1、北师大九年级上册第一章数学导学案 1.1 菱形的性质与判定 第 1 课时 菱形的性质 1经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系 2体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力(重难点) 阅读教材 P24，完成下列问题： (一)知识探究 1有一组_的平行四边形叫做菱形 2菱形具有_的一切性质 3菱形是_图形，它的_就是它的对称轴它有_对称轴，两 条对称轴互相垂直 4菱形的四条边都相等 5菱形的两条对角线_，并且每一条对角线平分一组_ (二)自学反馈 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O. (1)图中有哪些线段是
2、相等的？哪些角是相等的？ (2)有哪些特殊的三角形？ 活动 1 小组讨论 例 1 已知：如图，在菱形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：(1)ABBCCDAD； (2)ACBD. 北师大九年级上册第一章数学导学案 例 2 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BAD60，BD6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 此题由菱形的性质可知 ABAD，结合BAD60，即可得到ABD 是等边三角形，从而 可求 AB 的长度再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求 AO，继 而求出 AC. 活动 2 跟踪训练
3、1如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是( ) AABDC BACBD CACBD DOAOC 2如图，在菱形 ABCD 中，AC6，BD8，则菱形的边长为( ) A5 B10 C6 D8 3已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2 cm，则菱形的面积为( ) A3 cm 2 B4 cm 2 C. cm2 D2 cm23 3 4如图，在菱形 ABCD 中，AB5，BCD120，则对角线 AC 等于_ 5点 E 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，连接 AE、CE，找出图中一对全等三角形为 _ 6如图所示，在菱形 ABCD 中，ABC60，DEAC
4、交 BC 的延长线于点 E.求证：DE BE. 12 活动 3 课堂小结 1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的四条边相等 3菱形的对角线互相垂直 北师大九年级上册第一章数学导学案 北师大九年级上册第一章数学导学案 第 2 课时 菱形的判定 1理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法(重点) 2会用这些判定方法进行有关的论证和计算(难点) 阅读教材 P57，完成下列问题 (一)知识探究 1有一组_的平行四边形是菱形 2对角线_的平行四边形是菱形 3_的四边形是菱形 (二)自学反馈 判断下列说法是否正确： (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( ) (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(
5、) (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( ) (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形( ) 活动 1 小组讨论 例 1 已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ACBD.求证：ABCD 是菱形 例 2 已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB ，OA2，OB1.求证：5 ABCD 是菱形 活动 2 跟踪训练 1如图，在ABCD 中，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的是( ) AABBC BACBD CBD 平分ABC DACBD 2如图，已知 DEAC、DFAB，添加下列条件后，不能判断四边形 D
6、EAF 为菱形的是( ) AAD 平分BAC BABAC，且 BDCD CAD 为中线 DEFAD 3将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后 北师大九年级上册第一章数学导学案 得到的平面图形( ) A三角形 B不规则的四边形 C菱形 D一般平行四边形 4如图所示，在ABCD 中，ACBD，E 为 AB 中点，若 OE3，则ABCD 的周长是 _ 5如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是 E、F，并且 DEDF.求证： (1)ADECDF；(2)四边形 ABCD 是菱形 6.如图， 在 ABC 中，AC 的垂直平分线 MN
7、交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE/AB 交 MN 于 E，连结 AE、CD请判断四边形 ADCE 的形状，说明理由 活动 3 课堂小结 菱形常用的判定方法： 1有一组邻边相等的平行四边形是菱形2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3有四条边相等的四边形是菱形 北师大九年级上册第一章数学导学案 3 课时 菱形的性质与判定的运用 1能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法(重难点) 2经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法 阅读教材 P89，能灵活运用菱形的性质及判定 自学反馈 如图所示：在菱形 ABCD 中，AB6. (1)三
8、条边 AD、DC、BC 的长度分别是多少？(2)对角线 AC 与 BD 有什么位置关系？ (3)若ADC120，求 AC 的长；(4)求菱形 ABCD 的面积 活动 1 小组讨论 例 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求：(1)对角线 AC 的长度；(2)菱形 ABCD 的面积 活动 2 跟踪训练 1菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线 BD 长 10 cm，则ABC_， AC_cm. 2如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AC4 cm，BD8 cm，则这 个菱形的面积是_cm 2. 3
