1、1 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设 ， ，当 时， （ ）cossin()xx20x()x （A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小 （C）与 同阶但不等价的无穷小 （D）与 是等价无穷小 【答案】 （C） 【考点】同阶无穷小 【难易度】 【详解】 ，cos1sin()xx21cosx: ，即2in()x: 当 时， ，00xsi()x ，即 与 同阶但不等价的无穷小，故选（C）.1()2x() 2、已知 由
2、方程 确定，则 （ ） yfcosln1xy2lim()1nf （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】 （A） 【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】 【详解】当 时， .0x1y002()2(2)1(2)lim()lilimli (0)nnxxfffff f 方程 两边同时对 求导，得cos()l1xyin0y 将 ， 代入计算，得 0x1y()f 2 所以， ，选（A）.2lim()1nf 3、设 ， ，则（ ）si0,)xf0()xFftd （A） 为 的跳跃间断点 （B） 为 的可去间断点x()F()Fx （C） 在 处连续不可导 （D） 在 处可导 【答案】 （C
3、） 【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】 【详解】 ， ，2002()sinsisinFtdttd(0)2F ， 在 处连续.0()x ， ，00()limxftdftF 00()()()lim2xftdftF ，故 在 处不可导.选（C）.()F 4、设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ） 1()lnxexf1()fxd （A） （B） （C） （D）222002 【答案】 （D） 【考点】无穷限的反常积分 【难易度】 【详解】 11()()()eefxdfxfxd 由 收敛可知， 与 均收敛. ， 是瑕点，因为 收敛，所以111()()eefxddx 11()edx121()(l
4、n)lnee ef xx ，要使其收敛，则 0 3 所以， ，选 D.02 5、设 ，其中函数 可微，则 （ ）()yzfxfxzy （A） （B） （C） （D）2f2()yf2()fx2()fxy 【答案】 （A） 【考点】多元函数的偏导数 【难易度】 【详解】 ， 22()()zyfxfxy1()()zfxyf22()()()()xffffyy ，故选（A）.11()ffxfyfxyf 6、设 是圆域 位于第 象限的部分，记kD2(,)k ，则（ ）()134kIyxdk （A） （B） （C） （D）1020I30I40I 【答案】 （B） 【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难
5、易度】 【详解】根据对称性可知， .130I （ ） ， （ ）2()0DIyxdyx4()0DIyxd0yx 因此，选 B. 7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ） （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】 （B） 4 【考点】等价向量组 【难易度】 【详解】将矩阵 、 按列分块， ，AC1(,)nA 1(,)nC 由于 ，故B 11 1(,)(,)n nnb 即 111,n
6、nbb 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示. 由于 B 可逆，故 ，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）.1B 8、矩阵 与 相似的充分必要条件是（ ） 1ab20b （A） 0,2a （B） 为任意常数b （C） , （D） 为任意常数2a 【答案】 （B） 【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】 【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. 由 的特征值为 2， ，0 可知，矩阵 的特征值也是 2， ，0. 20bb1aAbb 因此， 22 112 400aEAaa 将 代入可知，矩阵 的特0a1b征值为 2， ，0.b
7、此时，两矩阵相似，与 的取值无关，故选（B）. 5 二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、 . 10ln()lim2xx 【答案】 12e 【考点】两个重要极限 【难易度】 【详解】 011 ln()ln(1)1ln()1ln()lim00 0ln()l(lim2lilixxx xx xx ee 其中， 20000l()l(1)li1imlili2(1)2x xxx 故原式= 2e 10、设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 .1()xtfed()yfx1()fy00ydx 【答案】 1e 【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
8、【难易度】 【详解】由题意可知， (1)0f .101()xxyxdyddfxeyee 11、设封闭曲线 的极坐标方程方程为 ，则 所围平面图形的面积是 .Lcos3()6rL 【答案】 12 【考点】定积分的几何应用平面图形的面积 6 【难易度】 【详解】面积 62266600 011cos1sin()cos3()212Srddd 12、曲线 上对应于 点处的法线方程为 .2 arctn,l1xy1t 【答案】 04 【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】 【详解】由题意可知， ，故 1221()/tdytttx1tdyx 曲线对应于 点处的法线斜率为 .1t 1k 当 时， ，
9、.t4xln2y 法线方程为 ，即 .l()ln204yx 13、已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的321xye2xe23xe 3 个解，则该方程满足条件 ， 的解为 .0xy01xy 【答案】 32xye 【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】 【详解】 ， 是对应齐次微分方程的解.312xye23xye 由分析知， 是非齐次微分方程的特解.* 故原方程的通解为 ， 为任意常数.321()xxyCee12,C 由 ， 可得 ， .0xy0x 20 7 通解为 .32xxye 14、设 是 3 阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若()ijAa i
