1、全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参 赛规则 （以下简称为“ 竞赛章程和参赛规则 ”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反
2、竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。 ） 赛区评阅编
3、号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 基于多目标规划的创意平板折叠桌设计 摘 要 有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。本文 针对已经设计好的折叠圆桌建立模型描述折叠桌的动态变化过程，首先在此基础上确 定出折叠圆桌的数学描述模型，然后通过改变敏感性参数优化该模型，最后根据优化 后的参数构建新的折叠桌。 问题
4、一是描述折叠桌在折叠过程中变化过程，首先建立适当的空间直角坐标系， 分别找出桌面圆、钢筋直线、直纹面以及木条相对于竖直方向的倾斜角的数学表达式， 然后建立了动态变化过程的数学模型。最后设计算法通过 matlab 计算出桌腿木条的开 槽长度，详见表 1，并给出了桌脚边缘线的数学模型见公式(13)。 问题二是一个对客户任意给定折叠桌高度、直径，设计出同时满足产品稳固性好、 加工方便以及用材最少三个目标的折叠桌的问题。在固定钢筋的桌腿木条上，以最外 侧桌腿木条长度 和钢筋到木条底端长度 为决策变量，以钢筋位置和折叠桌最外侧木yx 条长度的变化范围为约束条件建立多目标规划模型，并采用分层序列法对目标按
5、重要 性进行排序求解。假定平板宽度和木条厚度在第一问基础上不变的情况下，运用 matlab 变成求解得出平板的尺寸为 ，钢筋位置为距离平板边缘17350cmc 处，每根木条开槽长度见表 3。51cm 问题三开发一种能根据客户任意指定的信息设计出尽量满足客户要求的折叠桌的 问题，建立出了各种桌面边缘线以及桌脚边缘线的数学优化模型，详见公式(27)、(28)。 然后根据建立的模型设计出了桌面形状为椭圆、双曲线，桌脚边缘为圆弧的折叠桌。 动态变化过程的示意图见图 8。 最后，我们对模型的优缺点进行评价，并针对某些缺点和假设条件提出进一步的 改进思路，并将模型推广到其它生活用品以及蛋白质的折叠仿真等方
6、面。 关键词： 平板折叠桌；加工参数；直纹曲面；多目标规划 1、问题重述 1.1 问题背景 平板折叠边桌注重于表达木质品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性 1增 大面积桌面设计为圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木 条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最 外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽一保证滑动的自由度，使用者只需提起木板的 两侧便可以在重力的作用下达到自动升起的效果。桌子外形由直纹曲面 2构成，造型美 观。 1.2 问题提出 某公司要生产平板折叠边桌，需要我们解决以下问题： 1给定尺寸为 的长方形平板，每根木条宽 ，连接桌腿
7、木12053cmc2.5cm 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子高 。建立模型描述此折3 叠折叠桌的动态变化过程以及给出折叠桌的设计加工参数（桌腿木条的开槽长度）和 桌脚边缘线的数学表示。 2折叠桌的设计要达到产品稳固性好、加工方便、用材最小三个目标。对于任意 给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优 设计加工参数，如平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。然后基于以上的要求确定桌高 ，桌面直径 是得最有设计加工参数。70cm80c 3公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边 缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平