9、如图，ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CEAB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形 活动 3 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？ 北师大九年级上册第一章数学导学案 1.2 矩形的性质与判定 第 1 课时 矩形的性质 1掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系 2理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明(重点) 3会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力(难点) (一)知识探究 1有_的平行四边形叫做矩形 2生活中你见到过的矩形有_、_. 3矩形是_的
10、平行四边形，具有平行四边形的_性质 4矩形的_都是直角 5矩形的对角线_ 6直角三角形斜边上的中线等于斜边的_ (二)自学反馈 1矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？ 2请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“”，若“有病”请开药方： (1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角( ) (2)平行四边形是矩形( ) (3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平 行四边形的对角线互相平分)矩形也具有( ) 3已知ABC 是直角三角形，ABC90，BD 是斜边 AC 上的中线若 BD3 cm，则 AC_cm. 活动 1 小组讨
11、论 例 1 在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，AOD120，AB2.5 cm，求矩形对角线的长 活动 2 跟踪训练 1矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( ) A对边相互平行 B对角线相等 C对角线相互平分 D对角相等 2如果矩形的两条对角线所成的钝角是 120，那么对角线与矩形短边的长度之比为( ) A32 B21 C1.51 D11 3如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，AC，BD 相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是( ) A8 B6 C4 D2 北师大九年级上册第一章数学导学案 4如图，在 RtABC 中，ACB90，D、E 为 AB、AC 的中点则下列结论中错误的是
12、( ) ACDAD BBBCD CAED90 DAC2DE 5在直角三角形中，两条直角边的长分别为 12 和 5，则斜边上的中线长为_ 6矩形的一条对角线长 10 cm，且两条对角线的一个夹角为 60，则矩形的宽为_cm. 7如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AEAD，DFAE，垂足为 F.求 证：DFDC. 8.如图所示，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的点，AECF，连接 EF，BF，EF 与对角 线 AC 交于点 O，且 BEBF，BEF2BAC.（1）求证：OEOF ；（2）若 BC ，求 AB 的23 长. 活动 3 课堂小结 1有一个角是直
13、角的平行四边形叫做矩形2矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 北师大九年级上册第一章数学导学案 北师大九年级上册第一章数学导学案 第 2 课时 矩形的判定 能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力(重难点) 阅读教材 P1416，完成下列问题： (一)知识探究 1对角线_的平行四边形是矩形 2有三个角是_的四边形是矩形 (二)自学反馈 1能够判断一个四边形是矩形的条件是( ) A对角线相等 B对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2矩形的一组邻边分别长 3 cm 和 4 cm，则它的对角线长_cm. 3如
14、图，直线 EFMN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点， AB、CB、CD、 AD 分别是EAC、MCA、NCA、FAC 的平分线 (1)判断 AB 和 CD、BC 和 AD 的位置关系？ (2)ABC、BCD、CDA、DAB 各等于多少度？ (3)四边形 ABCD 是( ) A菱形 B平行四边形 C矩形 D不能确定 (4)AC 和 BD 有怎样的大小关系？为什么？ 活动 1 小组讨论 例 1 如图，在ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，ABO 是等边三角 形， AB4.求ABCD 的面积 活动 2 跟踪训练 1下列说法错误的是( ) A有一个内角是直角的平行四边形是矩形
15、B矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C对角线相等的平行四边形是矩形 D有两个角是直角的四边形是矩形 2如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) AABCD BADBC CABBC DACBD 3如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABDC，ABDC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边 形成为矩形，只需再加上一个条件是_(填上你认为正确的一个答案即可) 4直角AOB 内的任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6， 则图中 四边形的周长为 _ 北师大九年级上册第一章数学导学案 5如图，在ABCD 中，DEAB，BFCD，垂足分别为 E，F. 求
