1、 2015年“四地六校”高三围题 理科数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1、设集合 1,0,1A ，集合 | 1 1B x x ，则 AB （ ） A 1,0,1 B 0,1 C 1,0 D 0 2、已知点 )4,3(P 是 a 终边上一点，则 asin 的值为 （ ） A 54 B 54 C 53 D 53 3、 设3log21a，3.0)31(b， lnc， 则 （ ） Ac a bBbacC abcDa c b4、函数 |1|ln)( xxf 的图象大致是（ ） 5、下列命题，正确的是（ ）
2、 A xR ，使得 2 10x 的否定是： xR ，均有 2 10x B 若 3x ,则 2 2 3 0xx 的否命题是：若 3x ，则 2 2 3 0xx C 已知 ,ab R ，则 0b 是 2( 1) 0 ab成立 的必要不充分条件 D 若 cos cosxy ，则 xy 的逆否命题是真命题 6 一个用流程图表示的算法如图所示， 则其运行后 输出的结果为 ( ) A 132 B 11880 C 1320 D 以上都不对 i 10 开始 i=i-1 i=12， S=1 结束 输出 S Y N S=S i (第 6 题图 ) 7 123()xx 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有 (
3、) A 2 项 B 3 项 C 4 项 D 6 项 8、 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 OE， 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 ,AC a BD b，则 AF （ ） A 1142ab B 1124ab C 2133ab D 1233ab 9、 函数 )0)(s in ( xy 的部分图象如图所示，设 P 是图象的最高点， A， B 是图象与 x 轴的交点，记 APB=，则 sin2 的值是 . 6516 B. 6516 C. 6563 D. 6563 10、已知函数 ()fx满足 1( ) 2 ( )f x f x ,当 1,3x 时
4、, ( ) lnf x x ,若在区间 1 ,33 内 ,函数( ) ( )g x f x ax有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1(0, )e B 1(0, )2e C ln3 1 , )3 e D ln3 1 , )32e 二、填空题（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，只填结果，不要过程） 11、 已知等差数列 1 3, 21, 2,nad 则 n 12、1.0lg10lg 5lg2lg1 2 5lg8lg = 13如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 正视图 俯视图 侧视图 3 3 6 2 4 2 14、 若向量 a ， b 满足 | | 1a ，
5、 | | 2b ，且 ()a a b，则 a 与 b 的 夹角为 15、 给出定义：若11 +22m x m(其中 m为整数 )，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作x，即=xm. 在此基础上给出下列关于函数( )= f x x x的四个命题： =( )y f x的定义域是 R，值域是11( , 22； 点(,0)k是=( )y f x的图像的对称中心，其中 kZ； 函数f的最小正周期为 1； 函数( )y f x在13( , 上是增函数 则上述命题中真命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 16、 （本小题 13 分） 某中学在
6、高 一 开设了 4 门选修课，每个学生必须且只需选修 1 门选修课。对 于该年级的甲、乙、丙 3 名 学生，回答下面的问题： （ 1）求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率； （ 2）某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望 17、 （本小题满分 13 分） 已知 函数 2( ) 2 s i n ( ) c o s s i n c o s 3 s i n3f x x x x x x （ xR ） . （ ）求 ()fx在 0 , 内的单调递增区间； F AE C OB D （ ）在 ABC 中， B 为锐角，且 ( ) 3fB ， 43AC ， D 是 BC 边上一点， AB AD