8、板材料的形状的尺寸和切实可 行的最优设计加工参数，使生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。需要我们给 出软件设计的数学模型，然后用所建立的模型设计几个创意平板折叠桌，并且给出相 应的设计加工参数，画出不少于 8 张动态变化过程的示意图。 2、问题分析 2.1 整体分析 本题首先是对已经设计出的折叠桌进行分析其动态变化过程以及对应的加工参数 和桌脚边缘线的形状，目的是分析清楚每个因素之间的相互关系。然后在此基础上进 行一定程度的深化，要对任意给定的高度和直径（不确定的高度和直径）的设计要求 设计出满足不同对象（投资者、生产者、消费者）要求的圆形折叠桌，并确定材料和 成品的最有设计加工参数。最后
9、要根据客户的任意要求开放性的进行设计出尽可能接 近客户所期望的形状的折叠桌，会涉及到不同形状平板材料以及不同加工参数，因此 需要确定一个可以适用于多种情况的数学模型。三个问题层层递进，逐步将模型推广 到与实际更加接近的情况，难度也随之增大。 2.2 关键问题分析 圆桌半径的确定关键问题一 圆桌的半径影响桌腿每根木条的长度以及倾斜角度，进而影响圆桌的高度，因此 求出圆桌的准确半径至关重要。圆桌半径取决于桌面上每根木条的长度，且每根长度 是未知的，因此不能直接运用几何知识求解，可以采用图像处理软件找出半径。 桌腿上每根木条长度的计算关键问题二 桌腿木条的长度影响桌脚边缘的形状。确定桌腿木条长度有两
10、种方法。一种是根 据其与桌面上木条长度一半之和为定长的特点确定出桌腿上每根木条的长度，另外一 种就是建立直角坐标系，确定出两端点的坐标，根据坐标求出两点之间的距离即是它 的长度。 直纹面方程的确定关键问题三 直纹面 4是由一簇直线生成，图中的直纹面同时在桌面圆和钢筋所在直线上运动， 即直纹面始终满足桌面圆的方程和钢筋所在直线的方程。因此直纹面就是由桌面圆和 钢筋所在直线共同决定。 2.3 具体问题的分析 问题一的分析：折叠桌的动态变化过程即是在桌子折叠过程中形成直纹面的变化 过程。折叠过程中，桌腿每根木条与竖直方向形成的夹角发生改变，直纹面也因此改 变。但是，由于直纹面上每根木条同时在圆桌边缘
11、和钢筋上运动，同时满足桌面边缘 和钢筋所在的方程。我们可以以此建立模型描述折叠桌的动态变化过程。设计加工参 数（开槽长度）与折叠桌的初始状态（平板）和折叠到最大程度时的状态有关，因此 需要找出木条的倾斜范围。桌脚边缘线既满足在直纹面上，又满足每根木条为直线， 同时满足这两个条件的方程即是它的数学描述。 问题二的分析：钢筋的位置以及桌腿木条的张开程度影响产品的稳固性，要使产 品的稳固性好，就要对分析钢筋的运动范围以及在运动范围内的最佳位置，木条的张 开程度越大越稳固；木条的开槽长度影响加工的方便程度，开槽越短越方便；用料的 多少受平板面积的影响，平板尺寸影响平板面积，当满足要求且面积最小时用料为
12、最 省。最后再确定给出桌高和桌面直径后的最优加工参数。 问题三的分析：要设计一种软件能根据客户任意设定的要求进行设计，并且给出 所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，因此所设计的软件应该具 有通用性，在此基础上自己设计几个创意平板折叠桌并给出相应的加工参数，然后画 出动态变化过程的示意图。 3、问题假设 1.假设折叠桌腿在圆桌面的周围折叠处的部分忽略不计，不影响 圆面的半径； 2.假设计算过程中每根木条的厚度不计，即可以抽象成为一条直 线；全文假设 3.假设木板之间的缝隙很小，可以忽略不计。 1.假设桌面形状为标准圆； 问题一中的假设 2.假设可以忽略桌面厚度，即将桌面视为一张二
13、维平面 1.假设平板宽度就是桌面圆的直径；问题二中的假设 2.假设木条宽度和厚度与问题一一致； 问题三中的假设 假设木条宽度和厚度与问题一一致 4、符号说明 符号 说明r 桌面圆的半径 每根木条与 轴的夹角zh 折叠桌高度iy 第 根木条在圆桌面上的长度i1l 钢筋到桌面边缘区间各木条的长度w 木板宽度 注：由于图形的对称性，下面再讨论时只对一边的桌腿形成的直纹面进行讨论。 5、模型准备 5.1 确定圆桌的半径： 问题一中将桌面看为一个标准圆，将每根木条与圆的交点作为像素点导入 CAD 软 件中，软件自动确定出圆的半径 。问题二和问题三中以平板的宽度作为直径，25.3rcm 将问题进行了简化。