16、证：(1)ADECBF； (2) 四边形 BFDE 为矩形 6. 如图，在矩形 中， 相交于点 ， 平分 ，交 于点 .若 ， 求 的度数 . 7. 如图，矩形 的两条对角线交于点 ，过点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ，连 接 ，已知 的周长为 24 cm，求矩形 的周长？ 活动 3 课堂小结 矩形的判定方法： 1有一个角是直角的平行四边形是矩形2对角线相等的平行四边形是矩形 3有三个角是直角的四边形是矩形 北师大九年级上册第一章数学导学案 第 3 课时 矩形的性质与判定的运用 能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论(重难点) 阅读教材 P1618，完成下列问题
17、： 自学反馈 1如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知AOD120，AB2.5 cm，则 DAO_，AC_cm，S 矩形 ABCD_. 2如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件_，可使它成为矩形 活动 1 小组讨论 例 1 在矩形 ABCD 中，AD6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AEBD，垂足为 E，ED3BE.求 AE 的 长 例 2 如图，在ABC 中，ABAC，AD 为BAC 的平分线，AN 为ABC 外角CAM 的平分线， CEAN，垂足为 E.求证：四边形 ADCE 是矩形 活动 2 跟踪训练 1如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于
18、点 O，以下说法错误的是( ) AABC90 BACBD COAOB DOAAD 2如图，矩形的两条对角线的一个夹角为 60，两条对角线的长度的和为 20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( ) A10 cm B8 cm C6 cm D5 cm 北师大九年级上册第一章数学导学案 3-41 F E D CB A 3如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 EB，EC，DB， 添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( ) AABBE BDEDC CADB90 DCEDE 4在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若AOB60，AC
19、10，则 AB_. 5在四边形 ABCD 中，ABDC，C90，若再添加一个条件，就能推出四边形 ABCD 是矩形，你 所添加的条件是_(写出一种情况即可) 6如图，ABCD 中，点 O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线与 BA、DC 的延长线分别 交于点 E、F. (1)求证：AOECOF； (2)请连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是矩形，并说明理由 7.如图，在 Rt ABC 中，A = 90，AB = AC，D 是斜边 BC 上的一点， DEAB ，DFAC，垂足分别为 E、F. （1）求证：四边形 AEDF 是矩形；（2）试问：当点
20、D 位于 BC 边的什么位置时，四 边形 AEDF 是正方形？并证明你的结论. 8.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点且 AE=AD，又 于点 F，证明：EC=EF.AE 活动 3 课堂小结 北师大九年级上册第一章数学导学案 1说说你的收获2说说你的困惑3说说你的方法 北师大九年级上册第一章数学导学案 1.3 正方形的性质与判定 第 1 课时 正方形的性质 1在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证 明与计算(重难点) 2进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相 互转化的能力 阅读教材 P2021
21、，完成下列问题： (一)知识探究 1有_相等并且有一个角是_的_叫做正方形 2正方形既是_又是_，它既具有_的性质，又有_的性质 3正方形的_相等，都是_，_相等 4正方形的对角线_ (二)自学反馈 正方形的性质： 1边：_都相等且_ 2角：四个角都是_ 3对角线：两条对角线互相_且_，并且每一条对角线平分_ 4正方形既是_图形，又是_图形，正方形有_对称轴 活动 1 小组讨论 例 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CECF.BE 与 DF 之间 有怎样的关系？请说明理由 活动 2 跟踪训练 1菱形，矩形，正方形都具有的性质是( ) A对角线
22、相等且互相平分 B对角线相等且互相垂直平分 C对角线互相平分 D四条边相等，四个角相等 2正方形面积为 36，则对角线的长为( ) A6 B6 C9 D92 2 3如图，菱形 ABCD 中，B60，AB4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为( ) A14 B15 C16 D17 4如图，延长正方形 ABCD 的边 BC 至 E，使 CEAC，连接 AE 交 CD 于 F，则AFC_. 北师大九年级上册第一章数学导学案 5如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，OCFOBE.求证：OEOF. 6.如图，正方形 ABCD 中，过 D 做 DEAC，ACE = ，CE
23、交 AD 于点 F，求证：AE = AF；30 7.如图，在ABC 中，BAC = ，ADBC 于 D，CE 平分ACB，交 AD 于 G，交 AB 于90 E，EFBC 于 F，求证：四边形 AEFG 是菱形； 活动 3 课堂小结 正 方 形的 性 质 边 ： 正 方 形 的 四 条 边 都 相 等 且 对 边 平 行 .角 ： 正 方 形 的 四 个 角 都 是 直 角 . 对 角 线 ： 正 方 形 的 两 条 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 ，每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 . 对 称 ： 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形
