1、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 10 页） 高等数学（非数院） 第一章 函数与极限 第一节 函数 函数基础（高中函数部分相关知识） （） 邻域（去心邻域） （） ,|Uaxa|0 第二节 数列的极限 数列极限的证明（） 【题型示例】已知数列 ，证明nxlimnxa 【证明示例】 语言N 1由 化简得 ，nxag g 2即对 ， 。当 时，始终0Nn 有不等式 成立，nx axlim 第三节 函数的极限 时函数极限的证明（）0 【题型示例】已知函数 ，证明xfAxf0lim 【证明示例】 语言 1由 化简得 ，fxAg g 2即对 ， ，当 时，0g0x 始终有不等式 成立，fx Ax0l
2、im 时函数极限的证明（） 【题型示例】已知函数 ，证明xfAxflim 【证明示例】 语言X 1由 化简得 ，fxg g 2即对 ， ，当 时，始终有0Xx 不等式 成立，fxA xlim 第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（） 函数 无穷小f0lixf 函数 无穷大x 无穷小与无穷大的相关定理与推论（） （定理三）假设 为有界函数， 为无穷小，xfxg 则 lim0g （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f 为无穷大，则 为无穷小；反之，若1fx 为无穷小，且 ，则 为无穷xf xf1 大 【题型示例】计算： （或 ）0lixfg 1 函数 在 的任一去心fM0x 邻域 内是
3、有界的；,0U （ ，函数 在 上有界；fxfD ） 2 即函数 是 时的无穷小；lim0gxxg0 （ 即函数 是 时的无穷小； ） 3由定理可知 0lixfx （ ）lixfg 第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则（） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式 、 商式的极限运算pxq 设： nnmmbbqaa10 则有 0lixpn 0 0limxfgf000,xf （特别地，当 （不定型）时，通常0lixfg 分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出 极限值，也可以用罗比达法则求解） 高等数学期末复习资料 第 2 页（共 10 页） 【题型示例】求值 23lim9x
4、【求解示例】解：因为 ，从而可得 ，所以3x 原式 23331lilili96xxx 其中 为函数 的可去间断点29f 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解： 0233321limlilim96xLxx 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （） （定理五）若函数 是定义域上的连续函数，那f 么， 0 0lilixx 【题型示例】求值： 93lim2x 【求解示例】 3316lixx 第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（P53） （） 第一个重要极限： 1sinlm0x ， 2,xtai1sinl0x000lililsinsxxx （特别地， ）00()lim1x 单调
5、有界收敛准则（P57） （） 第二个重要极限： exx1li （一般地， ，其中limliggxff ）0limf 【题型示例】求值： 123lixx 【求解示例】 21112221 121 1lim1213lililililixxxx xxx xxx解 ： 2lim11 21lim1 xxx eee 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（） 1 sintarcsinartln(1)UUe 2 o （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值： xx31lnlim20 【求解示例】 31li31li3ln1li l, 000 2 xxx xx所 以 原 式即解 ： 因 为 第八节 函数
6、的连续性 函数连续的定义（） 000limlixxfff 间断点的分类（P67） （） ）无 穷 间 断 点 （ 极 限 为第 二 类 间 断 点 可 去 间 断 点 （ 相 等 ）跳 越 间 断 点 （ 不 等 ）限 存 在 ）第 一 类 间 断 点 （ 左 右 极 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数 ， 应该怎样xaef20 选择数 ，使得 成为在 上的连续函数？aR 【求解示例】 1 201feaf 2由连续函数定义 efxfxx 0limli00 高等数学期末复习资料 第 3 页（共 10 页） ea 第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（） 【题型
