1、1 原子物理学课后前六章答案（第四版） 杨福家著 (高等教育出版社) 第一章：原子的位形：卢瑟福模型 第二章：原子的量子态：波尔模型 第三章：量子力学导论 第四章：原子的精细结构：电子的自旋 第五章：多电子原子：泡利原理 第六章：X 射线 第一章 习题 1、2 解 1.1 速度为 v 的非相对论的 粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明： 粒子的最大偏离角约为 10-4rad. 要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电 子要动. 证明：设 粒子的质量为 M，碰撞前速度为 V，沿 X 方向入射；碰撞后，速度为 V，沿 方向散射。电子
2、质量用 me 表示，碰撞前静止在坐标原点 O 处，碰撞后以速度 v 沿 方向反冲。 粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守 恒，有： 222111mMVe （1） coscosve （2） insin0e （3） 作运算：（2）sin(3)cos,得 )sin( VMvme （4）)sin(VM （5） 再将（4） 、 （5）二式与（1）式联立，消去与 v， 2 )(sin)(sin2222 VmMVMe 化简上式，得 222 sisi)(si e （） 若记 Mme ，可将（）式改写为 222 sinsin)(sin （） 视 为 的函数 （） ，对（7）式求 的极值，有 )(2sisi)
3、si(2si d 令 0 ，则 sin2(+)-sin2=0 即 2cos(+2)sin=0 若 sin=0, 则 =0（极小） （8） （2）若 cos(+2)=0 ,则 =90-2 （9） 将（9）式代入（7）式，有 2202)(9sinsinsin 由此可得 18364 Mmesin 10-4 弧度（极大）此题得证。 1.2（1）动能为 5.00MeV 的 粒子被金核以 90散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？ （2）如果金箔厚 1.0 m，则入射 粒子束以大于 90散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之 几？ 要点分析:第二问是 90180范围的积分.关键要知道 n, 注
4、意推导出 n 值. ANAVVNNn )(1molA总 分 子 数 ,其他值从书中参考列表中找. 解：（1）依 2 cotab 和 E eZa0214 金的原子序数 Z2=79 )(10752.45cot.579ct42 50 mEeZ 3 答：散射角为 90 所对所对应的瞄准距离为 22.8fm. (2)解: 第二问解的要点是注意将大于 90的散射全部积分出来. (问题不知道 nA,但可从密度与原子量关系找出) 从书后物质密度表和原子量表中查出 ZAu=79,AAu=197, Au=1.888104kg/m3 依: dantNdsin2si164 2 16422sindatNd )2(sin
5、2sin)(cos2sinsin ddd dEZnt 2 422 2sin16coi)()4e( dEZnt 2 322 2sin16co)()4e( 2 422 2sin16)i(i4)()4e( dEZnt 注意到： ANAVVNNn )(molA总 分 子 数 即单位体积内的粒子数 为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。 22)(4 )ent(EZ 是常数其值为 5-2215-2376- 10486.9).07(4)0(.41906.0.810. 4 2323 1sin)i(sincodI 最后结果为：dN/N=9.610-5，说明大角度散射几率十分小。 1-31-4 练习参考答案（后
6、面为褚圣麟 1-31-4 作业） 1-3 试问 4.5MeV 的 粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为 7Li 核,则结果如何? 要点分析: 计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。 解: 对心碰撞时 2cs1arm ， 180时 ， aarm90cs12 离金核最小距离 f56.5.479401EeZrm 离 7Li 核最小距离 fm92.1.32021 earm 结果说明: 靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径. 反之易反。 1-4 假定金核半径为 7.0 fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？ 若金核改为铝
7、时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核的半径为 4.0 fm。 要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时, m 30范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数 目为： 1803022321421803Agg sin4.Zsind6d AgNtt 被散射的相对质子总数为 218sini4)10.(4)10.( 22531251 EZAtEZNAt gugAu 将已知数据代入： NA=6.021023,E=1.0MeV,t=0.916m,ZAu=79,AAu=197,Au=18.88103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,Ag=10.
