1、版权所有 :中国好课堂 河池市高级中学 2018 届高三上学期第三次月考 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设 i 时虚数单位，若复数 iiz 1 ，则 z （ ） A i2121 B i211 C i211 D i2121 2.已知集合 043| 2 xxxA ， 50| xxB ，则 BA （ ） A )4,0 B 4,0 C 5,1 D 5,1( 3.设 na 是公比为 q 的等比数列，则 “ 1q ”是 “ na 为递增数列 ”的（ ） A充分而
2、不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.在锐角 ABC 中，内角 CBA , 所对应的边分别为 cba, ，若 bBa 3sin2 ，则角 A 为（ ） A 3 或 32 B 6 C. 32 D 3 5. 函数 )32cos( xy 图像的一个对称中心是（ ） A )0,12( B )0,12( C. )0,6( D )0,3( 6.如图，直线 l 和圆 C ，当 l 从 0l 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀 速转动（转动角度不超过 090 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，这个函数图像大致是（ ） 版权所有 :中国好课堂
3、7.已知 CBA , 是锐角三角形的三个内角，向量 )1,(sin Ap ， )cos,1( Bq ，则 p 和 q 的夹角是（ ） A直角 B锐角 C. 钝角 D不确定 8.函数 )0(2tan)( xxf 的图像与直线 2y 相交，相邻的两个交点距离为 2 ，则 )3(f 的值是（ ） A 3 B 33 C. 1 D 3 9. 已知正数组成的等比数列 na ，若 100183 aa ，那么 147 aa 的最小值为（ ） A 20 B 25 C. 50 D不存在 10. R 上的偶函数 )(xf 满足 )1()1( xfxf ，当 10 x 时， 2)( xxf ，则 |log|)( 5
4、xxfy 的零点个数为（ ） A 4 B 8 C. 5 D 10 11. ABC 中， 090A ， 2AB ， 1AC ，点 QP, 满足 ABAP ， ACAQ )1( ，若2CPBQ ，则 （ ） A 2 B 31 C. 34 D 32 12.已知定义在 R 上的函数 )(xfy 满足：函数 )1( xfy 的图像关于直线 1x 对称，且当)0,(x 时， 0)()( xxfxf （ )( xf 是函数 )(xf 的导函数）成立，若 )21(sin)21(sin fa ，)2(ln)2(ln fb ， )41(lo g)41(lo g 22 fc ，则 cba, 的大小关系是（ ） A
5、cba B bac C. cab D bca 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 yx, 满足 0302xyxyx，则 yxz 2 的最大值为 版权所有 :中国好课堂 14. 若锐角 ABC 的面积为 310 ，且 5AB ， 8AC ，则 BC 15.在等差数列 na 中， 01a ， 01110 aa ，若此数列的前 10 项和 3610S ，前 18 项的和 1218S ，则数列 |na 的前 18 项和 18T 的值是 16.已知函数 0,12 0,2)( xax xexf x（ a 是常数且 0a ），对于下列命题：
6、函数 )(xf 的最小值是 -1； 函 数 )(xf 在 R 上是单调函数； 若 0)( xf 在 ),21 上恒成立，则 a 的取值范围是 1a ； 对任意的 0,0 21 xx 且 21 xx ，恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf . 其中正确命题的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 na 满足 nnnn aaaa 112 （ *Nn ），且 2073 aa ， 1462 aa . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 )1)(1(1 nnn aab ，数列 nb 的前 n 项和
7、为 nS ，求证： 21nS . 18. 2016 年奥运会于 8月 5 日在巴西里约热内卢举行，为了解某单位员工对奥运会的关注情况，对本单位部分员工进行了调查，得到平均每天看奥运会直播时间的茎叶图如下（单位：分钟），若平均每天看奥运会直播不低于 70 分钟的员工可以视为 “关注奥运 ”，否则视为 “不关注奥运 ”. 版权所有 :中国好课堂 （ 1）试完成下面表格，并根据此数据判断是否有 99.5%以上的把握认为是否 “关注奥运会 ”与性别有关？ （ 2）若从参与调查且平均每天观看奥运会时间不低于 110 分钟的员工中抽取 4 人，用 表示抽取的女员工数，求 的分布列和期望值 . 参考公式：
8、 )()()()( 22 dbcadcba bcadnK ，其中 dbn )( 02 kKP 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在三棱锥 ABCP 中， 2BCAC ， 090ACB ，侧面 PAB 为等边三角形，侧棱22PC . （ 1）求证：平面 PAB 平面 ABC ； （ 2）求二面角 CAPB 的余弦值 . 20. 已知椭圆 :C )0(12222 babyax过点 )23,1( ，且离心率 21e . （ 1）求椭圆的方程； 版权所有 :中国好课堂 （ 2）若直线 )0(:
9、kmkxyl 与椭圆交于不同的两点 NM, ，且线段 MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求 k 的取值范围 . 21. 已知函数 )(2)( 2 Rxbaxexf x 的图像在 0x 处的切线为 bxy （ e 为自然对数的底数） . （ 1）求 ba, 的值； （ 2）若 Zk ，且 0)253(21)( 2 kxxxf 对任意 Rx 恒成立，求 k 的最大值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 sincos3yx（ 为参数），以坐标原点 O 为极