7、示例】证明：方程 至少有一个fxgC 根介于 与 之间ab 【证明示例】 1 （建立辅助函数）函数 在fx 闭区间 上连续；, 2 （端点异号）0ab 3由零点定理，在开区间 内至少有一点 ，ba, 使得 ，即 （0fgC ）10 4这等式说明方程 在开区间fx 内至少有一个根ba, 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （） 【题型示例】已知函数 ， 在baxef10x 处可导，求 ，0xab 【求解示例】 1 ， 01fe012fef 2由函数可导定义 002afffb 1,2ab 【题型示例】求 在 处的切线与法线方程xfy （或：过 图像上点
8、处的切线与法线,af 方程） 【求解示例】 1 ，xfyfyax| 2切线方程： xa 法线方程： 1ff 第二节 函数的和（差） 、积与商的求导法则 函数和（差） 、积与商的求导法则（） 1线性组合（定理一）： ()uvv 特别地，当 时，有1 2函数积的求导法则（定理二）： ()uv 3函数商的求导法则（定理三）： 2 第三节 反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（） 【题型示例】求函数 的导数xf1 【求解示例】由题可得 为直接函数，其在定于域 上单调、可导，且 ；D0xf1fxf 复合函数的求导法则（） 【题型示例】设 ，求2arcsin12lxyeay 【求解示例】 2222
9、 22 2 arcsin12arcsin1 2arcsin12arcsin12arcsin122arcsin12arcsiarcsin12xxxxxxxe aexaee 解 ： 2n122x x 第四节 高阶导数 （或 ） （）1nnfxfx 1ndyx 【题型示例】求函数 的 阶导数yl 【求解示例】 ，11x ，2yx2 31x 1()(nnnyx！ 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对 求导） （） 【题型示例】试求：方程 所给定的曲线 ：yeC 高等数学期末复习资料 第 4 页（共 10 页） 在点 的切线方程与法线方程xy1,e 【求解示例】由 两边对 求导
10、yx 即 化简得y ye e1 切线方程： exy1 法线方程： 参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程 ，求ty2dxy 【求解示例】1. 2.tdx2t 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dxfy 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理（费马引理） （） 罗尔定理（） 【题型示例】现假设函数 在 上连续，在fx0, 上可导，试证明： ，0, 使得 成立 cossinff 【证明示例】 1 （建立辅助函数）令 sixfx 显然函数 在闭区间 上连续，在开区间0, 上可导；0, 2又 sinf 即 0
11、 3由罗尔定理知 ，使得 成0,cossin0ff 立 拉格朗日中值定理（） 【题型示例】证明不等式：当 时，1xxe 【证明示例】 1 （建立辅助函数）令函数 ，则对 ，f1 显然函数 在闭区间 上连续，在开区间fx1,x 上可导，并且 ；1,fe 2由拉格朗日中值定理可得， 使得等式, 成立，xee 又 ， ，111xex 化简得 ，即证得：当 时，x 【题型示例】证明不等式：当 时，0ln 【证明示例】 1 （建立辅助函数）令函数 ，则对1fx ，函数 在闭区间 上连续，在开0xf, 区间 上可导，并且 ；,f 2由拉格朗日中值定理可得， 使得等式0,x 成立，1ln1l0x 化简得 ，
12、又 ，x,x ， ，1fln1 即证得：当 时，xxe 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（） 1 等价无穷小的替换（以简化运算） 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（ ）且满足条件，0, 则进行运算： limlixaxaffg （再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出） B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定 型） 型（转乘为除，构造分式）0 【题型示例】求值： 0lilnx 【求解示例】 1000020lllimniiim1lixxLxxxa 解 ： 高等数学期末复习资料 第 5 页（共 10 页） （一般地，
13、，其中 ）0limln0x,R 型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值： 01lisnxx 【求解示例】 20001isinlimlilmsnxxx解 ： 00002 1cocsililililLxxLxx 型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 0lix 【求解示例】 0000limnl0002 ln,ln1llliii1limlili 1xx xxxLxyyxxxyyee解 ： 设 两 边 取 对 数 得 ：对 对 数 取 时 的 极 限 ： ， 从 而 有 型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 10licosixx 【求解示例】 01000limnl10 lncosicosin