24、，它 有 四 条 对 称 轴 ， 其 对 角 线 交 点 为 对 称 中 心 . ) A BDC E F G 北师大九年级上册第一章数学导学案 第 2 课时 正方形的判定 1掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题(重难点) 2发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断 阅读教材 P2224，完成下列问题： (一)知识探究 1对角线相等的_是正方形 2对角线垂直的_是正方形 3有一个是直角的_是正方形 (二)自学反馈 1已知四边形 ABCD 中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是( ) AD
25、90 BABCD CADBC DBCCD 2下列命题正确的是( ) A两条对角线相等的菱形是正方形 B对角线与一边的夹角是 45的四边形是正方形 C两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形 D对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 3在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) AACBD，ABCD，ABCD BADBC，AC CAOBOCODO，ACBD DAOCO，BODO，ABBC 4如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使 AB 落在 AD 边上，然后打开，折痕为 AE，顶点 B 的落点 为 F.则四边形 ABEF 是_形 活动 1 小组讨论 例
26、如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分ABC，CE 平分DCB，BFCE，CFBE. 求证：四边形 BECF 是正方形 活动 2 跟踪训练 1如图，在ABC 中，ABC90，BD 平分ABC，DEBC，DFAB，垂足分别为 E、F， 求证：四边形 BEDF 是正方形 北师大九年级上册第一章数学导学案 2如图，E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，AEBFCGDH， 四边形 EFGH 是什么图形？证明你的结论 3如图所示，点 E，F，G，H 分别是 CD，BC，AB，DA 的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形 4.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是 AB
27、，BC 边上的点，且EDF=45. 将 DAE 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DCM. w W w . x K b 1.c o M （1）求证：EF=FM；（2）当 AE=1 时，求 EF 的长. 活动 3 课堂小结 1对角线相等的菱形是正方形 2对角线垂直的矩形是正方形 3有一个角是直角的菱形是正方 形 北师大九年级上册第一章数学导学案 2.1 一元二次方程（1） 问题 1：幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 米，宽为 5 米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？ 你能根据条件列出关于这个量的什么关系
28、式？ 问题2：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？ 得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？ 根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端 下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 做一做（根据题意列出方程） 1.一个正方形的面积的 2 倍等于 50，这个正方形的边长是多少？ 2.一个数比另一个数大 3，且这两个数之积为这个数，求这个数。 3.一块面积是 150cm 长方形铁片，它的长比宽多 5cm,则铁片的长是多少？2
29、 观察上述三个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，归纳出一元二次方程的定义。 归纳：（1）只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元 二次方程。（2）一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。 北师大九年级上册第一章数学导学案 例 1 判断下列方程是否为一元二次方程。 例 2 将下列方程化为一元二次方程一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3 x2 x=2； （2）7 x3=2 x2; （3）(2 x1)3 x(x2)=0 （4）2 x(x1)=3( x5)4. 例 3 要使 是一元二
30、次方程，求 k02)1()(xkxk 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 有一个解是 0，求 m 的值。43)2(2mx 例 5 已知关于 x 的方程 。问：122xk)( （1）当 k 为何值时，方程为一元二次方程？（2）当 k 为何值时，方程为一元一次方程？ 北师大九年级上册第一章数学导学案 2.1 一元二次方程（2） 在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： ，即： ；182x580132x ，即： 。0765 上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的 x 吗？完成下表： 你知道所求的宽度 x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗? 上节课我们通过设未知数得到满
31、足条件的方程，即梯子底端滑动的距离 x(m)满足方程 ，把这个方程化为一般形式为 221076x 0152x （1）你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗? 为什么? （3）底端滑动的距离可能是 2 m 吗? 可能是 3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 【例 1】观察，估计 x2+12x-15=0 的解可能的范围： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 归纳小结： 根据实际问题确定其解的大致范围，在一定范围内均匀的取一些 x 的值，将这些值分别代入 中，哪
