1、- 1 -五年级奥数第 1 讲数字迷（一） 第 16 讲 巧算 24第 2 讲 数字谜(二) 第 17 讲 位置原则第 3 讲 定义新运算(一) 第 18 讲 最大最小第 4 讲 定义新运算(二) 第 19 讲 图形的分割与拼接第 5 讲 数的整除性(一) 第 20 讲 多边形的面积第 6 讲 数的整除性(二) 第 21 讲 用等量代换求面积第 7 讲 奇偶性（一） 第 22 用割补法求面积第 8 讲 奇偶性（二） 第 23 讲 列方程解应用题第 9 讲 奇偶性（三） 第 24 讲 行程问题（一） 第 10 讲 质数与合数 第 25 讲 行程问题（二）第 11 讲 分解质因数 第 26 讲 行
2、程问题（三）第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一） 第 27 讲 逻辑问题（一） 第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二） 第 28 讲 逻辑问题（二） 第 14 讲 余数问题 第 29 讲 抽屉原理(一) 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 第 30 讲 抽屉原理(二)- 2 -第 1 讲 数字谜（一）例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被 573 整除。例 4 已知六位数
3、3344 是 89 的倍数，求这个六位数。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。 FORTYTEN+ TEN SIXTY例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。练习 11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1） A B (2) A B A B+ B C A - A C A A
4、B C B A A C3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.8。5.将 19 分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。7.已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。- 3 -第 2 讲 数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 8 1 例 3 左下方的除法竖式中只有一个 8，请在内填入适当的
5、数字，使除法竖式成立。8 ) 0例 4 在内填入适当数字，使小数除法竖式成立。例 4 图 例 5 图例 5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式（2），求这个五位数。练习 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出 abcd 及 abcxyz(1)1abcd3=abcd5 (2)7abcxyz=6xyzabc2.用代数方法求解下列竖式： 3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0- 4 -第 3 讲 定义新运算（一）例 1 对于任意数 a，b，定义运算“*
6、”： a*b=ab-a-b。求 12*4 的值。例 2 已知 ab 表示 a 的 3 倍减去 b 的 ，例如 根据以上的规定，求21106 的值3，x=2，求 x 的值。例 6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。例如 4！=1234。那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？例 7 如果 m，n 表示两个数，那么规定：mn=4n-（m+n）2。 求 3（46）12 的值。练习 31.对于任意的两个数 a 和 b，规定 a*b=3a-b3。求 8*9 的值。2.已知 a b 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，求 13 4 的值。3.已知 a b 表示（a-b）（a+b），试计算：（
7、5 3） （10 6）。4.规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。5.假定 mn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍，即 mn=3m-2n。（2）已知 x（41）=7，求 x 的值。7.对于任意的两个数 P， Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知 x（85）=10，求 x 的值。8.定义： ab=ab-3b，a b=4a-b/a。计算：（43）（2 b）。9.已知： 2 3=234，4 5=45678，求（4 4）（3 3）的值。- 5 -第 4 讲 定义新运算（二）例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b），求 92 的值
8、。例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中 a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知 52=73。问：85 与 58 的值相等吗？（2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？例 3 对两个自然数 a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为 ab，即 ab=a，b-（a，b）。比如，10 和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2，那么 1014=70-2=68。（1）求 1221 的值；（2）已知 6x=27，求 x 的值。例 4 a 表示顺时针旋转 90，b 表示顺时针旋转 180，
9、c 表示逆时针旋转 90，d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc ；ca。例 5 对任意的数 a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求 f（5）-g（3）的值；（2）求 f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。练习 42.定义两种运算“”和“”如下： ab 表示 a，b 两数中较小的数的 3 倍， ab 表示a，b 两数中较大的数的 2.5 倍。 比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。4.设 m，n 是任意的自然数，A 是常数，定
10、义运算 mn=（Am-n）4，并且 23=0.75。试确定常数 A，并计算：（57）（22）（32）。5.用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转240，b 表示顺时针旋转 120，c 表示不旋转。 运算“”表示“接着做”。试以 a，b，c为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数 a 和 b，较大的数除以较小的数，余数记为 a b。比如7 3=1，5 29=4，4 20=0。（1）计算：1998 2000，（5 19） 19，5 （19 5）；（2）已知 11 x=4，x 小于 20，求 x 的值。7.对于任意的自然数 a，b，定义：f
11、（a）=aa-1，g（b）=b2+1。- 6 -（1）求 f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。第 5 讲 数的整除性（一）1. 整除的定义、性质.定义：如果 a、 b、 c 是整数并且 ， 则称 a 能被 b 整除或者 b 能b0b=ca整除 a，记做 ，否则称为 a 不能被 b 整除或者 b 不能整除 a，记做 b| a.b2、性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互
12、质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。整除的数的特征1、被 2 整除特征：个位上是 0,2,4,6,8 2、 被 5 整除特征：个位上是 5,03、 能被 3 或 9 整除的数的特征是：各个数位的数字之和是 3 或 9 的倍数4、被 4、25 整除的数的特征：一个数的末 2 位能被 4、25 整除5、被 8、125 整除的数的特征：一个数的末 3 位能被 8、125 整除6、被 7 整除的数的特征 ：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数
13、的 2 倍,如果差是 7 的倍数,则原数能被 7 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。7、能被 11 整除的数的特征 ： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是 11 的倍数(包括 0),那么,原来这个数就一定能被 11 整除。 例如：判断 491678 能不能被 11 整除。 奇位数字的和 9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678 能被 11 整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 8、能被 13 整除的数的特征 ：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍，如果和
