1、排列组合例题讲解 1例 1某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒 ，则不同的选购方式共有( )(A) 5 种 (B) 6 种 (C) 7 种 (D) 8 种解法一 记购买的软件数为 x，磁盘数为 y，依题意当 x3 时，y2，3，4；当 x4 时，y2，3；当x5 时，y2；当 x6 时， y2.上述的不等式组共有 7组解，故不同的选购方式共有 7 种，选 C解法二 依题意，( x，y )是在坐标平面上，位于三条直线L1：x3，L 2： y2，L 3：60 x70y=500 围成的三角形
2、的边界及内部的点(坐标均为整数的点)，如图 7 2 1，这样的点共有 7 个，故选 C评述 这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数事实上，两种解法最终都采用了穷举法这是解决计数问题的基本方法之一例 2在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一 如表格所示，用表示种植作物的地垄， 表示未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有 6 种，由于 A、B 是两种作物，故不同的种植方法共有 12 种解法
3、二 选垄方法可分为三类：第一类间隔为 6 垄，有 1 8，2 9，3 10 三种选法；第二类间隔为 7 垄，有 1 9，2 10两种选法；第三类间隔为 8 垄，只有 1 10 x,yZx3,y260x70y500种选法，故选垄方法共 6 种，种植方法共 12 种评述 这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原理和乘法原理若将例 1 和例 2 判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求解例 37 人排成一行，分别求出符合下列
4、要求的不同排法的种数(1)甲排中间；(2)甲不排在两端；(3)甲、乙相邻；(4)甲在乙的左边(不一定相邻 )；(5)甲、乙、丙两两不相邻解：(1)甲排中间，其余 6 人任意排列，故共有 720 种不同排法6P(2)若甲排在左端或右端，各有 种排法，故甲不排在两端共有 3600 种不6 672P同排法(3)法一：先由甲与除乙以外的 5 人( 共 6 人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有 1440 种不同排法6P12法二：先将甲、乙合成为一个“元素” ，连同其余 5 人共 6 个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有 1440 种不同排法612P(4)在 7 人排成一行形成
5、的 种排法中， “甲左乙右”与“ 甲右乙左”的排法是一一对7应的( 其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有 2520 种不同解法721P(5)先由除甲、乙、丙以外的 4 人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个 “空” ，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空” ，每“空”1 人，故共有 1440 种不同的排354法评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等例 4用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：(1)5 的倍数；(2)比 20300 大的数；(3)不含数字 0，且 1，2
6、 不相邻的数解：(1)5 的倍数可分为两类：个位数的位置上的数字是 0 或 5，个位数字是 0 的五位数有 个；45P个位数字是 5 的五位数有 4 个；3故 5 的倍数共有 4 216 个(2)比 20300 大的五位数可分为三类：第一类：3，4，5；有 3 个；45P第二类：21，23，24，25，有 4 个；3第三类：203，204，205，有 3 个2故比 20300 大的五位数共有 3 4 3 474 个5P(3)组成不含数字 0，且 1，2 不相邻的数可分为两步，第一步：将 3，4，5 三个数字排成一行；第二步：将 1，2 插入第一步所形成四个“空”中的两个“空” ，故共有72 个
7、3P24评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题例 5 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同取法共有( )(A) 150 种 (B) 147 种 (C) 144 种 (D) 141 种分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法解 在 10 个点中任取 4 点，有 种取法，取出410C的 4 点共面有三类(如图 7 2 3)第一类：
8、共四面体的某一个面，有 4 种取法；6C第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面 ABE，有 6 种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面 EFGM，共有 3 个故取 4 个不共面的点的不同取法共有 (4 63)141(种)410C4因此选 D评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等例 6 (1)设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号
9、相同，这样的投放方法的总数为 ；(2)四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种解(1)第一步：投放 2 个球，使其编号与盒子编号相同，有 种投法；第二步：投入25C其余 3 个球，以第一步的投法是 1，2 号球投入 1，2 号盒子内为例，其余 3 个球由于不能再出现球号与盒号相同的投法，如框图所示有 2 种投法 3 4 5 3 4 5综上可知，符合题意的投放方法共有 220 种25C(2)第一步：取出两个小球( 种取法) 合成一个“元素” ，与另外两个球合成三个“元24素” ；第二步：将 3 个元素放入 4 个盒中的 3 个盒子，每个盒子放一个元素，形成一个空盒( 种放法 )，故符合题意的放法共有 144 种34P2C4P评述 这是一组具有一定综合性的计数问题，应当注意，第(1) 题如果判定第二步余下3 球可任意放入余下 3 个盒子，列出 的算式，就会出错253
