1、第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符 的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()(ABBABA21解：矢量性为 ()()()abcacb()acb微商性 ()dadbbttt)at由得 ()()()cccBABA()cc B+得 ()() ()()cccccc AB()ABA因 为 上式得 () ()()ccccB令 得2()2()1 AA2.设 是空间坐标 x，y，z 的函数，证明：()()dffuAdu解：()()()()()xyzxyzxyzfufefuefefeedu ()xyzyxzAAduu()()()()()xyzxyzy yx xz yzy yx xz zx y zeAu
2、AAeeedddAAuuuez y 3.设222()()()rxyz为原点 x到场点 的距离， r的方向规定为从原点指向场点。 证明下列结果，并体会对原变数求微商（xyzee）与对场变数求微商 （ xyz）的关系 33331, ,0,0,()rrrr r（最后一式在 r=0 点不成立，见第二章第五节） 求 ,(),(),sin()aEk。及 sin)Ek。，其中 ,ak及E。均为常矢量。解： 222222222()()()()()()xyzx yzrreexyexzzeyzr 222222222()()()xyzy zreeyzeexxyzr2311()()()xyzxyzeerrrr 231
3、1()()()1xyzxyzeerrrr33441()10rrrr323431()1()0rrrr3 34331()1()()00()rrrr ()()3xyz0xyzeerz()xyzxyzzaarraee()()()(0)xyzxyzarrarrraa sin()si()i ()cos()(xyzyxyzozEkrkrEkkEk。 。 。 。 )()(cos()cs)xoyzxyzkEkkr。in(si()cos)cocos()()xxyyzzzkkrreekreEEkE。 。 。 。4. 4. 应用高斯定理证明 VSdfdfA 应用斯托克斯（Stokes）定理证明 SL解：()()SVd
4、fcfdcASVff ()LSSdccdALA5. 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ()(,)VPtxtd利用电荷守恒定律 0Jt证明 P的变化率为 (,)VdPxtdt解： (,)()VVtxdJxtdJ ()SVxdA取被积区域大于电荷系统的区域，即 V 的边界 S 上的 (,)0Jxt，则0.(,)SVJdPxtdt。 6. 若 m是常矢量，证明除 R=0 点以外矢量 3mRA的旋度等于标量 3mR的梯度的负值，即 (0)AR,其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。解： 33333()()()()(0()RmRmRm上 式7. 有一内外半径分别为 1r和 2的空心介
5、质球，介质的电容率为 ，使介质内均匀带静止自由电荷 f，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。解：对空间做高斯面，由： EdSQA23321144()I frr312312)(fIfIrEr对空间：做高斯面，由 DdSA23314()frrE312)fr对空间: 做高斯面，由 240rE 由 0DP3310122()()f frrPr301()()frP3010()()3(ff fr 2r时,由边值条件: 21nP(由 1 指向 2)243201321022130121)(),()()()nfffPnfrrrrrr8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自
6、由电流 ，导体的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。解：由IldBL0所以 fI Jrr2102所以 fIrB21方向为 J rrfI21202对区域由 IldHLJrr212方向为 rJ rJHBf2121对区域有: 0rB(2) (2) 由 M0H0rJrZ2120由 MJZZZ ZZ ZZZZZM JJrJrrr JJ rrrr JJr rJrJ 11203112121 21202120 1240420 1310 20010 由 12HntDHfZ同理 12MMJ由 0B得 102002102102102101Mr fff ffnBrJrnrJrJnr 2120()fJr11002101()Mr fnBrJrr 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 p总是等于体自由电荷密度 f的0(1)倍。即：0(1)pf解：由均匀介质有 0PE f 由得 0DP两边求散度 0由得0ffP(1)fP