8、5103kg/m3 1.02810-5 结果讨论: 此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力. 1-10 由加速器产生的能量为 1.2MeV、束流为 5.0 nA 的质子束，垂直地射到厚为 1.5m 的金箔上，试求 5 min 内被 金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度（=1.888104 kg/m3） 1 5961; 2 0=60 3 0=60的值。21 1809 9 9102 2605.7105.705.73.75sinsin 解：3 由于 0的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为 10-180，然后 用总数减去所积值，
9、即 0=10的值。 13 21 1809 9 912105.7105.75.732.6840sinsin 总数为 9.361012-7.561011=8.61012 (个 第二章习题解答 2.1 铯的逸出功为 1.9eV，试求： （1）铯的光电效应阈频率及阈值波长； （2）如果要得到能量为 1.5eV 的光电子，必须使用多少波长的光照射？ 解： 光电效应方程 21mvh （1）由题意知 即 001415.9.9436eHzhvs Knm （2） 1mve .5ch.24364.71.51.9cnKevnmev 2.2 对于氢原子、一次电离的氢离子 He 和两次电离的锂 离子 Li ，分别计算它
10、们的： 14 （1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能； （3）由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长。 解： （1）由波尔理论及电子的轨道半径公式 ， r 1为氢原子第一波尔半径znr2122201 04()(97.3)0.53.5eecra mnm 氢原子第二波尔半径 可知： He + (Z=2) Li+ + (Z=3) 电子在波尔轨道上的速率为 于是有 H : 611612 2.9037.0vcmss He+ : 61124.8vcsm Li+ + : 61123.570vcs (2) 电子在基态的结合能 Ek在数值上
11、等于原子的基态能量。由波尔理论的能量公式 可得 故有 H : 13.6kEev He+ : 254. Li+ : .kev 214rnrn21.60.arm12.763.5anrnzvc 21()nezEmcn22()13.6mczev 15 （3）以电压加速电子，使之于原子碰撞，把原子从基态激发到较高能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态 激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势。 21213.6()EVze 对 H : 12.)0.4v He+ : 2(18 Li+ : 123.6)9.Vv 共振线（即赖曼系第一条）的波长： 1212Ehc H : 12.4.60nmkevn
12、 He+ : 34.8 Li+ : 121.59kev 2.3 欲使电子与处于基态的锂离子 Li 发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能？ 解： Li+ +基态能量为 ，从基态到第一激发态所需能量为21()1.4eEmczevvZ8.9136.322 故电子必须具有 91.8ev 的动能. 2.4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使锂原子发射出光子，质子至少应多大的速度 运动？ 解： 欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子从基态激发到第一激发态，因此有： evEMmvEHppk 4.20)1(21128420.436.98kpevcsms （质子静止能量 ）3m
13、 2.5 （1）原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是 按波尔兹曼分布的，即处于能量为 En的激发态的原子数为： 16 1()1nEkTngNe 式中 N1是能量为 E1状态的原子数，k 为玻尔兹曼常量，g n和 g1为相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大 气压、20温度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态？已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权 重分别为 g1=2 和 g2=8。 （2）电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要观察到 H 线，试问电子的最小动能为多大？ 略。 2.6 在波长从 95nm 到 125nm 的光带范围内，氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线？ 解
14、： 对于 ，有min952in11()R97mi1n501.304.81 故 的波长的光子不足以将氢原子激发到 n=5 的激发态，但可以将氢原子激发到 n=4 的激发态min95 n 1=4 同理有： 97mi2n2510.310.9R 对应于 n=1 的辐射光子的波长应比 125nm 更长，在波段以外 n 2=2 又 氢原子的吸收谱对应于赖曼系， 在（95125nm）波段内只能观察到 3 条 即 (1,2)3,4mn23 2.7 试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于 133.7nm？ 解： 17 赖曼系主线： 2213()4RZZ赖 巴耳末主线： 256R巴 二主线波长差： n
15、mRZZRZ 7.1358)201(53456 2222 赖巴 2 78 41.793nm 2.8 一次电离的氢原子 He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能量处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试 求该电子的速度。 解： He+从 E2E 1跃迁辐射的光子的能量为 221(1)3hRcZRhc 氢原子的电离能为 10()E 电离的电子的能量为 32kRhchc 该电子的速度为 1963241.60.09keeEv msm 2.9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求出：（1）基态时两电子之间的距离；（2）基 态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能；（3）由第一
16、激发态退激到基态所放光子的波长。 解： 电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替，对电子偶素， 其折合质量为： 2eemM 18 （1） 22001 140.53.106eranmm （2）电离能为 1i AERhc 式中 2AeRM 于是 761.0931.2410.8iEhcev 则电离电势为 68iiVve 第一激发电势为 22121()35.10ARhcZERhcveee （3）共振线波长为 312.4024.51hcnmvnEe 2.10 子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的 207 倍外，其余性质与电子都一样。当它运动
17、速度较 慢时，被质子俘获形成 子原子，试计算：（1） 子原子的第一波尔轨道半径；（2） 子原子的最低能量；（3） 子原子赖曼线系中的最短波长。 解： （1） 子原子可看作类氢体系，应用波尔理论，其轨道半径为 204nreZ 式中 71836.022eeemMm 其第一波尔半径为 2 401140.532.81086. 6eanr n （2） 子原子的能量公式为 2 211()86.0()n ezzEcmcn 最低能量 19 2 3186.0()186.032.5102eEmcevev （3）由波长公式 h3minax1.240.490(51)cnmevnE 2.11 已知氢和重氢的里德伯常量之
18、比为 0.999 728，而它们的核质量之比为 mH/mD=0.500 20，试计算质子质量与电子 质量之比。 解： 由 可知 1AeARmM0.97281eHDR 又 0.52HDM 1.978eHm 则 30.452136.107HeMm 2.12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时， （1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大？ （2）试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比。 解： （1）所发光子的能量 evRhcEh 2.106.34)21(12 光子的动量 evP.0 氢原子的反冲动量等于光子动量的大小，即 chPvMH反 smscmhHv26.31067.12.