14、 5.2 有宽容值的分层序列法 有宽容值的分层序列法 把多目标规划问题中的 个目标按其重要程度排一个次序，假设 最重要，p 1fx 次之， 再次之 最后一个目标为 ，选取一组适当的小正数2fx3fx, pfx1, ，成为宽容值，于是得到有宽容值的分层序列法；p = minifpf1 2.| ,3iiiiistxRxRp 得最优解 及最优值 ，则在 就是原多目标规划问题在有宽容值的分ppfp 层序列意义下得最优解， 12(),(,()TFff 为 其 最 优 值 6、模型的建立与求解 6.1 折叠桌动态变化过程、加工参数和桌脚边缘线的确定问题一 6.1.1 建模原理和思想 要描述折叠桌的动态变化
15、过程即是要找出每根木条随倾斜角度变化而变化的运动 轨迹，是一个空间的变化过程，需要在空间坐标系中进行分析，所以首先就需要建立 适当的空间直角坐标系。折叠桌的动态变化过程可以分文两个部分分别进行分析，即 桌面圆和桌腿两个部分，桌面圆受半径的影响。桌腿的变化又分为直纹面的运动、钢 筋的运动和倾斜角的改变，因此我们分别从桌面圆、直纹面、钢筋和倾斜角四个方面 来描述折叠桌的动态变化过程。流程如下： 建立空间直 角坐标系 确定钢筋 所在直线 方程 确定桌面 圆方程 直纹面的 表达式 确定木条 倾斜角 折叠桌动态 变化过程 计算开槽 长度 提取桌脚 边缘线 图表 1 问题一具体流程图 6.1.2 建立折叠
16、桌动态变化过程的描述模型 第一步：建立空间直角坐标系 由于折叠桌的动态变化过程是在三维空间中进行的，为了更加清晰地表达，因此 要建立空间直角坐标系。我们用 软件画出空间直角坐标系示意图如下： 4coreldawx 图表 2 坐标系示意图 如上图所示，我们以桌面的下表面的圆心为坐标原点、沿着桌面且垂直于木条的 方向为 轴正方向、沿着桌面平行于木条方向为 轴正方向、垂直桌面向下为 轴正向x yz 建立空间直角坐标系。其中，图中虚线表示被遮挡的部分。 第二步：确定桌面圆的方程 根据问题一中的假设 1 将桌面圆可以近似为标准圆，因此圆桌的下表面（ 平面）xoy 的方程为： * MERGEFORMAT
17、(1) 220xyrz 其中， 、 分别表示圆桌面与直纹曲面的交点。将图像中所有的像素点导入xy 中可以求出半径 。CAD25.3rcm 第三步：钢筋所在直线方程的确定 钢筋在旋转过程中始终平行于 平面，设在折叠过程中固定钢筋的木条与 平xoz xoz 面形成的夹角为 ，钢筋固定点的坐标为 ,固定钢筋的木条长为 ，桌面圆的Myzl 半径为 ，折叠时坐标点与夹角的关系用 表示，即：r f * MERGEFORMAT (2) 12max0zfr 在桌子折叠过程中， 不随角度改变， 随角度以及固定钢筋的木条的长度 变化的xyz和 l 过程可以表示为： * MERGEFORMAT (3) 12sinc
18、olf 因此，钢筋所在直线的方程最终可以表示为： * MERGEFORMAT (4)max sin2co0lyzr 第四步：确定直纹面 直纹面上的每根木条同时在钢筋所在直线的方程上和桌面圆上运动，设点 在圆上，点 在钢筋上同步运动，所以指纹面的方程如下：1,Axyz2,Bxyz * MERGEFORMAT (5) 111222yyxzr 代入 、 得到：AB * MERGEFORMAT (6) 211100sinsinyrxxzll 第五步：桌腿上木条相对 轴方向的倾斜角z 由于对称性，我们只考虑 平面内 轴正向的部分。设 表示图 3 中从坐标原点yoxix 到第 根木条的距离。在折叠过程中，
19、考虑最外侧两跟木条着地的特殊情况，它与地面i 形成的等腰梯形如下图所示： NMEFGHBC 图表 3 木条与地面形成的图形 图中线段 GH 为两根钢筋间的距离，AD 为对称的两桌脚点得连线。线段 FE 表示 第 根木条在圆桌面上的长度 ，AF 和 DE 表示第 根木条对应的桌腿的长度 且i iyi it AF=DE，AD 表示两对称桌脚间的距离 ，FB 表示桌子的高度 ，FM 的长度为 。图l h2h 中 即是桌腿木条与 轴方向形成的夹角 ，即其倾斜角。令 AB 的长度为 ，AFBzk GM 的长度为 ，它们之间有如下关系：m * MERGEFORMAT (7) 2260iiiiiiyrxlk