7、，试求 ADDC 的最大值 18、 （本小题满分 13 分） 如图， AB为圆 O的直径，点 E、 F在圆 O上，矩形 ABCD所在的平面和圆 O所在的平面互相垂直，且 2AB， 1AD EF. （ ）求证： AF平面 CBF； （ ） 若 BEAF ,求二面角 的 FOCE 的余弦值 大小 . 19、 （本小题满分 13 分）设非零平面向量 m ， n ，记 为向量 m 、 n 的夹角 ， 规定s innmnm 。若 21 FF， 是椭圆 :C 012222 babyax 的左、右焦点 ， 点NM, 分别是 椭圆 的上顶点 、 右顶点，且 26ONOM ， 离心率 31e （ I）求椭圆 C
8、 的方程； （ II）过点 2F 的直线交椭圆 C 于点 BA, ，求 OBOA 的取值范围 。 20、 （ 本题满分 14 分 ）已知函数 xaxgbxxxf ln)(,)( 23 ( )若 )(xf 在 1,21x上的最大值为 83 ，求实数 b 的值； ( )若对任意 ex ,1 ，都有 xaxxg )2()( 2 恒成立，求实数 a 的取值范围； ( )在 ( )的条件下，设 1, 1,)( xxg xxfxF，对任意给定的正实数 a ，曲线 )(xFy 上是否存在两点 QP, ，使得 POQ 是以 O （ O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上？请说明
9、理由 21、 本题设有 (1),(2),(3)三个选考题 ,每题 7 分 ,请任选 2 题作答 ,满分 14分 .如果多做 ,则按所做的前两题计分 . (1)(本小题满分 7 分 )选修 4-2：矩阵与变换 设矩阵 M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 ,横坐标保持不变的伸缩变换 . () 求矩阵 M； () 求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 . (2) (本小题满分 7 分 )选修 4-4 参数方程与极坐标 过 P(2,0)作倾斜角为 的直线 l 与曲线 E： x=cosy= 22 sin( 为参数 )交于 A,B两点 . () 求曲线 E 的普通方程及 l
10、 的参数方程； () 求 sin 的取值范围 . (3)(本小题满分 7 分 )选修 4-5：不等式选讲 () 试证明柯西不等式： (a+b)(x+y) (ax+by)(a,b,x,yR)； () 若 x+y=2 且 |x| |y|,求 1(x+y)+ 1(x-y)的最小值 . 2015年“四地六校”高三围题 理科数学参考答案 1C2A3C4B5B6C7B8C9D10C 11、 10 12、 4 13、 83 14、 135 15、 16、 (1) 3 名学生选择的选修课互不相同的概率 : 8343341 Ap;-4 分 (2)设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ,则 .3,2,1,0
11、-5 分 642743)0( 33 p ,； 64274 3)1( 3 213 Cp ,-8 分 2333 9( 2 ) 4 6 4Cp ,； 6414)3(333 Cp .-10 分 所以 的分布列为 0 1 2 3 p 6427 6427 649 641 2 7 2 7 9 1 30 1 2 36 4 6 4 6 4 6 4 4E -12 分 某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望为 34 -13 分 17、 （ ） 213( ) 2 ( s i n c o s ) c o s s i n c o s 3 s i n22f x x x x x x x 222 s i n c o s
12、 3 ( c o s s i n )x x x x sin 2 3 cos 2xx 2sin(2 )3x . 2 分 由 2 2 22 3 2k x k ，得 51 2 1 2k x k （ Zk ） . 3 分 取 0k ，得 512 12x ，又 0 x , ，则 50 12x ,； 4 分 取 1k ，得 11 1712 12x，又 0 x , ，则 1112x ,. 5 分 ()fx在 0 ， 上的单调递增区间是 50 12,， 1112 ,. 6 分 （ ）由 ( ) 3fB 得 3sin(2 )32B .又 02B ，则 223 3 3B ，从而 F AE C OB D 2 33B
13、 ， 3B . 8 分 由 AB AD 知 ABD 是正三角形， AB AD BD， A D D C B D D C B C ， 在 ABC 中，由正弦定理，得 43sinsin 3BCBAC ，即 8sinBC BAC. D 是 BC 边上一点， 233BAC ， 3 sin 12 BAC ，知 4 3 8BC. 当26BAC C ，时， AD CD 取得最大值 8. 13 分 【另 解 】在 ACD 中，由正弦定理，得 432sin sin( ) sin33A D D CC C， 8sinAD C ， 8sin( )3CD C，则 8 s i n 8 s i n ( )3A D D C C
