1、 第 1 页 共 11 页 三个“二次”间的关系 一 知识梳理 一二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 b 24ac 0 0 0)的图象 x y Ox1 x2 x y O x1x 2 x y O 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两相异实根 x1, x2 b 2a 有两相等实根 x1x 2 b2a 没有实根 ax2bxc0 (a0) x|xx2 (x1x 2) R一元二次 不等式解集 ax2bx+c0) x|x1A; 若不等式 f(x)A; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 的解集为 D; 若不等式 f(x)0 时, 44a 2.当 0,即 00,解为 xR
2、 且 x1.0.令 f(a)(x3)ax 26x 9.因 为 f(a)0 在| a|1 时恒成立,所以 若 x3,则 f(a)0,不符合题意,应舍去 若 x3,则由一次函数的单调性,可得Error!,即Error!,解得 x4. 【课堂练习 5】1. (2014 湘潭模拟)对于满足 0a4 的实数 a,使 x2ax4xa3 恒成立的 x 取值范围 是_ 解析:原不等式等价于 x2ax4x a30,a( x1)x 24x30,令 f(a)a( x1)x 24x3,则 函数 f(a)a(x1)x 24x 3 表示直线,要使 f(a)a (x1)x 24x30,则有 f(0)0,f (4)0,即 x
3、24x30 且 x210 ,得 x3 或 x0),若 1, 21,使得 f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是 ( ) 第 9 页 共 11 页 A 1(0,2B 1,32C (0,3D 3,) 【答案】D 3. (2015丽水模拟)当 x(,1时,不等式( m2m )4x2 x0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A(2,1) B(4,3) C(1,2) D(3,4) 解析:选 C 原不等式变形为 m2m x,函数 y x在( ,1上是减函数, x 1 2,( 12) (12) (12) (12) 当 x( ,1时,m 2m x恒成立等价于 m2m2,解得1m2.( 12)
4、 4. (2012 广东)设 a1,集合 , 20,3(1)60ARBRaxDAB (1)求集合 D(用区间表示) ; 解析:()设 ,其对称轴为 ,2()3()6gxax4x 判别式 , ,1948a(0)ga 当 时, ,B=R, ;130,DAB 当 时, , 的两根为 , ,()gx13()4x23(1)4ax 当 即 a0 时, , , ;A ()406g12012(,)(,)12(0,),)Dx 当 即 时, , ;B 3(1)a12x2(,)Dx 当 即 时, , , ;C ()041(0)g122, 综上所述:当 时, ;3,D 当 时, ,1a()(3)3()(1), ,)4
5、4aaaa 当 时, .01, 5. 已知函数 .)(log)(2axxf (1)若 ,求 ;4f (2)若 时,函数 恒有意义,求实数 的取值范围;,a (3)函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 1,求实数 的值。()fx0, a 解答 (1) 所以 3 分252log1a(4)ff162log4 (2) 即:当 时 恒成立,当 时,,4x0xR 当 时, 恒成立, ,当 时恒成立0x20x2aax0,2 即: ,所以 7 分min4a, 第 10 页 共 11 页 (3) 令 由(2)知,2()4hxa,4a (i)若 ,则 的对称轴 ,则 ,所以,0()hx02minax()(0)4
6、28ha 82maxin()log4af824 ,a (ii)若 ,则 的对称轴 ,则0()hx0,12a ,所以 2minax()4()8ah 28max4in()logaf2 ,与 矛盾20或 0, (iii )若 ,则 的对称轴 ,则,4()hx1,2a2minax()()40ah 所以 ,根据题意,有 24minax()logaf 22442log1log1a ,其中 满足条件,综上: 或 12 分2248a0 6. 已知函数 是定义在(-,+)上的奇函数.)1,0(41)( axfx且 (1)求 的值;a (2)求函数 的值域;f (3)当 , 恒成立,求实数 t 的取值范围.高&考%资( 源、网 c,0(2)(xt 解析 (1)f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,f(0)=0. 即 1- =0, 解得 a=2. 42a0 a (2)y= ,2 x= ,由 2x0 知 0, -11, 所以 m 对任意 t1 成立 t 1t2 t 1 1t 1 1t 1 1 第 11 页 共 11 页 因为 t1 12 13, 所以 , 1t 1 (t 1) 1t 1 1t 1 1t 1 1 13 当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是 .( , 13