1、1 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. (0)sinco)( xxf . （A） 02 （B ） (01f（C） )f （D） (fx不可导. 2. 13)1)( . （A） (x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()与 是等价无穷小； （C） )是比 )高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的 无穷小. 3. 若 (02 xFtftd ，其中 ()fx在区间上 (1,)二阶可导且)f ，则（ ）. （A）函数 )必在 处取得极大值； （B）函数 (x必在 处取得极小值； （C）函数 在 0处没有极值，但点 (
2、0,)F为曲线 ()yFx的拐点； （D）函数 ()F在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐 点。 4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A） 2 （B） 2x （C） （D） . 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. xxsin 20)31(lim . 6. ,( co f xfdcos)( . 7. li(scoscs 2221n nn . 8. 2121ari dxx . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y. 10. .d17x 2 1
3、1. 1 32 )(0)( dxfxxef 12. 设函数 )(f连续， 10()()gftd ，且 0limxA ， 为常数. 求 gx并讨论 x在 处的连续性. 13. 求微分方程 2lnyx满足 1()9y 的解. 四、 解答题（本大题 10 分） 14. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0 处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题 10 分） 15. 过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围 成平面图形 D. （1）求 D 的面积
4、A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分） 16. 设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx . 17. 设函数 )(xf在 ,上连续，且 0)(0xdf ，cos0d .证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,， 使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()( ） 答案 一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. 6e
5、 . 6. cx 2)os(1 .7. . 8. 3. 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导 (1)cos()0xyy 3 cos()()xyey0, ， 01 10. 解： 76udu 1()2()d ln|2l|1|)7c71|xxC 11. 解： 012330()fdexd010()x23cossin)e 3214 12. 解：由 (0)f，知 (0)g。 100()()xtufdgxfd (0)x 02()()x 020()()A()limli2xxxfudfg 0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。 13. 解：
6、 n dy 2(l)xdexC 21l39 (),0yC， 1ln39y 四、 解答题（本大题 10 分） 14. 解：由已知且 02d x ， 4 将此方程关于 x求导得 y2 特征方程： 02r解出特征根： .2,1r 其通解为 xeCy21 代入初始条件 ()，得 3, 21C 故所求曲线方程为： xxey3 五、解答题（本大题 10 分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy 由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey 1 则平面图形面积 1012)(dyAy （2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 23e
7、 曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V2 1022)(dy D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分） 16. 证明： 100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd 证毕。 17. 证：构造辅助函数： xtfFx0,)()(0 。其满足在 ,0上连续，在),0( 上可导。 ，且 )(F 由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf ， 5 有 00sin)(xdF ，由积分中值定理，存在 ),0(，使 0sin)(F即 综上可知 ),(,0)()(F.在区间 ,上分别应用罗尔 定理，知存在 ,01 和 ,2，使 1及 02F，即 0)(21f.
