1、习题 7.11.设 X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：.0,1),(/xexfX为未知参数, . 现得样本值为 168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 0212, 252,试求未知参数 的矩估计值.2. 设总体 X 的概率分布为 22)1(31kPX其中 为未知参数.现抽得一个样本 求 的矩估计值和极大似然 ,31xx估计值.3. 设总体 X 具有概率概率密度 其 他,0),(1exf其中 为未知参数. 是来自总体 X 的样本, 求 的矩估计量和nX,21 极大似然估计量.4.设 ， 是取自总体 的一个样本，试求参数 的极大),1(pb
2、X, p似然估计.5. 设总体 的数学期望和方差分别为 和 ， 为来自总体的221,3的样本，对于参数 的三个估计量3216563X253213问它们中那些是无偏估计量，哪一个更有效？6.设总体 X 的 k 阶矩 存在, 又设 是 X 的一个样本. )1(kXEk nX,21试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩 是 k 阶总体矩 的无偏niikAk估计量.7. 为了估计湖中有多少条鱼，特从湖中捞出 1000 条鱼，标上记号后又放回湖中，然后再捞出 150 条鱼，发现其中 10 条鱼带有已给的记号，问在湖中有多少条鱼，才能使 150 条鱼中出现 10 条有记号的鱼概率为最大？8. 设 为总
3、体 X 的样本，欲使 为 的无),21nX（ 212)(iniiXk偏估计，问 应取什么值？k9.设分别自总体 和 中抽取容量为 的两独立样本.其样),(21N),(221,n本方差分别为 . 试证, 对于任意常数 都是 的无偏21S 21),(, bSaZba2估计, 并确定常数 使 达到最小.ba)(ZD10.设 是取自总体 X 的样本, 且 存在, 则nX, kXD.,nk为 的相合估计量, niki1)(kE.,21nk习题 7.21. 为考虑某种香烟的尼古丁含量(以 mg 计), 抽取了 8 支香烟并测得尼古丁的平均含量为 设该香烟尼古丁含量 . 试求 的置信区间, 置.260x )
4、32,(NX信度为 0.95.2. 从一批灯泡中随机地抽取 10 只作寿命(单位:h)试验, 计算得 147x已知这批灯泡寿命 求平均寿命 的置信度为 95%的单侧置信下限.),8(NX3.某总体的标准差 ，从中抽取 100 个个体，其样本平均数cm10，试给出总体期望值 的 95%的置信上、下限（即置信区间的上、cm50x下限）.4.对方差 为已知的正态总体来说，问需取容量 n 为多大的样本，方使总2体均值 的置信水平为 100（1-a）%的置信区间长不大于定值 L.习题 7.31.已知来自容量 的正态总体 的一个样本，其样本均值 ，49n)3.7,(2N8.2x试对总体的均值作区间估计（
5、）052.设轴承内环锻压零件的平均高度 现抽出了 20 只环，测得其平），（ 24.X均高度的算术平均值 ，求内环平均高度的 95%置信区间.m3.2x3. 随机地从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为2.14 2.13 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11若钉长分布为正态的，试对下面情况分别切除总体期望 的置信度为 0.9 的置信区间；（1）已知 ；（2） 未知. c01.4. 某大学英语测验，抽得 20 个学生的分数平均数 ，样本方差 ，72x162s假设分数服从正态分布，求
6、 的置信度为 98%的置信区间.25.为考察某城市成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为 25 的一样本, 并测得样本均值 样本标准差 . 假定所论胆固醇水平 与,186x1s ),(2NX均未知. 试分别求出 以及 的 90%置信区间. 26. 测量铝的比重 16 次，测得 ，试求出铝的比重置信水平为029,75x95%的置信区间，设这 16 次测量结果可以看作来自同一正态总体.分别求出总体均值 和方差 的置信水平为 95%的置信区间.27.为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择 5 块地段，在各地段按两种方案试验作物，得到单位面积产量如下：（单位：kg
