1、xyO223122(第 8 题)南京市 20122013 学年度第一学期期末调研试卷高一数学参考答案及评分标准 2013.01说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分1已知集合 A0
2、，2，B 1，2，3 ，则 AB 2 2计算：sin( ) 1743函数 f(x)lgx 的定义域是 xx0，且 x2 3x 24已知角 的终边经过点 P(3，4)，则 sin2cos 的值是 2 5计算：2lg5lg4 2 6已知向量 a，b 满足：|a| 1，|b|2，a(ab)2，则 a 与 b 的夹角是 60 7已知 alog 32,blog 45,clog 30.3，则 a，b，c 的大小关系是 cab （用“”连接） 8函数 yAsin( x )(A0， 0，| | )的图象如右图所示，则该函数的解析式为 y 2sin(2x ) 69已知向量 e1 和 e2 为两个不共线的向量，a
3、e 1e 2，b2e 1e 2，ce 12e 2，以 a，b 为基底表示 c，则 c a b 53 1310给出下列四个函数：ytanx； yx 3；y x 21；y sinx其中既是奇函数，又在区间(0，1) 上为单调递减的函数是 (写出所有满足条件的函数的序号)11已知 为第三象限角，且 2，则 的值为 1cos sin cossin 2cos 1412已知函数 f(x) 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是 (0，1) 13定义 adbc已知函数 f(x) ，x ， ，|abcd| 2 2若 f(x)的最大值与最小值的和为 ，则实数 m 的值是 1
4、 3 314已知函数 f(x)a(xa)( x2a1) ，g(x)2 x4 满足条件：对任意 xR ， “f(x)0”与“g(x )0”中至少有一个成立，则实数 a 的取值范围是 (2，0)二、解答题：本大题共 6 小题，共 58 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 8 分）设 x，yR，向量 a(x，2) ，b(4，y)，c(1，2) ，且 ac，bc（1）求 x，y 的值；（2）求ab的值15解 （1）由 ac，得 ac0即 x12(2)0，所以 x4 2 分由 bc，得 4(2)y 10，所以 y8 4 分（2）因为 a(4，2)，b(
5、4，8) ，所以 ab(8，6)， 6 分所以ab 10 8 分82 ( 6)216 （本小题满分 10 分）已知 2sin25cos( )4求下列各式的值：（1）sin( )；（2）tan( )216解（1）由条件得 2(1cos 2)5cos 4，即 2cos25cos 20 2 分所以(2cos 1)(cos 2) 0因为 cos2，所以 cos 12所以 sin( )cos 5 分2 12（2）cos 0，所以 为第一象限或第四象限角12当 为第一象限角，sin ，1 cos2tan( )tan ； 8 分sincos 3当 为第四象限角，sin ，1 cos2tan( )tan 10
6、 分sincos 317 （本小题满分 10 分）经市场调查，某农产品在过去 20 天的日销售量和价格均为销售时间 t（天）的函数，且日销售量近似地满足 f(t)2t 70（1t20，t N ） ，前 10 天价格近似地满足g(t) t10（1t10，tN） ，后 10 天价格近似地满足 g(t)15（11t20，tN） 12（1）写出该农产品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系；（2）求日销售额 S 的最大值17解（1）根据题意，得 S 5 分（2）当 1t10，tN 时， S(t )2 ，152 30254所以当 t7 或 8 时，S 的最大值为 756； 7 分当 11t20，tN
7、时，S 30t 1050 为减函数，所以当 t11 时，S 的最大值为 720 因为 756720，所以当 t7 或 8 时，日销售额 S 有最大值 756 10 分18 （本小题满分 10 分）已知函数 f(x)2sin(2x ) 3xyO766256512 3(第 18 题)（1）求 f(x)的最小值及 f(x)取到最小值时自变量 x 的集合；（2）指出函数 yf( x)的图象可以由 ysin x 的图象经过哪些变换得到；（3）当 x0 ，m时，函数 yf (x)的值域为 ，2，求实数 m 的取值范围318解 （1）y min2 此时 2x 2 k ，即 xk ，kZ ，3 2 12即此时