20、thkm 木条的倾斜角随着折叠桌高度的变化而变化，假设当高度为 时对应的倾斜角为 ，h 则可以建立高度与倾斜角间的关系式为： * MERGEFORMAT (8)maxtn2h 最终求出每根木条相对于相对 轴方向的倾斜角的表达式：z * MERGEFORMAT (9)maxrct 第六步：动态方程的最终描述 折叠桌在折叠过程中，桌面圆、直纹面、钢筋、木条与竖直方向的倾斜角都在相 应的变化，因此，这四个部分的运动状态结合在一起就是整个折叠桌的运动状态模型。 6.1.3 开槽长度的确定 1处于平板状态时钢筋到桌面边缘区间各木条的长度 为方便表述，我们用几何画板画出折叠桌处于平板状态时的图形（后文同样
21、采用 几何画板画图） ，如下图所示： BDC NEAF 图表 4 折叠桌的平板示意图 如图所示，B 点为处于平板状态时钢筋与其中一条木条的交点（开槽上端点） ，A 点为折叠到最终状态时钢筋与此木条的交点（开槽下端点） ，线段 AB 的长度就是对应 木条的开槽长度。当处于平板状态时钢筋与平板的边缘平行，因此每根木条的上端点 到平板边缘的距离相等，均为线段 BC 的长度。并且 。BCDEF 设此时钢筋到桌面边缘区间各木条的长度为 ， 表示第 根木条在圆桌面上的长1iliyi 度。则长度为 ：1il * MERGEFORMAT (10)1160,20iilyi 2折叠到最大程度时钢筋到桌面边缘区间各
22、木条的长度 当桌面折叠到最大程度时，钢筋滑动到每根木条开槽位置的下端点，如图 5 在点 A、B 所在木条上钢筋从 B 点滑倒 A 点位置，因此，线段 AB 的长度就是该木条的开 槽长度。折叠到最大程度时，第 根木条与竖直方向形成一个夹角 。以一根木条为例，i i 将它与钢筋的交点投影到桌面圆上，如图所示： ACB 图表 5 木条的投影示意图 图中 A 点表示木条上钢筋所在的位置，C 点表示桌面的边缘位置，线段 AC 为折 叠到最大程度时钢筋到桌面边缘区间该木条的长度，B 点表示 A 点在桌面上的投影。 因此 。当折叠到最大程度时，钢筋到桌面的距离即 AB 的长度为桌面高度的 一半。设折叠到最大
23、程度时钢筋到桌面边缘区间每根木条的长度为 ，则：1il * MERGEFORMAT (11)25,120cosiil 3每根木条的开槽长度 设每根木条的开槽长度为 ，则：l * MERGEFORMAT (12)21,20il 6.1.4 桌脚边缘线的确定 桌脚边缘线有两个特点： 1、在直纹面上； 2、桌脚边缘线上与桌面圆上对应的点在一条直线上； 3、两点间距离等于对应桌腿的长度，且每根桌腿长度与对应的桌面上木条长度的 一半之和为定长 。60cm 首先取桌面圆上一点 ，该点在直纹面上对应直线与钢筋的交点为11,Axyz ，则两点间直线的方程为：22,Axyz * MERGEFORMAT (13)
24、111222yzx 其中， ， ，21x210yrz2sincolyz 取求出的直线与桌脚边缘线的交点为 ，因此 两点间的距离 等33,Axyz13A和 d 于对应桌腿的长度： * MERGEFORMAT (14)222313131dx 并且桌腿上每根木条满足条件： 。60y 因此桌脚边缘线的数学描述可以表示为： * MERGEFORMAT (15) 211210sincos60rxxzlldrx 其中 表示 在取值范围内的变化形成的直线簇。1rx1 6.1.5 模型计算 1、简化模型：本题通过对创意平板折叠桌的平板尺寸进行研究计算参数，根据全 文假设 1、3，在实际描述数学模型中，将木板厚度
25、忽略，达到简化数学描述模型的目 的，使得计算表达该模型更为简单。 2、计算思想：通过圆标准方程计算坐标 y 值和勾股定理揭示了直角三角形三边关 系的重要性质的应用，得到具有具体参数的描述模型，进而分别计算出折叠桌的设计 加工参数（即桌腿木条开槽长度）和桌脚边缘线的数学描述。 由于进行了简化模型将木条看做线条，故利用 plot3 进行三维作图。 3、计算步骤： 开槽长度：在问题一假设 1、2 的前提下可计算以下步骤，得到开槽长度。 Step 1：以模型准备中的坐标轴建立最终状态的坐标轴即折叠桌状态，易得圆桌每 根木条 x 轴的坐标点，根据圆的标准方程求得圆桌上每根木条的长度 。u Step 2：