7、）方案 I 87 56 93 93 75方案 II 79 58 91 82 74若两种产量都服从正态分布，且有相同的方差，问按 95%的置信度，两种方案的平均产量的差在什么范围内？8. 随机地从 A 中导线中抽取 4 根，并从 B 中导线中抽取 5 根，测得其电阻为）（ A 种导线 0.143 0.142 0.143 0.147B 种导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测试数据分别服从正态分布 和 ，并且它们相互独立，),(21N),(2已知，等于 ，但 均未知，试求 的置信水平为 0.95 的置2205.221信区间.9. 有两台机器生产同一种零件，分别抽取 6
8、 件和 5 件测量其尺寸（单位：cm ）如下：第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8第二台机器：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8已知零件尺寸服从正态分布，问若取置信度为 0.90，两台机器加工精度（标准差）之比应在什么范围内.10 设两位化验员 A、B 独立地对某种聚合物的含氮量用相同的方法分别作了 18次、13 次测定，测得的数据经计算得样本方差依次为为 0.34， 0.29，2As2Bs设 和 分别是 A、B 两化验员测量数据的总体的方差，且总体服从正态分2AB布，求方差比 的置信度为 95%的置信区间.2/习题 7.41. 为估计一批产品的一等品率，从中抽取 1
9、00 件进行检验，发现 60 件一等品，若取 ，试求 p 的置信区间.05.2.某射手对一快速移动靶射击 100 次，结果有 8 次命中，试求这名射手命中率 p 的 95%的置信区间.3.设总体 ，抽取容量为 100 的样本，已知样本均值 =4，求总体)(X x均值 的置信度为 98%的置信区间.4.从一大批灯泡中任意抽取 100 只，测得它们的使用寿命并计算得样本均值 ，假设灯泡的使用寿命服从指数分布 ，求参数 的置信度为)(20hx )(E95%的置信区间.总习题七A 组一、填空题1.设总体 X 具有区间0 ， 上的均匀分布（0 ） ，x 1，x 2，x n 是来自该总体的样本，则 的矩估
10、计 =_.答案： x22设总体 X 的概率密度为 ,x1，x 2，x n 为总体 X 的一个0,)(exfx样本，则未知参数 的矩估计 =_.答案： x13设总体 , 为来自 X 的样本，则当常数)(2NX321x，=_时， 是未知参数 的无偏估计.a 3214xax答案：1/44. 若由总体 F(x， )（ 为未知参数）的样本观察值求得P（35.50 ） ，x 1, x2, , xn 是来自该总体的样本， 为样本均值，则 的矩估计 =（ ）x A B xC D2x 21答案：B3设总体 为来自总体 的样本， 均未知，则nXNX,),(212X2,的无偏估计是（ ）2A BniiX12)( n
11、iiX12)(C DniiX12)( niiX12)(答案：A4. 设 0，1，0，1，1，为来自两点分布总体 的样本观察值，则 p 的），（ pB矩估计量为（ ）A. 1/5 B. 2/5 C. 3/5 D. 4/5答案;C5. 无论 是否已知，正态总体均值 的置信区间的中心都是（ ）2A. B. C. D. 2X2S答案;C6. 当 未知时，正态总体均值 的置信度为 的置信区间的长度是样本21方差 S 的（ ）倍.A. B. C. D. nta12/nta 2/ntSa 1nS答案：B7.设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知。现从中随),(2N2,机抽取 16 个零件，测得样本均值
12、 ，样本标准差 s=1(cm)，则 的置0cmx信度为 0.90 的置信区间是（ ）A、 ).16(420),16(420(5.5. ttB、 .C、 ).(),(05.05. ttD、 142142.答案：C三、解答题1. 设总体密度函数为 ，求参数 矩估计量和极大10)();xxf似然估计量.解 （1）数学期望是一阶原点矩= = ,dxXE10)()( dx10)(2其样本矩为，21X从而 的矩估计量为 .1（2）对于总体 X 的样本值 ，其似然函数为nx,21 ),(,0)()1)( ixLiini 其 他当 且时 ,0)2(0Lnixi niiii xdxnL11 ll,ll 令 解得