19、089反 （2） 氢原子的反冲能量为 20 JJvmEHk 272272 108.)6.3(106.1 反 91974.5.08h 2.13 钠原子的基态为 3s，试问钠原子从 4P 激发态向低能级跃迁时，可产生几条谱线（不考虑精细结构）？ 解： 不考虑能级的精细结构，钠原子的能级图如下： S P D F 4F 4D 5S 4P 3D 4S 3P 3S 根据辐射的选择定则 可知，当钠原子从 4P 态向低能级跃迁时可产生 6 条光谱。1l 2.14 钠原子光谱的共振线（主线系第一条）的波长等于 =589.3nm，辅线系线限的波 长等于 =408.6nm，试求（ 1）3S、3P 对应的光谱项和能量
20、；（2）钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激 发能。 解： （1） 由 Na 的能级图可知，3P 能级的光谱项和能级分别为： 163 047.26.4081mnTpevKhcEpp 333 3S 能级的光谱项和能级可通过下式求出： 13psT 21 evmevnhcTEssps 14.5104.1024. .358976333 6961 （2）Na 原子的电离能为 si .5).(3 故电离电势为 veEVii14.5 第一激发电势为 vevesp 1.2)4.5(03.312 第三章题解 3-1 电子的能量分别为 10eV，100 eV，1000 eV 时，试计算相应的德布罗意波长
21、。 解：依计算电子能量和电子波长对应的公式 电子的能量: keek EmpE22 由德布罗意波长公式: Ke hh nE 261. m3801. . nm0.126 1.26 nm0.381 .263 3-2 设光子和电子的波长均为 0.4nm，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？ 22 （2）光子的动能与电子的动能之比是多少？ 解：（1）由 ph可知光子的动量等于电子的动量，即 p 光子 :p 电子 =1:1 （2）由 光子动能与波长的对应的关系 nmKeVE)(光 子光 子 1.24 电子动能与波长的关系 电 子电 子 1.26 nmE 2)(电 子电 子 1.6 则知 9 40
22、31.263电 子光 子E 3-3 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少? 解： （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是： 2mcE 20cmEk 0 021cv 412cv 24 24 3cv 所以 0.86cc4 3v （2） 根据电子波长的计算公式： 0.175nmeV15 .2nm)(1.2n3eVEk 3-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量若晶体的两相邻布喇格面间距为 0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为 30,试求这些热中子的能量 解：根据布喇格衍射公式
23、n=dsin 23 =dsin=0.18sin30nm=0.09 nm 1.26nm()kEeV 22.13.6eV185.6ek 3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正试证明：电子的德 布罗意波长与加速电压的关系应为： 1.26nmrV 式中 Vr=V(1+0.97810-6V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压 V 的单位是伏特 分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下 P即可 解. 证明： 根据相对论质量公式 021()mvc 将其平方整理乘 c2,得其能量动量关系式 2
24、220()vmc 2220cpmc22240Ep 20kE 0kE 24 20 0111()()k kcmcccc 222 262 1.6()()()1.61.1.2(09785)() ekeek kerehhpEEmEmcVVmc 题意得证. 3-6 (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于 24 120E 式中 Eo和 E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量(康普顿波长 c=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中 讨论) (2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? 证明：根据相对论能量公式 021()mvc 将其平方整理乘 c2 222