26、由题中给出长方形平板尺寸具体数值，用长度分别减去每根木条长度，得 到两根桌腿长度，除以 2 得到每根桌腿长度 。l Step 3：根据 Step 1 中得到最外侧木头长度又已知折叠后桌子高度，可以计算出钢 筋垂直高度 （即为桌子高度一半） ，进而由勾股定理求得两钢筋水平距离 。h 2(10)mu Step 4：由于钢条固定后不会再变动故钢筋垂直距离不会改变，现在已知直角边高 度 h 和长度 m 分别用勾股定理求出此钢筋沿木条开槽滑动后长度。 Step 5：将折叠桌放回木板状态，钢筋初始位置可由每根木条长度和最外侧木条一 般的差表示。 Step 6：用 Step 4 中钢筋沿木条开槽滑动后长度减
27、去 Step 5 中钢筋初始位置，得到 开槽长度。 6.1.6 结果及结论 动态变化过程图示：通过 matlab 编程 6求得此折叠桌动态变化过程。运行环境见附录 1，程序见附录 2。 图表 6 最终状态的折叠桌(左)动态变化过程( 右) 该折叠桌的开槽长度：由于两组桌腿对称，一下只给出单边桌腿木条开槽长度。程序 见附录 3 表格 1 折叠桌单边木条开槽长度 X 坐 标 （+ ） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 开槽 长度 19.657 19.163 18.333 17.159 15.625 13.711 11.383 8.5779 5.1321 0
28、X 坐 标（- ） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 开槽 长度 19.657 19.163 18.333 17.159 15.625 13.711 11.383 8.5779 5.1321 0 6.1.7 结果检验与分析 有用性分析用数据验证动态模拟 题中通过建立模型描述折叠桌动态变化过程，方程的参数变化导致各个简化数据 点的变化，因此我们通过桌脚边缘方程数据可以进行动态模拟验证所建立的数学描述 模型正确和有用性，模拟图见图 5。 6.2 基于分层序列法的折叠桌最有加工参数的确定问题二 6.2.1 建模原理和思想 设计折叠桌时，折叠桌的最优设计参数（钢
29、筋位置、平板尺寸、开槽长度）会影 响折叠桌的稳固性，用材量以及加工的方便性。在固定钢筋的桌腿木条上，以桌腿木 条长度 和钢筋到木条底端长度 为决策变量，以产品稳固性好、加工方便以及用材最yx 少为目标函数，但是考虑到钢筋位置在最外侧木条上的位置会在一定的范围内，因此 应该确定以钢筋位置和折叠桌最外侧桌脚长度的变化范围为约束条件的多目标规划模 型，根据分层序列法原理，确定了稳固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根 据分层序列法原理，确定所有的在分层序列的意义下确定最优参数。 6.2.2 基于分层序列法的产品设计多目标规划模型 （1）稳固性好的单目标规划模型： 决策变量的确定： 折叠桌在设计时
30、，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌的稳固性，然而这些设计 参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底端位置 的长度 、固定钢筋的桌腿长度 为决策变量。xy 约束条件的确定： 将折叠桌投影到 平面内得到的图形如下：xo MPN FEGAJC IBKD 图表 7 平板最外侧木条与地面形成的图形 由于对称性，我们只讨论图中左侧部分。图中 K 点为 固定钢筋的位置点，IM 的长 度为半径 ,AP 与 PC 形成的角 即为木条的倾斜角，AG 的长度为 ，桌腿的rAPCx 长度 AP 为 ，桌面圆上最外侧木条的长度为 ,设 的长度分别y 2uPM,AB,NDG 为： 且 。钢筋有
31、最外边的木条固定，因此钢筋必须,KGABNDddKGNDdr 在木条上，可以转化为钢筋固定位置到木条底端位置的长度不能超过固定钢筋的桌腿 木条的长度 。已知等边三角形的稳定性最好，当倾斜角大于 时，固定性降低。即：y 3 * MERGEFORMAT (16) 12sin hyrxy 其中， 满足方程 ，式中 为表示平板长度的一半。1x22cos2ruxlr l 线段 GN 长度为 ，线段 AC 的长度为 ，要使折叠桌折()sinGNdy sinACdy 叠后稳固性好就应满足以下条件： * MERGEFORMAT (17)max0GNACdr 目标函数的确定： 1坚固性 我们在桌脚点 A 分析其
