1、2006 高等学校全国统一数学文试题（江西卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 等于（ ）(1)0Px 10QxPQ 1x 1x且2函数 的最小正周期为（ ）4sin21yx 243在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则 （ na110(2)nna 21nS） 204下列四个条件中， 是 的必要不充分条件的是（ ）pq ，:pab2: ， ab 为双曲线，2:xyc:0qa ，0pab2x5对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）R()f(1)0xf (0)21ff(2(1)f ()
2、)f6若不等式 对一切 成立，则 的最小值为（ ）210xa 102x且a 0537在 的二项展开式中，若常数项为 ，则 等于（ ）2nx60n 369128袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ） 123448160C21344860C 23144860 134281609如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下4 个命题中，假命题是（ ）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互
3、补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上10已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 三点共nanS120OBaACB且线（该直线不过点 ） ，则 等于（ ）O20100 101 200 20111 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和P2196xyMN2(5)4xy上的点，则 的最大值为（ ）2(5)xP 678912某地一天内的气温 （单位：）与时刻 （单()Qtt位：时）之间的关系如图（1）所示，令 表示时间段()C内的温差（即时间段 内最高温度与最低温度0t且 0t且的差） 与 之间的函数关系用下列图象表示，则正()Ct确的图象大致是（ ）448 12
4、24O()t16 20 t16448 12 1620 24 t图（1）()Qt448 16 20O2412 t16()Ct448 16 202412 t16448 12 2416 20 t16()Ct ()Ct第 II 卷二、填空题：本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上13已知向量 ， ，则 的最大值为 (1sin)a且(1cos)b且ab14设 的反函数为 ，若 ，则3)log6fxfx11()6()27fmfnA(mn15如图，已知正三棱柱 的底面边长为 1，高为 8，1ABC一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短A路线的长为 16已知 为双
5、曲线 的两个焦点， 为双曲线右支12F且21(0)abxyab且P上异于顶点的任意一点， 为坐标原点下面四个命题（ ）O 的内切圆的圆心必在直线 上；12P x 的内切圆的圆心必在直线 上；F b 的内切圆的圆心必在直线 上；12 P 的内切圆必通过点 P 0a且其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）1C1B1ACB已知函数 在 与 时都取得极值32()fxabxc231x（1）求 的值及函数 的单调区间；b且()f（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围12x2xcc1
6、8 （本小题满分 12 分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率19 （本小题满分 12 分）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC 且 abc且2sin3A（1）求 的值；22tansi（2）若 ， ，求 的值ABCS b20 （本小题满分 12 分）如图，已知三棱锥 的侧棱O两两垂直，且 ，A且 1， 是 的中点2BE（1）求 点到面 的距离
7、；B（2）求异面直线 与 所成的角；AC（3）求二面角 的大小21 （本小题满分 12 分）如图，椭圆 的右焦点为 ，过点 的一动直线 绕点 转21(0)xyQab且 (0)Fc且 mF动，并且交椭圆于 两点， 为线段 的中点AB且PAB（1）求点 的轨迹 的方程；PH（2）若在 的方程中，令 ，21cosinasin0b设轨迹 的最高点和最低点分别为 和 当 为何值时， 为一个正三角形？HMNMNF22 （本小题满分 14 分）已知各项均为正数的数列 ，满足： ，且 ， na13112nna* O PAFBD xy l（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ， ，求 ，并确定最小正整221n
8、nS 2211nTaa nST数 ，使 为整数nT2006 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学（编辑：ahuazi）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字
9、笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间 A、B 互斥，那么 ()()PABP如果时间 A、B 相互独立，那么 (BA如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 1nkknnPCP球的表面积公式 ，其中 R 表示球的半径24S球的体积公式 ，其中 R 表示球的半径3V一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 等于（C ）(1)0Px 10QxPQ 1x 1x且解：Px|x1 或 x0 ，Qx
10、|x1故选 C2函数 的最小正周期为（B ）4sin2y 24解：T ，故选 B23在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则 （ na2110(2)nna 21nSA ） 0解：设公差为 d，则 an1 a nd，a n 1a nd，由 可得 2an211()nn0，解得 an2（零解舍去） ，故 2（2n1）4n2，故选 A2n 24S4下列四个条件中， 是 的必要不充分条件的是（ D ）pq ，:pb2: ，aab 为双曲线，2:xyc:0qa ，0pb2x解：A. p 不是 q 的充分条件，也不是必要条件；B. p 是 q 的充要条件；C. p 是 q 的充分条件，不是必要条件；D.正确5