25、01()vmc 2220pcm22240Epc 0kEmc kE 224 201()()kccc24242000000111()()()k kpEmcEcEE （1）相对论下粒子的德布罗意波长为： 2000()() hhhcp 粒子的康普顿波长为 2000chchmE 2020 020()()1()c EhcE （2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长 20()1 200(),2EE 517.5KeV 25 072.512.5(KeV)kE 则电子的动能为 211.55KeV. 则电子的动能为 211.55KeV 注意变换：1. P 转化为 表示; 2. E 转化为 表示; 3-7 一原子的
26、激发态发射波长为 600nm 的光谱线，测得波长的精度为 710 ，试问该原子态的寿命为多长? 解： 依 htE 求 tch 2 c 2 Et schcEt 987910610346042 3-8 一个电子被禁闭在线度为 10fm 的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能 解： 2xp 粒子被束缚在线度为 r 的范围内，即 x = r 那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为： 2 p )(2xxpp 0x 平 均平 均)(23 1 电子的最小平均动能为 eVmrEk 821048 3. 3-9 已知粒子波函数 czbyaxN|ep ，试求：(1)归一化常数 N；(2)粒子的
27、x 坐标在 0到 a 之间的几 率；(3)粒子的 y 坐标和 z 坐标分别在-b+b 和-c+c. 之间的几率 解: (1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是: dv = 1 即: dzedyedxeNdv cba 22222 18 20002 abNcbea czbyax 26 所以 N abc8 1 (2) 粒子的 x 坐标在 a0区域内几率为: dzedyedxeN cba 22022)1(2142 eeabcN (3) 粒子的 ),(,czby区域内的几率为: dedxecba 2222 22)1(8eabN2)(e 3-10 若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它
28、的归一化空间波函数为 (x1，y 1，z 1；x 2，y 2，z 2)，其中足标 1，2 分别代表质子和电子，试写出： (1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度； (2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度； (3)发现两粒子都处于半径为 1、中心在坐标原点的球内的几率大小 3-11 对于在阱宽为 a 的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态 n中的平均值 x及 2)(，并证明：当 n时，上述结果与经典结果相一致 3-12 求氢原子 1s 态和 2P 态径向电荷密度的最大位置 第三章习题 13,14 3-13 设氢原子处在波函数为
29、13),( a rer 的基态，a 1为第一玻尔半径，试求势能rerU2041)( 的平均值 3-14 证明下列对易关系： ipy,0x,Lzxiy0,pzPLiyx 第三章习题 15解 3-15 设质量为 m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为: 27 V(x)=ax0 试求: (1)粒子能级表达式; (2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深 0V和阱宽 a之间满足关系式: mV320 解: (1) 在 xa , V 薛定谔方程为: 303EVxd (4) 整理后得: 0)(2303Emdx 令 /)(mk 则: 32k 方程的解为: xkBe3 (5) 式中 A,
30、B 为待定系数,根据标准化条件 的连续性,有 )()(32a 将(3),(5)式代人得: kctg (6) (2):证明: 令 kauv 则(6)式可改为: vuctg (7) 同时, u 和 v 还必须满足下列关系式: 20222 /)(ham (8) 联立(7) (8)可得粒子的能级的值 用图解法求解:在以 v 为纵轴 u 为横轴的直角坐标系中(7) (8) 两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解. 因 k k 都不是负数,故 u 和 v 不能取负值,因此只能取第一象限. 由图可知(7) (8)两式至少有一解得条件为: 20amv 即 maV320 28 4-l 一束电子进入 1.2T 的