32、受力情况，如图所示当在桌上放重物时，桌脚受竖直向下 的力为 F,同时地面会对桌脚产生大小相同、方向相反的支持力。则力矩的大小为： * MERGEFORMAT (18)sinMFx 力矩越小，坚固性越好；力矩越大，坚固性越差。因此，坚固性好的可以转化为 以力矩最小为目标的函数，即： * MERGEFORMAT (19)minsinx 2稳定性 当 GN 的长度越短时 KG 越长，此时桌子的固定性越好；当 AB 的长度越长，桌子 的稳定性越好。当 增大时，KG 和 AB 都相应增大。当两者之和最大的时候折叠桌的 稳定性最好。即可以将稳定性好的目标转化为 AB 和 KG 长度之和最大的目标： * M
33、ERGEFORMAT (20)maxKGABd 其中 1sinKGABdryxyr 最终可得到稳固性好的单目标规划模型： 决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 、固定钢筋的桌腿长度 ；xy 目标函数： maxKGABdM12insinKABFf 将 作为 的可行域。1111212|(),()Rxfffxfp （2）用材最少的单目标规划模型 决策变量的确定： 折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌的平板尺寸，然而这些设 计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底端位 置的长度 、固定钢筋的桌腿长度 为决策变量。xy 约束条件的确定： 平板两条边上固定钢
34、筋的木条在折叠过程中与地面形成等腰梯形，如图 5 所示。 G 点为固定钢筋的位置，A 点为桌脚位置。令 AG 的长度为 ，桌腿的长度为 ， 为xyu 桌面圆上最外侧木条的长度，桌面圆半径为 ， 为木板宽度（假定宽度一定） ，则有：rw * MERGEFORMAT (21) 22ur 设 为折叠桌高度，桌腿木条的倾斜角为 ，且 。 的取值范围为：h 02y * MERGEFORMAT (22)2sin yh 目标函数的确定： 要达到用材最少的目标，即可转化为所用平板的面积最小，即： * MERGEFORMAT (23)min2yuw 最终可得以用材最少为目标的单目标规划模型 决策变量：钢筋固定位
35、置到木条底端位置的长度 、固定钢筋的桌腿长度 ；xy 目标函数： in2yu 约束条件： ，将 作为 的可行域。2minyuwf22|Rxf3p （3）加工方便的单目标规划模型 决策变量的确定 折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌木条的开槽长度，然而这 些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底 端位置的长度 、固定钢筋的桌腿长度 为决策变量。xy 约束条件的确定 桌腿木条的开槽长度始终小于桌腿木条的长度，同时也要满足(1)中 得取值范围，y 即满足公式(20) 。 目标函数的确定 要使加工方便，可以考虑木条的开槽长度为整数，且每根木条的开槽长度在上
36、图 中可看做是： * MERGEFORMAT (24)JGDyx 最终可以得到加工方便为目标函数的单目标规划模型： 决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 、固定钢筋的桌腿长度 ；xy 目标函数： JGDy 约束条件： * MERGEFORMAT (25) 121222sin.|rxyhstxRf （4）产品设计的多目标规划模型： 决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度 、固定钢筋的桌腿长度xy 目标函数： * MERGEFORMAT (26) 123maxinKGABpdMyuwJDx 此时的 是进过多目标规划的分层序列法对目标按其重要程度的一个排序，最123,p 重要， 次之， 最