10、jija ，则 .0,12,ijij 【答案】-1 【考点】伴随矩阵 【难易度】 【详解】 *0TTijijijijaAaAAE 等式两边取行列式得 或2301 当 时， （与已知矛盾）T 所以 .1A 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15、 （本题满分 10 分） 当 时， 与 为等价无穷小，求 和 的值.0x1cos2cos3xxnana 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】 【详解】 0 0 cos64cos2111cos2cos3limlimn nx xxaxa1364niix20cos1scol
11、i()nxax 故 ，即 时，上式极限存在.2n 8 当 时，由题意得2n0 01coscos36cos1s4co23614limlim88nx xxxaaa 72,n 16、 （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， ， 分别是 D 绕 x 轴， 13yxa(0)xxVy y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值.1yVa 【考点】旋转体的体积 【难易度】 【详解】根据题意， 155233300()aaxdx . 1773330062aayVd 因 ，故 .yx 7533aa 17、 （本题满分 10 分） 设平面区域 D 由直线 ， ， 围成，求 3
12、xyx8y2Dxdy 【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】 【详解】根据题意 ，3286yxy16328xyx 故 236822203xxDxdydd 26434021416()83x 18、 （本题满分 10 分） 设奇函数 在 上具有二阶导数，且()fx1,，证明：(1)f 9 （）存在 ，使得 ；(0,1)()1f （）存在 ，使得 .()f 【考点】罗尔定理 【难易度】 【详解】 （）由于 在 上为奇函数，故()fx1,(0)f 令 ，则 在 上连续，在 上可导，且 ，()FxfF0,1(1)0Ff .由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 .00() （）考虑 ()1()xxxfxf
13、effefexe 令 ，由于 是奇函数，所以 是偶函数，由（）的结论可知，()()xgfe()f ()fx ， .由罗尔定理可知，存在 ，使得1f 0g(1,) ，即 .()0()ff 19、 （本题满分 10 分） 求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.331(0,)xyxy 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】 【详解】设 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为(,)Mxy 2dxy 构造拉格朗日函数 233(1)Fxy 由 得 233 ()01xyyx 点 到原点的距离为 ，然后考虑边界点，即 ， ，它们到原点的(1,)2d(1,0), 距离都是 1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距
14、离为 ，最短距离为 1.2 10 20、 （本题满分 11 分） 设函数 1()lnfx （）求 的最小值； （）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.nx1lnxlimnx 【考点】函数的极值；单调有界准则 【难易度】 【详解】 （）由题意， ，()lnfx0x21()xfx 令 ，得唯一驻点()0fx1 当 时， ；当 时， .1()fx()fx 所以 是 的极小值点，即最小值点，最小值为 .x (1)f （）由（）知 ，又由已知 ，可知 ，即1lnx1lnx1nx1nx 故数列 单调递增.nx 又由 ，故 ，所以数列 有上界.1lnln10nxxenx 所以 存在，设为 A.limnx
15、 在 两边取极限得 1ln1lnA 在 两边取极限得 lnxl 所以 即 .1lAlim1nx 21、 （本题满分 11 分） 11 设曲线 的方程为 满足L21ln()4yxxe （）求 的弧长； （）设 D 是由曲线 ，直线 ， 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心 【难易度】 【详解】 （）设弧长为 ，由弧长的计算公式，得S22221111()()()()ee e eSydxxdxdxd221 1()(ln)44ee （）由形心的计算公式，得 221ln2410l(ln)4exDxdyxxddy . 42 2331
16、1()()67eee 22、 （本题满分 11 分） 设 ， ，当 为何值时，存在矩阵 C 使得 ，并求所有矩10aA1Bb,aAB 阵 C. 【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】 【详解】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 .由 可得1234xCACB 整理后可得方程组 12123434001xxab 2314230xab 由于矩阵 C 存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换： 12 0101011010aaabbb 方程组有解，故 ， ，即 ， .10a10 当 ， 时，增广矩阵变为b00 为自由变量，令 ，代入相应齐次方程组，得34,x341,x21,x
17、 令 ，代入相应齐次方程组，得021,x 故 ， ，令 ，得特解1(,)T2(,0)T340(,0)T 方程组的通解为 （ 为任意常数）11212(,)Txkkk12k 所以 .122C 23、 （本题满分 11 分） 设二次型 ，记 ，2123123123(,)()()fxaxxbx123a123b （）证明二次型 f 对应的矩阵为 ；T （）若 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为, 21y 【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】 【详解】 （）证明： 2123123123(,)()()fxaxxbx 13 1111123232323(,)(,)(,)(,)axbxx x ，其中 112323(,)()TTxxAT 所以二次型 f 对应的矩阵为 .T （）由于 正交，故,0 因 均为单位向量，故 ，即 .同理,1TT1T2(2)22TAA 由于 ，故 A 有特征值 .01 ，由于 ，故 A 有特征值()T021 又因为 ，)(2)(2)()()()123TTTTTrrrr 所以 ，故 .0A3 三阶矩阵 A 的特征值为 2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为 .21y