14、, ,lilnliscos1i ,inl=xxxLx xy xyyyee 解 ： 令 两 边 取 对 数 得对 求 时 的 极 限 ， 从 而 可 得 型（对数求极限法） 【题型示例】求值： tan0lixx 【求解示例】 tan00200022011,lntal,llimi1lnlniili1sec1tatantasisilmllixxxxLxxxLxyyx 解 ： 令 两 边 取 对 数 得对 求 时 的 极 限 ， 0mnl0 o,=i1xyyee从 而 可 得 运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（） 0001 (1)(2)(3) 通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） 取倒数获得分
15、式（将乘积形式转化为分式形式） 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间） （） 【题型示例】试确定函数 的32913fxx 单调区间 【求解示例】 1函数 在其定义域 上连续，且可导fxR 2618 2令 ，解得：0f 1,x 3 （三行表） ,1,22,f00xA 极大值 A极小值 A 4函数 的单调递增区间为 ；f ,1 单调递减区间为 1,2 【题型示例】证明：当 时，0xxe 【证明示例】 1 （构建辅助函数）设 ， （ ）10 2 ， （ ）1xe 高等数学期末复习资料 第 6 页（共
16、 10 页） 0x 3既证：当 时， 1xe 【题型示例】证明：当 时， lnx 【证明示例】 1 （构建辅助函数）设 ， （ ）0x 2 ， （ ）10xx 3既证：当 时， ln 连续函数凹凸性（） 【题型示例】试讨论函数 的单调性、极231yx 值、凹凸性及拐点 【证明示例】 1 2361yxx 2令 解得： 0yx120,x 3 （四行表）x(,0)(,1)(,)(,)y01(,3)5 4函数 单调递增区间为 ,2yx(1) 单调递增区间为 , ；(,)02 函数 的极小值在 时取到，3x 为 ，01f 极大值在 时取到，为 ；2x5f 函数 在区间 , 上凹，3y(0)1 在区间 ,
17、 上凸；() 函数 的拐点坐标为21,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（） 设函数 的定义域为 ，如果 的某个邻fxDMx 域 ，使得对 ，都适合不MUU 等式 ，ff 我们则称函数 在点 处有极大fx,Mfx 值 ；Mf 令 123,.n 则函数 在闭区间 上的最大值 满足：fxab ；123ma,.,MMnxxfb 设函数 的定义域为 ，如果 的某个邻fDm 域 ，使得对 ，都适合不UxU 等式 ，mff 我们则称函数 在点 处有极小值,mxf ；mfx 令 123,.mn 则函数 在闭区间 上的最小值 满足：fab ；123in,.,mmnxxfb 【题型示例
18、】求函数 在 上的最值f1 【求解示例】 1函数 在其定义域 上连续，且可导f, 23x 2令 ，10fx 解得： 12, 3 （三行表） x,1,3f00 极小值 A极大值 A 4又 12,8fff maxmin31x 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念（） 原函数的概念： 假设在定义区间 上，可导函数 的导函IFx 数为 ，即当自变量 时，有Fxx 或 成立，则称fdfd 高等数学期末复习资料 第 7 页（共 10 页） 为 的一个原函数Fxf 原函数存在定理
19、：（） 如果函数 在定义区间 上连续，则在xI 上必存在可导函数 使得 ，也IFxf 就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（） 在定义区间 上，函数 的带有任意常数If 项 的原函数称为 在定义区间 上的不定积CfxI 分，即表示为： dFC （ 称为积分号， 称为被积函数，f 称为积分表达式， 则称为积分变量）fxdx 基本积分表（） 不定积分的线性性质（分项积分公式） （）1212kfgdkfkgxd 第二节 换元积分法 第一类换元法（凑微分） （） （ 的逆向应用）xfdydfxd 【题型示例】求 21a 【求解示例】 22211arctn1xdxxdC解 ： 【
20、题型示例】求 【求解示例】 111222dxdxdxC解 ： 第二类换元法（去根式） （） （ 的正向应用）fy 对于一次根式（ ）：0,abR ：令 ，于是 ，axbtx2tbxa 则原式可化为 对于根号下平方和的形式（ ）： ：令 （ ） ，2xtan2t 于是 ，则原式可化为 ；arctsec 对于根号下平方差的形式（ ）：0 a ：令 （ ） ，2xsinat2t 于是 ，则原式可化为 ；rcsit cos b ：令 （ ） ，2xsext0t 于是 ，则原式可化为 ；arcotan 【题型示例】求 （一次根式）12dx 【求解示例】 21 21txdtttCxx 解 ： 【题型示例】