14、是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断 1284322 能不能被 13 整除。 128432+24=128440 12844+04=12844 1284+44=1300 130013=100 所以，1284322 能被 13 整除。 9、被 7、11、13 整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数小数）能被 7、11、13 整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断 556584 能不能被 7 整除 末三位 584 末三位之前的数 556， 584-556=28 28 能被 7 整除，所以 556584 能被
15、7 整除10、能被 17 整除的数的特征 : 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。11、能被 19 整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果和是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被 9，25 和 8 整除。例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？例 3 有四个数：76550
16、，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被 12 整除？例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？例 5 能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？练习 51.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？2.如果两个数的和是 64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的差是多少？- 7 -3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被 9，11，6 整除。”问：数学老
17、师先后填入的 3 个数字之和是多少4、用 16 六个数字组成一个六位数 abcdef 期中不同的字母代表 1-6 中不同的数字。要求 ab 能被2 整除，abc 能被 3 整除，abcd 能被 4 整除，abcde 是 5 的倍数，abcdef 是 6 的倍数。这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是 90 分，总分 A95B,这个班有多少名学生？ 6.能不能将从 1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？第 6 讲 数的整除性（二）特殊的数1001。因为 1001=71113，所以凡是 1001 的整数倍的数都能被 7，11 和 1
18、3 整除。例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？例 3 已知 108971 能被 13 整除，求中的数。例 4 说明 12 位数 abbaabbaabba 一定是 3、7、13 的倍数。例 5 如果 41 位数 555999 能被 7 整除，那么中间方格内的数字是几？ 20 个 20 个 判断一个数能否被 27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么这个数一定能被 27（或 37）整除；否则，这个数就不能被 27（或 37）整除。例 6 判断下列各数能否被
19、 27 或 37 整除：（1）2673135；（2）8990615496。判断一个数能否被个位是 9 的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是 9 的数记为 k9（= 10k+9），其中 k 为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于 k9，那么这个数能被 k9 整除；否则，这个数就不能被 k9 整除。例 7 （1）判断 18937 能否被 29 整除； （2）判断 296416 与 37289 能否被 59 整除。练习 61.下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205， 167128， 250894
20、， 396500， 675696， 796842， 805532， 75778885。2.六位数 17562 是 13 的倍数。中的数字是几？ 3、已知七位数 132A679 是 7 的倍数，求A？4、六位数 ababab 能否被 7 和 13 整除？ 5、12 位数 aabbaabbaabb 能否被 7 和 13 整除？- 8 -6、333888 能被 13 整除，求中间中的数？20 个 20 个7.九位数 87654321 能被 21 整除，求中间中的数。8.在下列各数中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11
21、159126，131313555，266117778。9.在下列各数中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119， 55537， 62899， 71258， 186637，872231，5381717。第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差 1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为
22、 2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整除，所以奇数可以表示为 2n+1 的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，
23、那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为（2n） 2=4n2=4n2，所以（2n） 2能被 4 整除；因为（2n+1） 2=4n2+4n+1=4（n 2+n）+1，所以（2n+1） 2除以 4 余 1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括 1 和这个数
24、本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。例 2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 123456789=36。例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于 99999？- 9 -例 4 在一次校友聚会上，
25、久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有 50 道试题。评分标准是：答对一道给 3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？练习 71.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22？2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行
26、的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道加 5 分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使
27、得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。- 10 -7.红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有 1999 名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？ 第 8 讲 奇偶性（二）例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否经过若干次翻转，使得 7只杯子全部杯口朝下？例 3 有 m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能
28、使杯口全部朝上吗？例 4 一本论文集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是 1，2，3，15 页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例 5 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例 6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第 1000 个数为止，共有多少个偶数？练习 8 1.在 11，111，1111，11111，这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？2.一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1，2，3，17 页。这 17 个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第 1 页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着 6 只杯子，其中 3 只杯口朝上，3 只杯口朝下。如果每次翻转 5 只杯子，那么至少翻转多少次，才能使 6 只杯子都杯口朝上？
