到奇数6=偶数2+奇数4，矛盾！【例 9】一次歌唱比赛共有 6 名选手参加。比赛共有 4 名裁判负责打分，每名裁判给 6 名选手分别打上 1 分到 6 分各一次。已知不同裁判给同一名选手的打分至多相差 2 分，那么总分最低的选手最多可以得到多少分？简答考虑得过 1 分的选手，
20、不可能有四个，因此一定有一个选手至少得了两个 1 分，那么这名选手的总分至多是 8 分。容易构造出总分最低的选手恰好是 8 分的例子。四. 最值问题【例 10】某小学课外活动中，数学兴趣小组中男同学的人数比女同学的两倍少 11 人，语文兴趣小组中女同学的人数比男同学多 21 人。如果两个兴趣小组中的男生人数相等，那么语文小组中的女同学最少要比数学小组中的女同学多多少人？解析：16。从图中可见，两个小组女生的人数差为“1”多 10 人，由于男生人数为“2”少 11 人，所以“1”至少应该等于 6 人。这时两个小组女生的人数差达到了最小，为6+10=16 人。【例 11】黑板上写着 1，2，3，4
21、200 各一个，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数最大是多少？199平均数肯定比 200 小。如果擦去 1 和 3，写上 2 再擦去 2 和 2，仍写上 2，擦去 2 和4，写上 3，再擦去 3 和 5，写上 4；擦去 198 和 200 写上 199。【例 12】在 1 到 6 中选 5 个数填入，使得：（）（）计算出的结果最大，这个最大的结果是多少？644（51）（62）。和一定，差越小乘积越大。五. 逻辑推理【例 13】在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个现在三只盒子上的标签全贴错了你能否仅从一
22、只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球？【例 14】老师写了一个三位数给甲乙丙丁戊五个同学看。甲说：这个数是 27 的倍数；乙说：这个数是 11 的倍数；丙说：这个数的数字之和为 15；丁说：这个数是个平方数；戊说：他是 648000 的约数。老实说：他们中间只有三个人说真话。那么这个数是多少？答案：丙丁矛盾，乙戊矛盾，所以甲是对的，从而丙不对，丁是对的，所以这数是 81 的倍数，如果乙是对的，那么这数是 81121 的倍数不是三位数，所以戊是对的，这个数只能为 814324。课后练习：1. 有 210 张卡片，1 张 1 号，2 张 2 号，3 张 3 号，20 张 20 号
23、，那么至少要从中取出多少张卡片才能保证一定有 7 张号码相同的卡片123456151106。2.哥哥和弟弟两人各有若干元钱，哥哥对弟弟说：“如果我给你 100 元，你的钱数将是我的 5 倍”。弟弟对哥哥说：“如果我给你一些钱，你的钱数将是我的 8 倍”。那么哥哥和弟弟分别最少有多少钱？20。两人的总钱数必须是 6 和 9 的倍数，设两人的总钱数为“18”，两种情况相比哥哥的钱数差为“13”。即“13”=100+若干元，所以“1”最小是 8。3. 用尽可能小的整数乘以 1997，使得乘积里面有连续的 5 个数字是 9。请问这个尽可能小的数是多少？199720033999991。4.从右图的 9 个交叉点中选择若干个点，使得其中任意 4 点都不是某个正方形（其边与原正方形的边平行）的四个顶点，这样的点最多能选择几个？(6 个)5.小刚想了一个四位数，让小明猜。小明问：“是 7538 吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。”小明问：“是 1269 吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。”小明问：“是 3806 吗？”小刚说：“猜对了两个，且位置正确。”小明问：“是 7239 吗？”小刚说：“这回一个都没对。”根据以上信息，写出小刚所写的四位数。5816。
