1、=4 悖论引发的 关于无穷小和极限的一些思考 问题：（转载自人人网） 如何证明 Pi=4： 画个圆，直径 d=1，然后画个框住它的正方形，周长为 4，在正方形四个角去四 块，周长还是 4，然后这么一直去下去，周长一直为 4 不变，直到这个正方形 无限接近于圆，所以 Pi=4？ 显然，我们都坚信上述 =4 的结论是个谬论，但却很难说清到底问题出在 了哪里。 相似的问题如下： IED HGFC ED BCA 如图，线段 AB 为单位线段， ABC 为直角三角形， ACBC 。取 AC、 BC、 AB 中 点 D、 E、 C，连接 DC、 EC构成新折线 ADCEB；然后继续取各边中点、连 线，将大
2、三角形分成更多的 全等的小三角形 ，构成新的折边更多的折线。一直 这么分下去，当小三角形个数为无穷多时，折线无限接近于线段 AB。而折线的 长度永远等于 AC BC 的长度，于是得出结论：线段 AB 长度等于折线长度，亦 即 AC BC 的长度？ 产生类似谬论的原因，在于对无穷小和极限概念理解不准确。在解决上述 问题之前，我们可以先看一下艾萨克牛顿在自然哲学之数学原理一书中 对极限理论的应用（虽然当时极限理论刚刚建立起来，还很不完善，但是正因 为此，极限思想更为朴素，对解决类似几何问题有很大助益） 。 自然哲学之数学原理 第一篇 第一章 引理 8 命题：如果直线 AR， BR 与弧 ACB，弦
3、 AB 以及切线 AD 组成任意三角形 RAB， RACB， RAD，而且点 A 与 B 相互趋近并重合，则这些趋于零的三角形的最 后形式是相似（全等 引用者注）三角形，它们的最终比值相等。 DB dA r bRCc 证明：当点 B 趋近于点 A 时，设想 AB， AD， AR 延伸至远点 b， d 和 r，作 rbd CED BCA 平行于 RD，令弧 Acb 总是相似于弧 ACB。在设点 A 与 B 重合，则角 bAd 将消失， 所以，三个三角形， rAb， rAcb， rAd（总是有限的）也将重合，也就是说相似 且相等。所以，总是与它们相似的并成正比的三角形 RAB， RACB， RAD
4、 相互间也 将既相似且相等。 这个证明看起来是很自然的，但是其中隐藏着和上述两个问题相同的“问 题”：当 A 和 B 重合后，ARB、ARD 、扇形 ARBC 都退化成了直线，怎么可 能相似于rAb、rAd 和扇形 rAcb？ 当然，牛顿的叙述有些不严谨， “A 与 B 重合”的含义是 A 点趋近于 B 点。 “趋近于”不代表“等于” ，并且在这个过程中永远不会等于。 但是，如果 A 与 B 不重合，rAb，rAcb，rAd 怎么可能重合呢？我们应当注 意到在命题中描述的是 这些趋于零的三角形的最后形式是相似三角形，它们的 最终比值相等。 “最终比值”这个词是很有意义的，它表达了“取极限”的过
5、程， 暗示了“重合”只是极限状态；同时还说明了“极限”只有在具体量的变化中 才有意义。 其次，在证明中我们看到，不论变化到什么地步，某些几何关系是恒存在 的，如相似。同样的，如果 A 点真的与 B 点重合了，这些相似关系当然不存在 了，但“重合”不是在极限的变化之中的，正如一个数列的极限不在数列之中 一样。下面我们将这两点运用到对上述问题的思考中来。 我们注意到，在前两个问题的证明论述中，都用到了“正方形无限接近于 圆”或“折线无限接近于线段” ，这类描述几何图形的极限的语言。但是， “几 何图形的极限”这一含义是模糊的，因为几何图形的属性以及多个几何图形之 间的关系是复杂的，牵涉其中的度量量
6、也是很多的，但是这些量之间又不一定 存在确定的关系（如周长与面积，同面积的图形周长不一定相等，反之亦然） ， 所以我们无法通过一个量的最终性质完全地确定其它量，即不能通过一个量确 定几何图形的所有性质。换句话说，我们只能讨论变化的量的极限，而讨论几 何图形的极限是没有确切意义的。 在上述三个问题中，我们可以用以下方式描述“几何的极限” 。问题中，我 们可以作内圆的外接折线形的外接圆，在变化过程中，内外两个圆的半径无限 接近，也就意味着内圆的外接折线形上任意一点到内圆的距离可以小于任意给 定值。这便是“外接折线形无限接近于圆”的确切含义。在简化问题中，我们 可以把三角形的直角顶点相连，得到与 A
7、B 平行的一条直线，两条线的距离在 变化过程中趋近于零，同样说明了折线上任意一点到 AB 的距离小于任意给定 值。而在引理 8 中， “点 A 与 B 重合”和“三角形 rAb，rAcb ，rAd 重合”的数 学描述是“A 与 B 的距离趋近于零”和“BAD”的角度趋近于零。 这样一来，将几何图形的极限的意义在数学上明确了，并暗示了在极限过 程中两个图形面积相等的必然性，而将周长问题孤立出来了。 我们都知道，面积相等的图形周长不一定相等。所以正方形的面积的极限 和圆面积相等与周长的极限为何值没有任何关系。然而上述三个极限的数学描 述中，只对面积关系产生了制约，却没有对周长关系产生任何影响，因为在无 限接近于零的空间中的曲线长度可以为任意值，只要空间没有完全消失。而 “空间完全消失”这一状态不在极限变化中。所以折线形的周长与直角特性没 有丝毫改变，在极限变化过程中始终如一。它依旧是折线形，不论上面的点距 离圆多么近。 所以，=4 谬论的错误就在于 将不存在于变化之中的状态与取极限过程中 的状态混为一谈。在以后的学习中，我们应注意避免这一问题。
