1、 杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期中考数学 答案 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B D A B B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11.14 5 12.-2,8 13.13 14.( 1,2 ) 15.52 16.( , 1) 三、解答题 :本大题共 4 小题，共 46 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 （本题满分 10 分） (1) 1|12A B x x | 1
2、3A B x x (2) 14a 18、（本题满分 10 分） (1) 2a , 1b (2) ()fx 在 R 上为减函数（证略） (3) 13k 19、（本题满分 12 分） （ 1） 1,2 ； （ 2） )(xf 在 ),( a 上单调递增，在 ),( a 上单调递减； （ 3）当 2a 时， f x x 有 两 个零点 . 试题解析：（ 1） 22( 0 )f a a a a a a ，因为 01f ，所以 1aa ， 当 0a 时， 10 ，显然成立；当 0a ，则有 12a ，所以 21a .所以 210 a . 综上所述， a 的取值范围是 1,2 . （ 2） axaxax
3、axxaxxf ,2)12( ,12)( 22 对于 xaxu 1221 ，其对称轴为 aaax 212 12 ，开口向上， 所以 )(xf 在 ),( a 上单调递增； 对于 axaxu 21221 ，其对称轴为 aaax 212 12 ，开口向上， 所以 )(xf 在 ),( a 上单调递减 . 综上所述， )(xf 在 ),( a 上单调递增，在 ),( a 上单调递减 . （ 3 ）由（ 2 ）得 )(xf 在 ),( a 上 单 调 递 增 ， 在 ),0( a 上单调递减，所以2m i n )()( aaafxf . 当 2a 时， 2m in )()( aaafxf ， 当 ),
4、0( ax 时， 42)0( af ， 2)( aaaf ，而 yx 在 ( ,0)x 上单调递增， yx 在 (0, )x 单调递减， 下面比较 2)( aaaf 与 a 的大小 因为 22( ) 2 0a a a a a 所以 2()f a a a a 结合图象不难得当 2a 时， )(xfy 与 yx 有两个交点 . 综上所述，当 2a 时， f x x 有两个零点 . 20、（本题满分 14 分） 试题解析： （ 1） 单调递增区间为 2,2和 2,2，单调递减区间为 2,02和 20,2（ 2） 34a， ()y f x 在 (1, )a 上递减，在 ()a， 上递增， 又 ()fx
5、在区间 1, m 上的最大值为 ()fm， ( ) (1)f m f ，得 ( 1)( ) 0m m a ， maxma ，即 4m ； 6 分 （ 3） 1 2 1 2| ( ) | | ( ) | ( ) ( )f x f x g x g x 1 1 2 2| ) | ( ) | ( ) | ( )f g x f x g x 恒成立 令 ( ) | ( ) | ( )F x f x g x， ()Fx在 2,4 上递增。 对于( 1 ) 1()(1 ) 7akxxFxakxx ，2, 2 4 (2 4 , 4xaxa ， （ 1）当 2, 2 4 xa 时， ( ) ( 1 ) 1aF x
6、 k x x 当 1k 时， ( ) 1aFx x 在 2,2 4 a上递增，所以 1k 符合； 当 1k 时， ( ) ( 1 ) 1aF x k x x 在 2,2 4 a上递增，所以 1k 符合； 当 1k 时， 设 122 2 4x x a ， 121 2 1 2 12(1 )( ) ( ) ( ) a k x xF x F x x x xx 欲 12( ) ( ) 0F x F x 恒成立，只需 12(1 ) 0a k x x 即可，即121a xxk当 1x 、 2x 都趋向于 24a 时， 12xx 最大 2(2 4 )1 a ak 即 只需 241a ak ，即m a x1 2 4( 1 ) 2 31kaa 1 6 4 3k ， 6 4 3k （ 2）当 (2 4 , 4xa 时， ( ) (1 ) 7aF x k x x 当 1k 时， ( ) 7aFx x在 (2 4 ,4a 上递减，所以 1k 不合； 当 1k 时， ( ) (1 ) 7aF x k x x 在 (2 4 ,4a 上递减，所以 1k 不合； 当 1k 时， 同样由单调性定义可得， 只需 241 a ak ，m in1 2 4( 1 ) 1 21 kaa ， 2 2 2k 又 ()Fx为连续函数， ( 6 4 3 ) ( 2 2 2 ) 0 综上可知， 6 4 3k