13、 的极大似然估计量为0ld )ln(1maxnX2. 设 服从区间 上均匀分布，这里 是两个未知参数，若Xb, b,（不全相等）是 的样本值，试求出 的极大似然估计量.nx,21 a,3. 用极大似然估计集合分布,21,)()(kpkP中的未知参数 .p4. 从一批电容器中随机抽取 10 个测得其电容值（单位： F）为：102.5 103.5 103.5 104.5 105.0105.5 105.5 106.0 106.5 107.5设电容值服从正态分布 .），（ 2N（1） 若一直 ，求 的单侧 90%置信下限；42（2） 求 的单侧 90%置信上限.5.设某种电子管的使用寿命服从正态分布，
14、从中随机抽取 15 个进行检验，得平均使用寿命为 1950 小时，标准差 s 为 300 小时，以 95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信区间.6. 设来自总体 的一容量为 15 的样本，其样本均值 ；来自），（ 16N 6.14x总体 的一容量为 20 的样本，其样本均值 ；并且两样本是相互），（ 92 2.13x独立的，试求 的 90%的置信区间.217. 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的 31 个温度数据及旧电炉的 25 个温度数据, 并计算得样本方差分别为及 . 设新电炉的温度 , 旧电炉的温度 . 试7521S102 )(21NX),(2
15、NY求 的 95%置信区间./四、证明题1. 设 是参数 的无偏估计，且有 ，试证明：用 估计 不是无偏 0D22的.2. 已知正态总体的数学期望 EX=a，试证估计量212)(aXnSii是 的一致无偏估计，其中 是来自正态总体 的一个样本.2),2n（ ),(2aN（B 组 )1. 设总体 X 的概率密度为 0,0,),(1xeaxfx其中 是已知常数。试根据来自总体 X 的简单随机样本0,0是 未 知 参 数，求 的最大似然估计量 .nX,21 解：由题设知，似然函数为 nixneLi1)(iinixnL11l)(ll)(l 令 0l1nid解得 的最大似然估计量nix12. 设 0.5
16、1, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值。已知Y=lnX 服从正态分布 。)1,(N（1） 求 X 的数学期望 EX（记 EX 为 b） ；（2） 求 的置信度为 0.95 的置信区间；（3） 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间.解：（1）Y 的概率密度为 ，依题意2(1)(）yeyf YeXdeEXbxyY2)()( 21)1(2212dyy（2）因为 Y=lnX 服从正态分布 ，求 的置信度为 0.95 的置信区间属于)1,(N一个正态总体方差已知的类型，其置信区间为 ),22uny（ 0)ln8.l25.1ln.0(l4,1,96.2 y
17、nu因此 的置信度为 0.95 的置信区间为(-0.98, 0.98)（3）由函数 的严格递增性，可见 ，其置信区间应该是xe21ueb),(48.1.0e3. 设总体 X 的概率密度为 其 他,01)1()xxf其中 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机n,.121是 未 知 参 数样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量.解 （1）数学期望是一阶原点矩= = ,dxXE10)()( dx10)(2其样本矩为，2从而 的矩估计量为 .X1（2）对于总体 X 的样本值 ，其似然函数为nx,21),21(,0)()1)( nixLiini 其 他当 且时 ,0)2(0Lnixi niiii xdxnL11 ll,ll 令 解得 的极大似然估计量为0ld )ln(1maxnX4. 设总体 X 的概率密度为 其 他）（ ,0)(63xxf是取自总体 X 的简单随机样本。nX,21（1） 求 的矩估计量 ；（2） 求 D（ ）.解：（1） 032)(6)()( dxdxfXE2记 nii1令 ，得 的矩估计量X2X2（2）由于 0322 )(6)()( dxdxfE206)()() 222 XXD所以 的方差为nD5)(4)()2() 25. 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
