1、 励德教育辅导机构 （ 高中、初中、小学） 地址：大良环市北路北区邮局斜对面利德大厦二楼 电话：22119000 勾股定理的证明 【证法 1】 （课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c， 再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即ba2142142 ， 整理得 22c. 【证法 2】 （邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A
2、、E、B 三点在一条 直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C、 G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH Rt HAE, HGD = EHA . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba . 22c. D G
3、 C F A H E B a b c a b c a b c a bc b ab a b a ba cb a c b a c b a c ba c b a c b a 2 a b a bcc A B C D E 【证法 3】 （赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ ba） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. RtDAH Rt ABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH
4、=HE = ba , HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2ab. 2214cba . 2. 【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于 2 1 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条 直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 21c . 又 DAE = 90,
5、 EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 21ba . 2211caba . cb. b a c G D A C B F EH 3 P H G F E D C BA ab c a b c ab c a bc c c c b a c b a A B C E F P Q M N 【证法 5】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、 E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长 线交 DF 于点 P. D、E 、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF
6、= BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180 90= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,212Sbaac , 22cba. 【证法 6】 （项明达证明） 做两个
7、全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜 边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A 、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA =
8、c， 4 RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. 【证法 9】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长 为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC ，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC . 又 DHA = 90， BCA = 90，AD
9、= AB = c ， RtDHA Rt BCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法知 PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a ，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TF AF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直
10、角梯形，上底 TF=ba ，下底 BP= b，高 FP=a +（ba ）. 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSc bab8 = 2 1 ，95 ， 8 2431SS = 812S . 把代入，得 981212bc = 92b = 2ab. ca. 【证法 8】 （利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长 为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB，
11、9 8 7 6543 2 1 P Q R T H G F E D CB A a b c a bcc c A BD C a c b 5 即 ABDC2. 同理可证，CDB ACB ，从而有 ABDC2. 22AB，即 cba. 【证法 7】 （欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 21a ， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，
12、 矩形 ADLM 的面积 = 2. 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 22bac ，即 22ca. 【证法 10】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做三个边长分 别为 a、b、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， MH Q R T G F E D C B A c b a 8 7 6 54 3 2 1 c b a c ba A B C D E F G H M
13、 L K 6 TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT Rt ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba . 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC . DB = EBED = b a， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 27S. 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE Rt QAM . 又 RtHBT RtABE. 所以
14、 RtHBT Rt QAM . 即 58. 由 RtABE Rt QAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR . 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF Rt ARC. 即 64S. 543212SSc， 12a， 8732Sb， 又 7， 58， 6， 873612ba = 524 = 2c， 即 2. 【证法 11】 （利用切割线定理证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心
15、a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为 BCA = 90，点 C 在 B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得ADE2 = = ac = 2， 即 2b， 2ca. 【证法 12】 （利用多列米定理证明） a ba a B A C E Dc 7 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）. 过点 A 作 ADCB ，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据 多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 DACDA ， A
16、B = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， 22B，即 22bc， a. 【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtABC 的内切 圆O ，切点分别为 D、E、F（如图） ，设 O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， BFACDBABCA = = r + r = 2r, 即 rcba2， . ， 即 2224cr， abSABC 1 ， ， 又 AOCBAOBCS = bracr2 1 = rca = rc2 1 = 2， ABCrc42， a
17、b， 22ca， 22cba. 【证法 14】 （利用反证法证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长 为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 假设 22cba，即假设 22ABC，则由AB = = D 可知 A2，或者 2. 即 AD：ACAC：AB，或者 BD： BCBC：AB. 在 ADC 和 ACB 中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则 ADCACB. 在 CDB 和 ACB 中， b aca b c A C BD c b a r r rO F E D CB A A BD C a c b 8 B = B， 若 BD：
18、BCBC：AB，则 CDB ACB. 又 ACB = 90， ADC90，CDB90. 这与作法 CDAB 矛盾. 所以， 22ABC的假设不能成立. 22cba. 【证法 15】 （辛卜松证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方 形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的 面积为 abba22；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则 正方形 ABCD 的面积为 214cab = 2. 22c, cba. 【证法 16】 （陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，
19、斜边的长为 c. 做两个边长分 别为 a、b 的正方形（ba ） ，把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直 线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC， 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b. 又 CMD = 90，CM = a， AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC ，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180， ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC =
20、90. ab2121ab21ab21c2b2aA AD D B BC C b a b a b a b ab a cc c c b a ab ab b ab a A B C DE F G H M a b c ab c a c a b c1 2 3 45 6 7 9 作 ABDC ，CB DA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF= DAE . 连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上. 在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF Rt BCG. 5432SSc， 6212Sb， 732Sa， 7651， 6213ba = 72 = 543SS =c 22ba.