8、自变量 x 的集合是 xxk ，kZ 3 分12（2）把 ysinx 图象向右平移 ，得到函数 ysin(x )的图象； 3 3再把函数 ysin(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，3 12得到函数 ysin(2x )的图象； 3最后再把函数 ysin(2x )的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，3得到函数 y2sin(2x )的图象 6 分3（3）如图，因为当 x0 ，m 时，y 取到最大值 2，所以 m 8 分512又函数 yf(x) 在 ， 上是单调减函数，512 1112故 m 的最大值为 ， 内使函数值为 的值512 1112 3令 2sin(2
9、x ) ， 得 x 3 3 56所以 m 的取值范围是 ， 10 分512 5619 （本小题满分 10 分）如图，在ABC 中，已知 CA2，CB 3，ACB 60 ，CH 为 AB 边上的高 （1）求 ；（2）设 m n ，其中 m，nR，求 m，n 的值 AB BC CH CB CA19解（1）设 a， b，因为 ab， CB CA AB CB CA所以 (a b)(a)a 2ab932cos606 3 分 AB BC（2）因为 A，H，B 三点共线，所以设 (ab)， AH AB所以 b (ab) a(1 ) b 6 分 CH CA AH因为 ，所以 0 CH AB CH AB所以 a
10、(1 ) b (ab)0即 a2(1 ) b2(12 )ab0 因为 a29，b 24，ab3，代入上式，解得 17所以 a b，即 m ，n 10 分 CH 17 67 17 6720 （本小题满分 10 分）已知函数 f(x)=x24k| x2|（1）若函数 yf( x)为偶函数，求 k 的值；（2）求函数 yf( x)在区间0，4 上的最大值；（3）若函数 yf( x)有且仅有一个零点，求实数 k 的取值范围20解（1）因为 yf( x)为偶函数，所以 f(1)f(1)，解得 k0， 经检验 k0 符合题意 2 分（2）方法一：当 x0 ，2时，f(x)x 2kx 2k4，对称轴方程为
11、x ，k2当 1 时，即 k2，则 f(x)maxf (2)0；k2C ABH(第 19 题)当 1 时，即 k2，则 f(x)maxf (0)2k4； 3 分k2当 x2 ，4时，f(x)x 2kx 2k4，对称轴方程为 x ，k2当 3 时，即 k6，则 f(x)maxf (4)122k；k2当 3 时，即 k6，则 f(x)maxf (2)0； 4 分k2因为当 k6 时，f( x)max f(2)0；当2k6 时，因为 f(4)0，所以 f (x)max122k；当 k2 时，f(4) f(0)，所以 f (x)max122k，综上，当 k6 时，所求最大值为 122k；当 k6 时，
12、所求最大值为 06 分方法二：当 x0 ，4时，f(x) x2 kx 2k 4， 0 x 2，x2 kx 2k 4， 2 x 4 )因为 yf( x)在区间0 ，4 上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，所以其最大值只可能是 f(0)、 f(2)、 f(4)其中之一 4 分又 f(0)2k 4， f(2)0， f(4)122k，显然 f(4)f(0) ，所以当 k6 时，所求最大值为 f(4)122k ；当 k6 时，所求最大值为 f(2)06 分（3）由题意，方程 x24k| x2|0 有且仅有一个解，显然，x2 已是该方程的解 8 分当 x2 时，方程变为( x2)( x2k)0；当 x2 时，方程变为( x2)( x2k)0从而关于 x 的方程 x2k 0(x2) 有且仅有一个等于 2 的解或无解，且 x2k0(x 2) 无解又 x2 时，k4，此时 x 6 也是方程的解，不合题意所以关于 x 的方程 x2k 0(x2) 无解，且 x2k 0(x2) 无解 所以 k4 且 k4所以 k4，即实数 k 的取值范围为(，4. 10 分