31、均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大? 分析要点: m s=1/2,gs=2; BBszgm 解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投影 BBsz 依磁矩与磁场的作用能量 cosBE 自旋与磁场平行时 1 cos0ss BEB 自旋与磁场反平行时 2 cs18ss B 则 44212.05781.38910BE eVeV 4-2 试计算原子处于 23/D状态的磁矩 及投影 z 的可能值 解：已知：j=3/2, 2 s+1=2 s=1/2, l =2 则 5 4163212 )()(jgj 依据磁矩计算公式 29 BBjj gj 15 21)( 依据磁矩投影公式 jzgm
32、 5 6,2jgm BBz 5 6,2 4-3 试证实：原子在 6G32 状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释 解: 因为 2S+1=6 S=5/2 J = 3/2 l = 4 mj=3/2,1/2,-1/2,-3/2 25143132() 03jSLgJ gJmJ=0 这是一个多电子耦合系统,相互作用产生的总效果为零.说明多电子作用有互相抵消的情况. 4-4 在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围 d=10cm，磁极中心到屏的距离 D=25 cm如果银原子的速率为 400ms，线束在屏上的分裂间距为 2.0mm，试问
33、磁场强度 的梯度值应为多大?银原子的基态为 2S12 ，质量为 107.87u 解：原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示: K ZBEdzMgz 对原子态 2S1/2 L=0 S=1/2 J=1/2 故 M= 21朗德 g 因子为:g=2 对于上屏边缘的线束取 M=-J, 对于下屏边缘的线束取 M=J 所以 KZBE dDzJgz2DdJGZEzBBKZ .(1) mZ3102 1 g=2 14TeV10578.0B D 5 2d 代入上式得: T/m1024.z BZ 30 4-5在史特恩-盖拉赫实验中(图 19.1)，不均匀横向磁场梯度为 cmTzB/.05 ，磁极的纵向范围 d=10c
34、m，磁极中 心到屏的距离 D=30cm，使用的原子束是处于基态 4F3/2的钒原子，原子的动能 Ek=50MeV试求屏上线束边缘成分之间的 距离 解： 对于多个电子 2S+1=4 S=3/2 L=3， J=3/2 则 52)41(23)(2132 jlsgj ;jm 依公式 kT dDzBgZJ32 又 MeV502 12mV 3kT=mV2=0.1eV kT dDzBgmZJ32 = c509.50 1.53 和 kT dDzBgmZJ32 = cm0.17365 10.51 即: Z 3/2=2Z2(3/2)= 20.52092=1.42cm Z1/2=2Z2(1/2)= 20.1736=
35、0.347cm 4-6. 在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度为 400 K的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间距为 0.60cm若 把氢原子换成氯原子(基态为 2P32 )，其它实验条件不变，那么，在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多 少? 解： 已知 Z2=0.30cm T=400K 3kT=38.61710-5400eV=0.103eV J=1/2 gj=2 mjgj=1 由 k dDzBJ32 30.kTdDzB 当换为氯原子时，因其基态为 2P32 ，j =3/2, l=1 s =1/2 31 2323114()()5jslgj 2 3;12;3jmcz 0.6.3
36、423 cmz 0341 共有 2j+1=4 条，相邻两条间距为 |Z-Z|=0.4cm。 4-7 试问波数差为 29.6cm-1的赖曼系主线双重线，属于何种类氢离子? 解： 41 3134 8.5)(8.5)1( cmlnzcnlnz 6.29m 以为是赖曼系主线 n=2 L=1 代入上式 得，z=3 所以是 Li原子 又因为其为类氢离子 所以为 Li 4-8 试估计作用在氢原子 2P 态电子上的磁场强度 解: B hcB2 又由(21-13)式,=4.5310 -5eV T4.0178.52 345B 4-9 试用经典物理方法导出正常塞曼效应 4-10 Z=30 锌原子光谱中的一条谱线(