37、后。 约束条件： 1211222sin.|rxyhstpxRf222 1111212. sin|(),()wuryhstpxRfxffxfmax3ax0.GNACGNACdrstprd 6.2.3 模型计算 1、简化模型： 本题通过对创意平板折叠桌的设计满足商家（用材最少） 、用户（稳固性好） 、加 工者（加工方便）的要求，根据全文假设 2 和在实际优化模型中，将三者要求确定为 目标函数，达到简化优化模型的目的，使得计算该模型更为简单。 我们将商家要求（用材最少）简化为平板尺寸的确定，再根据问题二的假设 2，平 板尺寸的确定就是计算平板长度。用户要求（稳固性好）简化为钢筋位置的取定。加 工者要
38、求（加工方便）简化为开槽长度的加工，此时开槽长度我们认为整数长度或者 统一长度即使满足加工者要求。 而简化用户要求时发现任意给定折叠桌着力点是为四只着地桌脚，因此我们对稳 固性分析时将对折叠桌受力看做最外端四只着地桌脚，如下图 8 所示。又由于圆的对 称性，我们可以简化为只研究一只桌脚。 图表 8 桌腿木条的受力简化图 2、计算思想：通过简化模型，将实际问题转化为优化模型，对目标函数进行求解。 3、计算步骤： Step 1：以模型准备中的坐标轴建立最终状态的坐标轴即折叠桌状态，易得圆桌每 根木条 轴的坐标点，根据圆的标准方程求得圆桌上每根木条的长度 ，以及钢槽初始x u 位置 。f Step
39、2：对优化模型的目标函数求解，约束条件为 的取值范围，求得 的值。,pq,pq 即着地桌腿长度和钢槽位置分别用表示。 Step 3：由 Step 2 中着地桌腿长度和钢槽位置数据求得开槽长度。 6.2.4 结果及结论 对于桌高 70cm，桌面直径为 80cm 的情况下，经过 matlab 计算，运行环境见附录 1，程序见附录 4，取整数据结果如下： 表格 2 最优参数设计 着地桌腿长度（cm） 钢槽位置（cm） 平板长度（ cm） 80 51 173 求出着地桌腿长度为 80cm 时，钢槽的最佳位置为在距离桌脚 51cm 处，说明在着 地桌腿的中间偏上位置折叠桌的稳固性更好。其折叠立体图 ，程
40、序见附录 5： 表格 3 66 根木条的开槽长度(cm) 0 6 9 11 14 16 18 19 21 22 23 24 25 25 26 26 26 26 26 25 25 24 23 22 21 19 18 16 14 11 9 6 2 2 6 9 11 14 16 18 19 21 22 23 24 25 25 26 26 26 26 26 25 25 24 开槽 长度 m(1)- m(66) 23 22 21 19 18 16 14 11 9 6 2 图表 9 优化后的动态过程(左)最优参数的折叠桌( 右) 6.2.5 结果检验与分析 误差分析：由于希望满足加工者方便，将对开槽长度取
41、整，因此会产生一段误差 使得中间部分开槽有些许偏差，对此我们进行误差分析。但根据统计误差在 以上0.8cm 的仅 12 个，对整体影响不大，却能明显减少加工者的工作量，因此我们认为该误差合 理。 6.3 折叠桌设计软件的数学优化模型的确定问题三 6.4 6.3.1 建模原理和思想 根据客户任意设定的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形 状可以得出桌高和桌面宽度的确定值，以及桌脚边缘线的平面表达式，经过分析这些 条件的变动，其影响稳定性的目标函数和木条开槽长度取整的目标函数的程度很小， 此时忽略不计，只影响平板面积，所以将桌脚边缘线的平面表达式积分可以确定平板 面积，再根据问题
42、2 所建的模型带入客户所给的参考量，即可确定最优设计参数。 6.3.2 建立基于客户需求的最优参数的折叠桌优化模型 客户任意设定的折叠桌的平板面积确定 （1）设定任意桌面边缘线的的形状大小的空间参数方程为 * MERGEFORMAT (27)(,)0fxyz （2）设定任意桌脚边缘线的大致形状的空间参数方程为 * MERGEFORMAT (28)(,)0gxyz （3）根据桌面边缘上的任意一点可以确定与之对应的桌脚边缘线上的一点，并且 可以计算出两点的距离 ，令 为桌角边缘线的平面表达式为fgdh * MERGEFORMAT (29)f(y)hgdx （4）对平面的桌脚边缘线方程 进行积分，