21、求 （三角换元）a 【求解示例】 2sin()222arcos1cos1iixtxdt atdtdattCtC 解 ： 第三节 分部积分法 分部积分法（） 设函数 ， 具有连续导数，则ufxvg 其分部积分公式可表示为： udvu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、 指” 运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分：（ ）vdx 使用分部积分公式： uvdu 展开尾项 ，判断 a若 是容易求解的不定积分，则直接计vx 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果） ； b若 依旧是相当复杂，无法通过 a
22、中方ud 法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求 2xed 【求解示例】 高等数学期末复习资料 第 8 页（共 10 页） 222222xxxxxxxxedededC解 ： 【题型示例】求 sined 【求解示例】 sicoscocoininsisxxxxxxxeededee 解 ： icoisixxxxdde即 ： 1nsn2C 第四节 有理函数的不定积分 有理函数（） 设： 10mmnnPxpaxaQqbb 对于有理函数 ，当 的次数小于 的PQx 次数时，有理函数 是真分式；当 的次x 数
23、大于 的次数时，有理函数 是假分式Qx 有理函数（真分式）不定积分的求解思路（） 将有理函数 的分母 分拆成两个没有PxQx 公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表 示为一次因式 ；而另一个多项式可以表ka 示为二次质因式 ， （ ） ；2lxpq240 即： 12Q 一般地： ，则参数nmxnam 22bcabcax 则参数 ,pq 则设有理函数 的分拆和式为：PxQ 12klPxPxQapq 其中112.kk AAxxa 212222.lllPMNpqpqpqx 参数 由待定系1212,.,.lkAN 数法（比较法）求出 得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求 （构造法） 21x
24、d 【求解示例】 2 2111lnxdxdxdC 第五节 积分表的使用（不作要求） 第五章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 定积分的定义（） 01limnbiafxdfxI （ 称为被积函数， 称为被积表达式，d 则称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分ab 上限， 称为积分区间）,b 定积分的性质（） aafxdfu 0 bbaakffxd （线性性质） 1212b bba aafxgkfkgxd （积分区间的可加性） bcbaacfdfxfxd 高等数学期末复习资料 第 9 页（共 10 页） 若函数 在积分区间 上满足 ，fx,ab0fx 则 ；0bad （推论一） 若函数
25、 、函数 在积分区间 上满fxgx, 足 ，则 ；bbaafdgx （推论二） baf 积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式（） （定理三）若果函数 是连续函数 在区间Fxfx 上的一个原函数，则,abbafdba 变限积分的导数公式（） （上上导下下导）xdftfxfx 【题型示例】求 21cos0limtxed 【求解示例】 22110coscos0lili解 tt xxLxed2 22 2221cs cos0 0cos0coscos0cos1inilimlminliiinsliminixx xxLxxxxx edexe 第三节 定积分的换元法及分部积分法
26、定积分的换元法（） （第一换元法） b ba afxdfxd 【题型示例】求 201 【求解示例】 22 200 0111lnln5l解dxdxx （第二换元法） 设函数 ，函数 满足：,fxCabxt a ，使得 ；,b b在区间 或 上， 连,ftt 续 则： afxdftdt 【题型示例】求 4021x 【求解示例】 2210,4 304,3323211 159解 ttxttxddxtt t （分部积分法） b ba auxvduxvxud 偶倍奇零（） 设 ，则有以下结论成立：,fxC 若 ，则f02aafxdfxd 若 ，则fxa 第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求） 如：不定积分公式 的证明。很21arctndxC 多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这 高等数学期末复习资料 第 10 页（共 10 页） 样一种证明方法以说明问题： tan2rc2 2211tantossecartnxtxddttC 如此，不定积分公式 也就21artnxdxC 很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。 最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难 免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。