37、3S1 3p0)在 B 为 100T 的磁场中发生塞曼分裂，试问：从垂直于磁场方向观察， 原谱线分裂为几条?相邻两谱线的波数差等于多少?是否属于正常塞曼效应?并请画出相应的能级跃迁图 解： 已知：对于激发态 L=0，J=1, S=1. m1=0,1,在外磁场作用下，可以分裂为三条。 2) 0(23)(21321 Sg 对于基态 L=1，J=0, S=1 m2=0,在外磁场作用下，并不分裂。 23)0(3)(232 g 32 BgmEE )()( 121212 = BE2012 em2Bme420zeGH(T)1420 1)(467.02420 cmTBcmeBc =(0.934,0,-0.93
38、4)cm-1 所以原谱线在外加磁场中分裂为三条，垂直磁场可以看到三条谱线。m=0,+1,-1,分别对应于 ， +， -三条谱线。 虽然谱线一分为三，但彼此间间隔值为 2BB，并不是 BB，并非激发态和基态的 S=0，因 S0 所以它不是正常的塞曼效 应。 对应的能级跃迁图 4-11 试计算在 B 为 2.5T 的磁场中，钠原子的 D 双线所引起的塞曼分裂 解：A对于 2S1/2 态，用 213jlsgj ，将 s=1/2, l=0;j=1/2 代入，即可算出 gj=2；由于 j=1/2,因而 mj= 2 1 ， 于是 mjgj=1。 B.对于 P 态，相应的 l=1，因而 j=ls, s=1/
39、2,j=1/2，3/2，有两个原子态 2P1/2， 2P3/2。分别对应于 g1/2=2/3, m1g1=1/3 g3/2=4/3, m2g2=2/3 , 6/3 依 LgmghBgmg )(/)( 1212 LL34)3()(121 分裂为四条线。 34 LLgm135)362()(122 分裂为六条线。 4-12 注:此题(2)有两种理解(不同习题集不同做法,建议用第二种方法). 钾原子的价电子从第一激发态向基态跃迁时，产生两条精细结构谱线，其波长分别为 766.4nm 和 769.9nm，现将该原子置 于磁场 B 中(设为弱场)，使与此两精细结构谱线有关的能级进一步分裂 (1)试计算能级
40、分裂大小，并绘出分裂后的能级图 (2)如欲使分裂后的最高能级与最低能级间的差距 E 2 等于原能级差 E 1 的 1.5 倍，所加磁场 B 应为多大? 要点分析:钾原子的价电子从第一激发态向基态的跃迁类似于钠的精细结构。其能级图同上题。 解： (1) 先计算朗德因子和 mjgj A.对于 2S1/2 态，用 213jlsj ,将 s=1/2, l=0;j=1/2 代入，即可算出 gj=2；由于 j=1/2,因而 35 mj= 2 1 ，于是 mjgj=1。 B.对于 P 态，相应的 l=1，因而 j=ls, s=1/2,j=1/2，3/2，有两个原子态 2P1/2， 2P3/2。分别对应于 2
41、P1/2对应有 m 1=1/2, g1/2=2/3, m1g1=1/3 2P3/2对应有 m 2=1/2，g 3/2=4/3, m2g2=2/3 , 6/3 能级分裂大小: P3/2能级分裂大小: m 2g2从+6/3+2/3 为 4/3BB P1/2能级分裂大小: m 2g2从+1/3-1/3 为 2/3BB S1/2能级分裂大小: m 1g1从+1-1 为 2BB (2) 解: 有两种认为 : (2) 第一种认为:E =(E 2-E1) 与教材计算结果一致. 分裂后的最高能级 2P3/2, mJ=3/2 与最低能级差 2P1/2,mJ =-1/2 BEBBgE 37)3(6)( 11112
42、 若使 E 2=1.5E 1=1.5(E2- E1) 即 E 1+7/3BB=1.5E 1 即 7/3 BB=0.5E 1=0.5(E2-E1) =0.5(E2-E0)-(E1-E0)=0.5 21ch 即 21.537cB )T(17.2 10578.09.76 14.28.690.53.7 421 chB B=27.17 T (3) 第二种认为:E =(E 2-E0)与教材结果相差甚远 分裂后的最高能级 2P3/2, mJ =3/2 与最低能级差 2s1/2,mJ=-1/2 BEBBgE 3)1(36)( 111212 36 若使 E 2=1.5E 1 即 E 1+3BB=1.5E 1 即
43、 3 BB=0.5E 1=0.5(E2-E0) =0.5 1ch 10.53chB )T(3.468 10578.04.76128.1970.51.3 41 cB B=4648.3 T 4-13 假如原子所处的外磁场 B 大于该原子的内磁场，那么，原子的 LS 耦合将解脱，总轨道角动量 L 和总自旋角动 量 S 将分别独立地绕 B 旋进 (1)写出此时原子总磁矩 的表示式； (2)写出原子在此磁场 B中的取向能 E的表示式； (3)如置于 B磁场中的原子是钠，试计算其第一激发态和基态的能级分裂，绘出分裂后的能级图，并标出选择定则 (ms=0，m =0，1)所允许的跃迁 4-14 4-14 在居 B=4T的外磁场中，忽略自旋轨道相互作用，试求氢原子的 2P-1S跃迁 (=121 nm) 所产生的谱线的波长. 解： Bgmgh)(12 忽略自旋与轨道相互作用,即引起帕邢-巴克效应。 此时， BLSm eBUls)(2 37 或者 )(2)(2lseze m BLSmBU (1) 选择规则变为 ms=0， m =0，1