43、就表示由曲线badxyhx 与 轴所成的曲边梯形的面积，故平板面积可以表示为,xabx * MERGEFORMAT (30)S2bahx 因此可以得到折叠桌最优平板面积的单目标模型 决策变量：桌脚边缘线的平面表达式 ， 表示为桌面的宽度（桌面宽度可由xs 桌面边缘线的形状大小求得） 目标函数： * MERGEFORMAT (31)S2bahxd 约束条件： * MERGEFORMAT (32)sx 根据分析，客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状线的大小和桌脚边缘线的 大致形状都不会影响稳定性的目标函数和木条开槽的目标函数，只是将变量高度 和h 木板宽度通过客户人为确定，将其带入问题 2
44、所建立的多目标规划模型中求解确定最 优设计加工参数。 根据上面的软件设计基于客户需求的最优参数的折叠桌优化模型，我们提供了折叠桌 的高度为 ,桌脚边缘线为空间参数方程70hCM * MERGEFORMAT (33)3(,)0gxyz 桌面边缘线的形状为椭圆，大小为长轴 ,短轴 ,这里以短轴为桌面26aCM250bC 直径，其中椭圆的表达式为 * MERGEFORMAT (34) 21()xyb 将这些条件带入上述模型，我们可以得到 * MERGEFORMAT (35) 211 32232223131310()()()byxxzaxxyzyhx 因此桌脚边缘线的平面表达式就为 ，将其带入客户任意
45、设定的折叠桌的平板面积hx 确定模型中，对其进行积分，得到所需材料的平板材料的形状尺寸： * MERGEFORMAT (36)S2badx 6.3.3 模型计算 1、 简化模型： 经过前面两个问题的探讨，我们可以将折叠桌模型简化成为三个数学关系式空间 上的共同呈现，分别为桌面边缘空间关系式，钢筋位置空间关系式（即是折叠桌高度 或木条与垂直方向夹角的关系） ，还有桌脚边缘线的空间关系式。 2、算法思想：通过桌面边缘方程计算坐标 y 值和勾股定理揭示了直角三角形三边 关系的重要性质的应用，得到钢筋位置空间方程，进而计出桌脚边缘线的空间关系。 由于进行了简化模型将木条看做线条，故利用 plot3 进
46、行三维作图。 3、算法步骤： Step 1：给出任意设定高度，桌面方程及参数，和桌脚边缘线形状分别求出给出桌 面边缘空间关系式、钢筋位置空间关系式、桌脚边缘线的空间关系式。 Step 2：通过桌面方程参数得到两根钢筋之间的距离，求出每根木条分别在三个空 间关系式上的坐标。 Step 3：整合所有坐标以及 Step 1 中关系式得到不同参数下折叠桌简化图像。 Step 4：整合 Step 3 中所有折叠桌简化图像，即可认为得到动态示意图。 6.3.6 结果及结论 椭圆：设定参数高度 ，半长轴 ，半短轴 ，桌脚边缘形70hcm30acm25bcm 状为抛物线。 桌面边缘空间关系式： ，桌脚边缘空间
47、关系式： 21xyabo(i)=0 动态示意图：其余动态变化过程示意图见附录 8，运行环境见附录 1，程序见附录 6。 图表 10 椭圆折叠桌的 8 张动态示意图(左)椭圆折叠桌的静态示意图( 右) 双曲线：设定参数高度 ，半长轴 ，半短轴 ，桌脚边缘70hcm30acm25bcm 形状为抛物线。 桌面边缘空间关系式： ，桌脚边缘空间关系式： 21xyabo(i)=0 动态示意图：其余动态变化过程示意图见附录 9，运行环境见附录 1，程序见附录 7。 图表 11 双曲线的 8 张动态示意图(左)双曲线折叠桌的静态示意图( 右) 6.3.7 结果检验与分析 有效性分析参数敏感性分析 对于给出相应
48、加工参数，通过不同参数的取值，可以明显得到不同的动态图像， 既可以看出高度和桌面边缘参数为敏感性参数。以上图为例，若高度不变，桌面边缘 参数决定桌面形状和大小，因此对折叠立体图像的确立产生很大影响。桌面边缘参数 不变，高度变化同理。 7、模型的评价、改进与推广 7.1 模型的优缺点 优点： 1. 折叠桌在折叠过程中，桌面圆、直纹面、钢筋、木条与竖直方向的倾斜角都在相应 的变化，因此，用这四个部分的运动状态结合在一起刻画整个折叠桌的运动状态模 型比较客观和准确。 2. 对于确建模简单,能够有效地分析可展板壳结构的复杂运动,并为空间折叠桌结构的 设计优化提供了理论依据。 缺点： 1. 在简化模型过程中以平板宽度作为圆