14、 C 318 ( s in c o s s in )22C C C 318( co s sin )22CC8sin( )3C 23ADC ， 0 3C ， 23 3 3C ， 当32C ，即6C时， ADDC 取得最大值 8. 13 分 18（ ）证明：平面 ABD平面 ABEF， B AB, 平面 ABD 平面 EF AB， CB平面 ABEF， AF 平面 ABEF， AF CB， 3 分 又 为圆 O的直径， BF， 且 BBFCB 平面 CBF 5 分 （ II） 利用图形对称性，可取 HCDGEF 中点为中点为 , ,以 O 为 坐标原点 ,分别以OH，OGOA, 为 轴轴、轴、 z
15、yx 的正 方向建立空间直角坐标系 xyzO . 6 分 )0,0,0(O , ),0,23,21(E ),0,23,21(F )1,0,1(C 求得平面 OEC 的法向量 )3,1,3(m （向内）， 9 分 平面 OFC 的法向量 )3,1,3( n （向外） 10 分 设 二面角 的 FOCE 的大小为 ，则7577 313.c o s nm nm 12 分 所以 二面角的 FOCE 的余弦值 大小 75 13 分 19解： (1)由题可知： 0 2 2 2(0 , ) , ( , 0 ) , , 9 0 ,M b N a O M O N c a b ，由 26ONOM得， 62ab ，
16、又 13e， 解得 3, 2 2ab ，故椭圆的标准方程为： 22198xy4分 (2)当直线为 x 轴时， 0( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , , 1 8 0 , 0A B O A O B O A O B 5 分 当直线不为 x 轴时， 2(1,0)F ，由题可设直线 AB 的方程为： 1x my，设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由 221198x myxy 消去 x 得， 22(8 9 ) 1 6 6 4 0m y m y 7 分，1 2 1 2221 6 6 4,8 9 8 9my y y ymm 21 2 1 2 1 2sin 2 ( )
17、4A O BO A O B O A O B S y y y y y y =222 2 2 21 6 6 4 1( ) 4 4 88 9 8 9 ( 8 9 )mmm m m (10 分 ) 令 2 1( 1)t m t 得，214 8 4 8 1( 8 1 )6 4 1 6tO A O B tt t ，令 1( ) 64 16( 1)f t t tt ，则 1t 时， / 21( ) 64 0ft t ，故 ()ft 在 1, ) 上 单 调 递 增 ， ( ) (1) 81f t f，即可得160 3OA OB ， 12 分 综上所述， OA OB 的取值范围是 160, 313 分 20、
18、 解：（）由 bxxxf 23)( ，得 )23(23)( 2 xxxxxf ， 令 0)( xf ，得 0x 或 32 当 x 变化时， )(xf 及 )(xf 的 变化如下表： x 21 )0,21( 0 )32,0( 32 )1,32( )(xf - 0 + 0 - )(xf )21(f 极小值 极大值 由 bf 83)21( ， bf 274)32( ， )32()21( ff ， 即最大值为 8383)21( bf ， 0b 4 分 （ ） 由 xaxxg )2()( 2 ，得 xxaxx 2)ln( 2 xxex 1ln,1 ，且等号不能同时取， xxln ，即 0ln xx xx
19、 xxa ln22 恒成立，即 min2 )ln2( xx xxa 6 分 令 ),1(,ln2)( 2 exxx xxxt ，求导得，2)ln( )ln22)(1()( xx xxxxt ， 当 ,1 ex 时， 0ln22,1ln0,01 xxxx ，从而 0)( xt ， )(xt 在 ,1e 上为增 函数， 1)1()(mi n txt ， 1a 8 分 （）由条件， ,ln ,)( 23xa xxxF 11xx ， 假设曲线 )(xFy 上存在两点 P ， Q 满足题意， 则 P ， Q 只能在 y 轴两侧， 不妨设 )0)(,( ttFtP ，则 ),( 23 tttQ ，且 1t POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形， 0 OQOP ， 0)( 232 tttFt )( ， 是否存在 P ， Q 等价于方程 )( 在 0t 且 1t 时是否有解 10 分 若 10 t 时，方程 )( 为 2 3 2 3 2 0t t t t t ，化简得 4210tt ，此方程无解； 1 1 分 若 1t 时，方程 )( 为 2 3 2ln 0t a t t t ，即 1 1 lntta， 设 1 ln 1h t t t t ，则 1ln 1h t tt ， 显然，当 1t 时， 0ht，即 ht 在 1, 上为增函数，