11、对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（C ）R()fx(1)0xf (0)21ff(2(1)f () )f解：依题意，当 x1 时，f （x）0，函数 f（x）在（1，）上是增函数；当 x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故 f（x）当 x1 时取得最小值，即有f（0）f（1） ，f （2）f（1） ，故选 C6若不等式 对一切 成立，则 的最小值为（ C ）a 2x且a 02523解：设 f（x）x 2ax1，则对称轴为 x a若 ，即 a1 时，则 f（x）在0， 上是减函数，应有 f（ ）0 112 x152若 0，即 a0 时，则 f（x）在0， 上是增函数，应有
12、 f（0）10 恒成立， 2故 a0若 0 ，即1a 0，则应有 f（ ） 恒成立，2 a 22aa44 故1a0综上，有 a 故选 C57在 的二项展开式中，若常数项为 ，则 等于（ B ）2nx60n 36912解： ，由 解得 n6 故选 Bn3rrnrrr2r1rnTCCx026 （ ） （ ） rn0 8袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A ） 123448160C21344860C 23144860 13428160解：依题意，各层次数量之比
13、为 4321，即红球抽 4 个，蓝球抽 3 个，白球抽 2 个，黄球抽一个，故选 A9如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下4 个命题中，假命题是（ B ）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故 A，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故 D正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选 B10已知等差数列 的前 项和为 ，
14、若 ，且 三点共nanS120OBaAC且线（该直线不过点 ） ，则 等于（A ）O20100 101 200 201解：依题意，a 1a 2001，故选 A11 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和P296xyMN2(5)4xy上的点，则 的最大值为（ D ）2(5)1xP 6789解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（5，0） ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F 1 三点共线以及 P 与 N、F 2 三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN| （|PF 1|2）（|PF 2|1）1019 故选 B12某地一天内的气温 （单位：）与时刻 （单()Qt
15、t位：时）之间的关系如图（1）所示，令 表示时间段()C内的温差（即时间段 内最高温度与最低温度0t且 0t且的差） 与 之间的函数关系用下列图象表示，则正()Ct确的图象大致是（D ）448 12 24O()t16 20 t16448 12 1620 24 t图（1）()Qt448 16 20O2412 t16()Ct448 16 20O2412 t16448 12 24O16 20 t16()Ct ()Ct解：结合图象及函数的意义可得。第 II 卷二、填空题：本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上13已知向量 ， ，则 的最大值为(1sin)a且(1cos)b且
16、ab2解： |sin cos| |sin（ ）| |b2214设 的反函数为 ，若 ，则3()log(6)fx1()fx11()6()7fmfnA2 mn解：f 1 （x）3 x6 故f 1 （m ）6f 1 （x）63 m3n3 m n 27mn 3 f（mn）log 3（36）215如图，已知正三棱柱 的底面边长为 1，高为 8，1ABC一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短A路线的长为 10 解：将正三棱柱 沿侧棱 CC1 展开，1其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。16已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线右支12F且21(0)abxyab且P上异于顶点的任意一
17、点， 为坐标原点下面四个命题（ ）O 的内切圆的圆心必在直线 上；12P x 的内切圆的圆心必在直线 上；F b 的内切圆的圆心必在直线 上；12 P 的内切圆必通过点 P 0a且 1C1B1ACB其中真命题的代号是 （A） 、 （D ） （写出所有真命题的代号） 解：设 的内切圆分别与 PF1、PF 2 切于点 A、B，与 F1F2 切于点 M，则12PF|PA|PB|，|F 1A|F 1M|，|F 2B|F 2M|，又点 P 在双曲线右支上，所以 |PF1|PF 2|2a，故|F1M| |F2M| 2a，而|F 1M|F 2M|2c ，设 M 点坐标为（x，0） ，则由|F 1M|F 2M
18、|2a 可得 （ xc ）（ c x） 2a 解得 xa，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故A、D 正确。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知函数 在 与 时都取得极值32()fxabxc231x（1）求 的值及函数 的单调区间；b且()f（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围12x2xcc解：（1）f （ x） x 3 ax2 bx c， f（ x） 3x 2 2ax b由 f（ ） ， f（ 1） 3 2a b0 得 4ab09 a ， b 2f（ x） 3x2 x2（3x 2） （x1）
19、 ，函数 f（ x） 的单调区间如下表：x （， ）3 （ ，1）231 （1，）f（ x） 0 0 f（ x） 极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（ ， ）与（1， ）23递减区间是（ ，1）23（ 2） f（ x） x3 x22xc，x1，2 ，当 x 时，f （ x） c2327为极大值，而 f（ 2） 2c ，则 f（ 2） 2c 为最大值。要使 f（ x） c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（ 2） 2c解得 c1 或 c218 （本小题满分 12 分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率