32、两个值最接近 0，方程的解就在这两个值对应的两个 x 值之间。02cbxa 课内练习: 1、有一个根为-2 的一元二次方程是（ ） A、 B、 C、 D、22x20x20x 2、（1）已知一元二次方程 的一个根为-3，则 . m3m （2）已知关于 的方程 的一个根为 ，则 .26k3k 3根据下列表格中代数式 与 的对应值，判断方程 的一个根cbxa )0( 2acbxa 的大致范围是 ( )x 6.17 6.18 6.19 6.20cbxa2 -0.03 -0.01 0.02 0.06 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2-13x+11 北师大九年级上册第一章数学导学案 A6 x
33、 6.17 B6.17 x 6.18 C6.18 x 6.19 D6.19 x 6.20 22 一元二次方程的解法（1） 一、知识回顾 1.（1）平方根：如果 x2=a，那么 叫做 的平方根 （2）.一个正数有 个平方根，它们互为 ； 0 的平方根是 ；负数 。 2.（1）9 的平方根是 ；144 的平方根是 。 （2）若 x2=9，则 x= 。 （3）若（x-1 ） 2=9，则 x= 。 3.完全平方公式：（ab） 2= 。 4.（1）（x+5） 2= ；（x-7） 2= ； （2x+3） 2= ；（3x-1 ） 2= （2）x 2+ x+36=（x+6） 2 ； x2- x+81=（x-9
34、 ） 2 x2+8x+ =（x+ ） 2 ； x 2-4x+ =（x- ） 2 x2+3x+ =（x + ） ； 二、新课学习 1.试一试 解下列方程，并说明你所用的方法. （1） x24； （2） x210; 形如: 的方程，我们可以用 直接开平方法来解 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1） （2） （3）2(x-3) 2-4=0 2940x230x 例 2 解方程 （1） x2+8x-9=0 （2）x 2+4x+1=0 例 3 解下列方程： （1） x220; （2）16 x2250. 解（1）移项，得 x22. (2) 移项，得_. 北师大九年级上册第一章数学导学案 直接开平方，得
35、. 方程两边都除以 16，得 _ 所以原方程的解是 直接开平方，得 x_. 上面，我们把方程 x24 x30 变形为( x2) 21，它的左边是一个含有未知数的_式，右边 是一个_常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方 法. 练一练 ：配方.填空： （1） x26 x（ ）（ x ） 2；（2） x28 x（ ）（ x ） 2； （3） x2 x（ ）（ x ） 2； 从这些练习中你发现了什么特点? (1)_ (2)_ 例 1 用配方法解下列方程： （1） x26 x70； （2） x23 x10. 解（1）移项，得 x26 x_. 方程左边配方，得 x22
36、 x3_ 27_， 即：（ _） 2_. 所以 x3_. 原方程的解是 x1_， x2_. （2）移项，得 x23 x1. 方程左边配方，得 x23 x（ ） 21_， 即 ： _ 所以 _ 原方程的解是： x1_ x2_ 练习 1 用配方法解下列方程： （1） （2）x 2+12x+25=0260x (3) x2+4x=10; （4） x 2-9x+19=0 北师大九年级上册第一章数学导学案 (5)x2-10x+25=7 ; （6）x 2+3x=1 22 用公式法解简单系数的一元二次方程（2） 一、复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程 3x2-6x-8=0
37、; 3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2 bx c0( a0). 推导公式 用配方法解一元二次方程 ax2 bx c0( a0). 因为 a0，方程两边都除以 a，得 _0. 移项，得 x2 x_ ，b 配方，得 x2 x_ _ ,aac 即 ： ( _) 2_ 因为 a0，所以 4 a20，当 b24 ac0 时，直接开平方，得 _. 所以 x_ 即 ： x_ 由以上研究的结果，得到了一元二次方程 ax2 bx c0 的求根公式： 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的 方法叫做公式法. 例 1 应用公式法解下列方程
38、: (1) 2 x2x60； (2) x 24x2； x ( b24 ac0)ab 2 北师大九年级上册第一章数学导学案 (3) 5x24x120； (4) 4x 24x1018x. 解 (1)这里 a_，b_，c_， b24ac_ _ 所以 x _a24 即原方程的解是 x 1_，x 2_ (2)将方程化为一般式，得_0. 因为 b 24ac_ 所以 x_ 原方程的解是 x 1_，x 2_ (3)因为 _， 所以 x_ 原方程的解是 x 1_，x 2_. (4)整理，得_0. 因为 b 24ac_，所以 x 1x 2_ 归纳： 当 b24 ac0 时，方程有_个 _的实数根；（填相等或不相等
39、） 当 b24 ac0 时，方程有_个_的实数根 x1 x2_ 当 b24 ac0 时，方程 _实数根. 练习 1 用公式法解方程： (1) x26x10； (2)2x 2x6； (3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1). 北师大九年级上册第一章数学导学案 （5）（x-2）（x+5）8； （6）（x1） 22（x1）. 23 一元二次方程根的判别式 一、复习引入 一元二次方程 ax2bxc0（ a0）只有当系数 a、 b、 c 满足条件 b24ac_0 时才有实数根 观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： （1）当 b24 ac0 时，方程有_个 _的实数根
40、；（填相等或不相等） （2）当 b24 ac0 时，方程有_个_的实数根 x1 x2_ （3）当 b24 ac0 时，方程 _实数根. 这里 b24ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，用它可以直接判断一个一元 二次方程是否有实数根，如对方程 x2x10，可由 b24 ac _0 直接判断它 _实数根. 例 1 不解方程，判断方程根的情况。 （1） x22 x80； （2）3 x24 x1； （3） x（3 x2）6 x20； （4） x2( 1) x0； 3 （5） x（ x8）16； （6）（ x2）（ x5）1； 例 2 当 m 取什么值时，关于 x 的方程 x2-2xm20 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 例 3 当 m 取什么值时，关于 x 的方程 x2-(2m2)xm 2-2m20 没有实数根？ 北师大九年级上册第一章数学导学案 例 4 说明不论取何值，关于 x 的方程 x2(2)x0 总有两个不相等的实根.