10、点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 22)4sin( . （ 1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求 |PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 axx 2log|1|12| （其中 0a ） . （ 1）当 4a 时，求不等式的解集； （ 2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围 . 版权所有 :中国好课堂 参考答案 一、选择题 1-5: ADDDB 6-10: DBACC 11、 12： BB 二、填空题 13. 4 14. 7
11、15. 60 16. 三、解答题 17.（ 1）由 nnn aaa 212 得 na 为等差数列， 设等差数列 na 的公差为 d ， 由 2073 aa ， 1452 aa ，解得： 2d ， 21a ， 数列 na 的通项公式为 nan 2 . （ 2）证明： )12)(12(1)1)(1( 1 nnaabnnn )12112 1(21 nn )12 112 1515131311(21 nnS n )121(21 n 当 *Nn ， 21)12 11(21 nS n . 18.（ 1） 22 列联表如下： 关注奥运 不关注奥运 合计 男性员工 35 10 45 女性员工 12 18 30
12、合计 47 28 75 版权所有 :中国好课堂 则 )()()()( 22 dbcadcba bcadnK 8 7 9.798.106 5 87 2 2 530452847 )10121835(75 2 所以，有 99.5%以上的把握认为是否 “关注奥运会 ”与性别有关 . （ 2）由条件可知， 的可能取值有： 0， 1， 2， 3，且 61)0( 41047 CCP ， 21)1( 4101337 CCCP ， 103)2( 4101327 C CCP ， 301)3( 4103317 CCCP 的分布列为： 0 1 2 3 P 61 21 103 301 女性员工的期望值为： 56301
13、31032211610 E . 19.（ 1）证明：设 AB 中点为 D ，连结 CDPD, ， 因为 BPAP ，所以 ABPD ，又 BCAC ，所以 ABCD . 所以 PDC 就是二面角 CABP 的平面角 090ACB ， 2BCAC ，所以 2 CDBDAD ， 22AB 又 PAB 为正三角形，且 ABPD ，所以 6PD . 因为 22PC ，所以 222 PDCDPC ，所以 090CDP ， 所以平面 PAB 平面 ABC . （ 2）由（ 1）知， DPDBDC , 两两垂直，以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 版权所有 :中国好课堂 )6,0,0(),0,2
14、,0(),0,0,2(),0,0,0( PACD ， 所以 )0,2,2(AC ， )6,0,2( PC ， 设平面 PAC 的法向量为 ),( zyxn ， 00PCnACn，即 062022yxyx，令 1x ，则 1y ， 33z 所以平面 PAC 的一个法向量为 )33,1,1(n ， 易知平面 PAB 的一个法向量为 )0,0,2(DC 所以 721|,c o s DCn DCnDCn二面角 CAPB 为锐角，所以二面角 CAPB 的余弦值为 721 . 20. （ 1）离心率 21e ， 4341122 ab，即 22 34 ab （ 1） 又椭圆过点 )23,1( ，则 14 9
15、1 22 ba ，（ 1）式代入上式，解得： 42a ， 32b ，椭圆方程为 13422 yx（ 2）设 ),(),( 2211 yxNyxM ，弦 MN 的中点 ),( 00 yxA 由 124322 yxmkxy，得： 01248)43( 222 mm k xxk ， 直线 )0(: kmkxyl 与椭圆交于不同的两点， 版权所有 :中国好课堂 0)124)(43(464 2222 mkkm ，即 34 22 km ，（ 1） 由韦达定理得： 221 43 8 kmkxx ， 2221 43 124 kmxx ， 则 20 434 kmkx ， 22200 43 343 4 kmmkm
16、kmkxy ， 直线 AG 的斜率为：22243322481434 433kmkmkmk kmK AG ， 由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： 14332 24 2 kkmk m ，即 kkm 8432，代入（ 1）式， 可得： 34)843( 222 kkk，即 2012k ，则 105k 或 105k . 21.（ 1） baxexf x 2)( 2 ， xexf x 2)( ， 由题意知， bf baf 1)0( 021)0( ， 11ba （ 2）由（ 1）知， 1)( 2 xexf x 0)253(21)( 2 kxxxf 对任意 Rx 恒成立， 012521 2 kxxe x
17、对任意 Rx 恒成立， 12521 2 xxek x 对任意 Rx 恒成立， 令 12521)( 2 xxexh x ，则 25)( xexh x ， 由于 01)( xexh ，所以 )( xh 在 R 上单调递增 版权所有 :中国好课堂 又 023)0( h ， 023)1( eh ， 02)21( 21 eh， 04743147)43( 43 eh所以存在唯一的 )43,21(0x ，使得 0)( 0 xh ，且当 ),( 0xx 时， 0)( xh ， ),( 0 xx 时，0)( xh . 即 )(xh 在 ),( 0x 上单调递减，在 ),( 0x 上单调递增 . 所以 1252
18、1)()( 0200m i n 0 xxexhxh x，又 0)( 0 xh ，即 02500 xex ， 0250 xex )37(211252125)( 02002000 xxxxxxh ， )43,21(0x ， )81,3227()( 0 xh 又因为 12521 2 xxek x 对任意 Rx 恒成立 )( 0xhk ，又 Zk ， 1max k 22.（ 1） 1C 的普通方程为 13 22 yx， 2C 的直角坐标方程为 04yx （ 2）由题意，可设点 P 的直角坐标为 )sin,cos3( ，因为 2C 是直线，所以 |PQ 的最小值即为 P到 2C 的距离 )(d 的最小值 . |2)3s i n (|22 |4s i nc o s3|)( d 当且仅当 )(62 Zkk 时， )(d 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 )21,23( 23. （ 1）不等式的解集为 324| xx
